二次三项式训练题

1　求证:对于所有的ａ,方程(ａ3-2ａ2 7ａ)ｘ2-(ａ3 4ａ2 9ａ 6)ｘ 5ａ2 4=0至少有一根.2　求证:如果2ａ 3ｂ 6ｃ=0,那么二次方程ａｘ2 ｂｘ ｃ=0在区间(0,1)内至少有一根.3　令ｘ1,ｘ2是方程ｘ2 ａｘ ｂ=0的二根,ｂ≠0.求方程ｂｘ2 ａ(ｂ 1)ｘ (ｂ-1)2 ａ2=0的根.4　在ａ,ｂ,ｃ间有何种关系时,方程组ａｘ2 ｂｘ ｃ=0ｂｘ2 ｃｘ ａ=0ｃｘ2 ａｘ ｂ=0有解?5　求证:如果ａ,ｂ,ｃ是一个三角形的边长,那么方程ｂ2ｘ2 (ｂ2 ｃ2-ａ2)ｘ ｃ2=0没有实根.6　求证:ｓ=ｐ1 ｐ2 … ｐｎ 1时,ｎ个方程ｘ2 ｘ ｐ1=0,ｘ2 ｘ ｐ2=0,…,ｘ2 ｘ ｐｎ-1=0,ｘ2 …     

一道高考题的错解·正解·启示

设函数 ｆ(ｘ) =ｘ2 1 -ａｘ ,其中ａ>0 .1 )解不等式ｆ(ｘ) ≤ 1 ;2 )求ａ的取值范围 ,使函数ｆ(ｘ) 在区间 [0 , ∞ )上是单调函数 .这是 2 0 0 0年理科数学高考第 1 9题 ,我参加了本题的阅卷工作 .众多试卷上的错解、妙解给人许多启迪 .对于 1 ) ,有下面典型性错解 :解原不等式 ,即解不等式　ｘ2 1≤ 1 ａｘ (ｉ) 1 ｘ2 ≤ (1 ａｘ) 2 (ｉｉ) ｘ≤ 0 ,(ａ2 - 1 )ｘ 2ａ≤ 0 (1 )或　 ｘ≥ 0(ａ2 - 1 )ｘ 2ａ≥ 0 (2 )(1 )的解为ｘ≤ 2ａ1 -ａ2 (ａ >1 ) ;(2 )的解为 :当ａ≥ 1时 ,ｘ≥ 0 ;当 0 <ａ<1时 ,0≤ｘ≤ 2ａ1 -ａ2 .…     

关于不定方程ax+by=c的特解的算法

给定二元一次不定方程ａｘ+ｂｙ=ｃ ,( 1 )其中ａ ,ｂ ,ｃ为整数 ,且ａ ,ｂ≠ 0 .由文 [1 ]知 ,不定方程 ( 1 )有整数解的充分必要条件为ｇｃｄ(ａ ,ｂ) ｜ｃ,亦即ａ ,ｂ的最大公因数可整除ｃ.若不作特别说明 ,本文所说的解均指整数解 .设不定方程 ( 1 )有解 .不失一般性 ,我们总可假定ｇｃｄ(ａ ,ｂ) =1 .此时 ,不定方程 ( 1 )有解且它的全部解为ｘ=ｘ0 -ｂｔ,ｙ=ｙ0 +ａｔ,( 2 )其中 (ｘ0 ,ｙ0 )为不定方程 ( 1 )的特解 ,ｔ为任意整数 .这是因为若 ( 1 )的一般解为 (ｘ,ｙ) ,则 (ｘ -ｘ0 ,ｙ-ｙ0 )为 ( 1 )的齐次方程 (ｃ=0 )的一般解 .上…     

待定系数法在基本不等式中的应用

请先看一个例子 :例 1　有一块长为 2米宽为 1米的矩形铁皮 ,现要在四角各截去一个同样大小的正方形 ,然后做成无盖盒子 ,问该如何截方能使其容积最大 ?解　设截去的正方形边长为ｘ米 ,则所做的盒子的容积为Ｖ =ｘ(2 - 2ｘ) (1- 2ｘ) .此时 4Ｖ =4ｘ(2 - 2ｘ) (1- 2ｘ)可以看成三个因式的乘积 ,而这三个因式的和为定值 .然而由于方程4ｘ =2 - 2ｘ =1- 2ｘ无解 ,因此这时我们不能直接应用基本不等式3 ｘ1ｘ2 ｘ3≤ ｘ1+ｘ2 +ｘ33,ｘ1,ｘ2 ,ｘ3∈Ｒ+来求解 .为了能用基本不等式求解 ,我们引入参数ａ ,ｂ(0 <ａ <12 ,0 <ｂ <12 ) ,此时ｘ ,2ａ …     

有趣的数表与数阵问题(上)

<正>数列是高中数学的重要内容,主要围绕两类数列(等差数列与等比数列)展开.本文给出一些新颖而有趣的数列——数表与数阵,以提升我们解决数列问题的本领.例1在n行m列的方格表中,每个方格都填上一个数,使得每行的m个数与每列的n个数都成等差数列.如果表的角上的四个数之和等于s,则这个表中的所有数的和等于_____.     

关于不用计算导数的大范围收敛迭代法的注记

1　引　　言在文 [1 ]中我们借助于动力系统方法导出了求连续函数 ｆ(ｘ)在区间 [ａ ,ｂ]上单零点ｘ 的一个大范围收敛的连续性方法 .此处 ｆ(ｘ)满足李氏条件 ,且 ｆ(ａ) <0 ,ｆ(ｂ) >0 .这个连续性方法由动力系统ｄｘｄｔ =- ｆ(ｘ)ｘ( 0 ) =ｘ0 ∈ [ａ ,ｂ]( 1 )确定 ,其解析解ｘ(ｔ ,ｘ0 )具有性质ｌｉｍｔ→ +∞ｘ(ｔ,ｘ0 ) =ｘ ,　　ｘ0 ∈ [ａ ,ｂ].　　为了数值地求出ｘ ,我们利用显式欧拉法ｘｎ+ 1=ｘｎ -ｈｎｆ(ｘｎ)ｘ0 =ｂ　ｏｒａ ( 2 )来求 ( 1 )式的解 .其中ｈｎ>0 ,为步长 .它的选择满足文 [1 ]中的不等式ａ<ｘｎ+ 1<ｘｎ,…     

换元法的应用

换元法是借助于辅助元 ,将问题进行转化的一种解题方法 .这种方法在解题过程中 ,将某个式子看作一个整体 ,用一个字母去代替它 ,实行变量替换 .这样做 ,常可以化高次为低次 ,或化分式为整式 ,或化无理式为有理式 ,使问题化繁为简 ,从而化难为易 ,化未知为已知 .下面就谈谈换元法的常见应用 .一、在代数式求值中的应用计算　 2 0 0 1 2 0 0 0 22 0 0 1 1 9992 +2 0 0 1 2 0 0 1 2 -2 .分析　观察此题特点 ,发现分子与分母中有三个数是连续整数 ,不妨设中间一个为ａ ,则其它两个分别为 (ａ -1 )和 (ａ +1 ) ,从而化繁为简 .解　设ａ =2 0 0 1 …     

把学生带回到现实中去——浅淡初中数学应用题教学

1　问题的提出这里 ,我们展示一下学生对教材一个习题的认识 .题目是这样的 :某采石场爆破时 ,为了确保安全 ,点燃炸药导火线后要在炸药爆破前转移到40 0米以外的安全区域 ;导火线燃烧速度是 1厘米/秒 ,人离开的速度是 5米 /秒 ,导火线至少需要多长 ?(初中代数第一册 (下 )人民教育出版社2 0 0 0年 4月Ｐ37)这是一道解不等式的应用问题 .几位学生列出的式子如下 :设导火线至少需要ｘ米长 .(1 )ｘ/0 0 1 >40 0 /5 ;(2 )ｘ/0 0 1≥ 40 0 /5 ;(3 )ｘ +5ｘ0 0 1 ≥ 40 0 .列出式 (1 )的学生认为人要转移到 40 0米以外 ,所以 ,应该用“ >”号 …     

二阶三点边值问题多解的存在性

利用格结构下的不动点定理,研究了二阶三点边值问题u'(t)+f(t,u(t))=0,0≤t1,u(0)=0,u(1)=ɑu(η)存在多个解,其中至少存在一个正解,一个负解,一个变号解.     

(0,1)-矩阵的积和式的图表示及其相关性质

将(0，1)．矩阵的积和式的记数问题转化为它的伴随图或伴随有向图上相关元素的记数问题，能使复杂的计数问题变得相对直观化和简单化．本文给出了(0，1)-矩阵的积和式的图论表达式，并以该表达式为基础，主要解决了2．正则图类的邻接矩阵的最大积和式的记数问题以及它的反问题，即确定了零积和式临界图的极大边数及其图类．     

2002年第四期初中数学问题解答

一、已知ａ <0 ,-1 <ｂ <0 ,则ａ ,ａｂ ,ａｂ2 之间的大小关系如何 ?解 :∵ -1 <ｂ <0 ,∴ｂ<ｂ2 <1 .又ａ<0 ,　∴ａｂ >ａｂ2 >ａ .二、如果二次不等式ａｘ2 +8ａｘ+2 1 <0的解是 -7<ｘ <-1 ,求ａ的值 .解 :考虑二次函数ｙ =ａｘ2 +8ａｘ +2 1的图象 ,由已知条件可知它与Ｏｘ轴的两个交点为 (-1 ,0 ) ,(-7,0 ) ,故由韦达定理知 (-7)× (-1 ) =2 1ａ .∴ａ=3 .答 :略 .三、在△ＡＢＣ中 ,∠ＣＢＡ =72° ,Ｅ是边ＡＣ的中点 ,Ｄ在ＢＣ边上且 2ＢＤ =ＤＣ ,ＡＤ与ＢＥ交于Ｆ ,求△ＢＤＦ和四边形ＦＤＣＥ的面积之比 .解 :过Ｅ作ＥＧ∥ＡＤ交…     

“魔（n,k）方”与广义Fibonacci数列

文 [1 ]讨论“魔八方”问题 ,证明了符合条件的ｎ等于ｘ ｙ ,ｘ,ｙ为满足不定方程ｘ2 ｘｙ-ｙ2 1 =0的任一组正整数解 ,并找到了方程的Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ解 .结束时提出方程是否只有Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ解的问题 .本文将Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列与“魔八方”问题进行了推广 ,在此基础上对该文作者的问题作了彻底的回答 .1　Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列的推广Ｆｉｂｏｎａｃｃｉ数列是指下面的数列1 ,1 ,2 ,3,5,8,1 3,2 1 ,34,55,89,1 44 ,…… .此数列可以用递推公式表示如下ａ1 =1 ,ａ2 =1ａｎ =ａｎ- 1 ａｎ- 2 ,ｎ≥ 3. (1 )为了本文的讨…     

保加利亚教育科学部第50届数学奥林匹克试题(续完)

4　ｎ≥ 2为固定的整数 ,定义任意整数坐标点 (ｉ,ｊ)关于ｎ的余数是ｉ ｊ关于ｎ的余数 .找出所有正整数数组 (ａ ,ｂ)使得以 (0 ,0 ) ,(ａ ,0 ) ,(ａ ,ｂ) ,(0 ,ｂ)为顶点的长方形具有如下性质 :1 )长方形内整数点以 0 ,1 ,2 ,… ,ｎ - 1为余数出现的次数相同 ;2 )长方形边界上整数点以 0 ,1 ,2 ,… ,ｎ- 1为余数出现的次数相同 .解　长方形边界上共有 2 (ａ ｂ)个整点 ,则有ｎ|2 (ａ ｂ) .长方形内共有 (ａ - 1 ) (ｂ - 1 )个整点 ,∴ｎ|(ａ - 1 ) (ｂ - 1 ) .当ｎ =2时 ,为使其中被 2除余 0 ,1的点的个数相同 ,则必有 2 |(ａ - 1 ) (…     

求解欠定线性方程组稀疏解的算法

针对欠定线性方程组稀疏解的求解问题,文中提出两个改进的迭代重加权最小范数解算法(IRMNS)及一个光滑的0函数算法.其中,第一个算法基于 q(q∈(0,1])范数提出的,当q较小的时候,算法可以增强恢复稀疏解的能力;第二个算法是直接由0范数最小化问题提出的,它可以看做是第一个算法在q =0时的拓展;第三个算法是通过用一个光滑函数来近似0范数从而将原问题进行转化求解的.数值例子表明这三种算法都是快速有效的.     

对称分析法

数学中的对称性 ,随处可见 .它不仅是一种审美标准 ;而且是一种探索工具 ,在解数学题 ,特别是一些竞赛题时 ,若能分析和挖掘题中的对称因素 ,并利用对称性设计相应的解法 ,往往能避开一些难点 ,使问题得以顺利解决 .这种通过分析对称性解题的方法叫做对称分析法 .下面通过具体的素材展示对称分析法的力量和美 .1　一个问题中存在对称性可提供减少工作量的办法例 1　设 0 <ａ <1 ,0 <ｂ <1 ,0 <ｃ <1求证 :ａｂｃ(1 -ａ) (1 -ｂ) (1 -ｃ)≤ (14) 3.分析　由于左式是对称式 ,所以只要证明ａ(1 -ａ)≤ 14即可 .因ａ和 1 -ａ都为正数 ,所以ａ(1 …     

解Stokes问题的P1非协调四边形元的稳定化方法

本文研究了用(~P)_1-Q_0元(其中(~P)_1表示P_1非协调四边形元)解Stokes问题的非协调混合有限元稳定化逼近方法.(~P)_1-Q_0元不满足LBB条件(见[7,14] ),因而其不能直接用来求解Stokes问题.受[3] 的启发,我们提出了一种用(~P)_1-Q_0元解Stokes问题的稳定化方法,证明了这种方法的稳定性和离散问题解的存在唯一性,得到了最优误差估计.文章最后给出的数值算例验证了我们的理论结果.     

争鸣

问题 6　 某教师在讲授“ａ ,ｂ全为0”的否定时 ,采用如下方式进行 .“ａ ,ｂ全为 0” ,即是ａ =0且ｂ =0 .我们把ａ =0且ｂ =0记作一个命题 ｐ ,只有当ａ =0且ｂ =0时命题 ｐ才是真命题 ,其它情况都是假命题 ,它们都属于非 ｐ .非 ｐ包含三种情况 :①ａ =0且ｂ≠ 0 ;②ａ≠ 0且ｂ =0 ;③ａ≠ 0且ｂ≠ 0 ,这三种情况概括为 :ａ ,ｂ中至少有一个不等于 0 ,即ａ ,ｂ不全为 0 ,因此“ａ ,ｂ全为 0”的否定 (即非ｐ)应该是“ａ ,ｂ不全为 0” .上述讲授方式是否科学 ?问题 7　 下面的陈述是否恰当 :“或”命题是两个命题至少有一个存在的复合命…     

数表 造题 解题

所谓数表,就是把一些数字(或符号)按照一定的规律排成的一张表.借用数表可构造出许多趣味盎然,别具特色的数学问题,也可以帮助我们求解数学题,使难变易,使抽象变直观.本文将分三个方面谈谈有关数表的问题,以飨读者. 一、数表问题的构造1.把自然数1,2,3,…,n,…排成如表1.从表中可发现一些规律:从上至下,每一行的第一个数等于行数的平方;每一行都是奇数个数,     

n元一次不定方程解法新论

文 [1 ]、[2 ]、[3 ]、[4]都研究了ｎ元一次不定方程的通解问题 ,受 [1 ]、[2 ]、[3 ]、[4]的启发 ,笔者提出更为简捷有效的解法 .ｎ元一次不定方程ａ1ｘ1+ａ2 ｘ2 +…… +ａｎｘｎ=Ａ ,其中ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ,Ａ都是整数 ,当 (ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ)｜Ａ时 ,ａ1ｘ1+ａ2 ｘ2 +…… +ａｎｘｎ=Ａ必有整数解 .在有整数解的前提下 ,不妨设 (ａ1,ａ2 ,… ,ａｎ) =1 (下同 ) .1　二元一次不定方程二元一次不定方程ａｘ+ｂｙ=ｃ(ａ ,ｂ,ｃ∈Ｚ ,(ａ,ｂ) =1下同 )的所有整数解为ｘ=ｘ0 +ｂｔｙ=ｙ0 -ａｔ(ｔ∈Ｚ)其中ｘ0 ,ｙ0 是ａｘ+ｂｙ =ｃ的一个特…     

函数图象的对称性与函数的周期性

拜读了《数学通讯》1999年第 7期逄坤敬老师《有关函数周期性的几个结论》一文 ,很受启发 ,由此联想到函数图象的对称性与函数周期性的关系 .原文得出的三个结论为 :结论 1　如果定义在Ｒ上的函数ｆ(ｘ) 是偶函数 ,且ｘ =ａ (ａ≠ 0 )是它的一条对称轴 ,则 ｆ(ｘ) 必是周期函数 .结论 2　如果定义在Ｒ上的函数ｆ(ｘ) 是奇函数 ,且ｘ =ａ (ａ≠ 0 )是它的一条对称轴 ,则 ｆ(ｘ) 必是周期函数 .结论 3　定义在Ｒ上的函数ｆ(ｘ) 有两条对称轴ｘ =ａ和ｘ =ｂ (ａ≠ｂ ,ａ ,ｂ中至少有一个不为零 ) ,则ｆ(ｘ) 是周期函数 .对于结论 3,若ａ ,ｂ中…