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过抛物线的焦点F作一直线与抛物线交于两点A,B,线段AB叫做抛物线的焦点弦。当焦点弦AB垂直于对称轴,这时AB就叫做抛物线的通径。抛物线的焦点弦有一些颇为重要的性质,掌握这些性质对于解决有关抛物线的问题大有方便之处,因此,本文拟将它的这些性质作一个简单的介绍。为了简单一点,我们约定文中所提及的 相似文献
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<正>1.定义焦点弦过圆锥曲线焦点的直线交圆锥曲线于A、B两点,则线段AB叫做该圆锥曲线的焦点弦.通径与圆锥曲线的对称轴垂直的焦点弦叫做该圆锥曲线的通径.2.性质通径是圆锥曲线最短的焦点弦. 相似文献
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圆锥曲线通径长公式的应用 总被引:1,自引:0,他引:1
定义 过圆锥曲线焦点作垂直于过焦点的对称轴的垂线被圆锥曲线所截得的线段叫做圆锥曲线的通径 .定理 椭圆、双曲线、抛物线通径长为2ep( p为圆锥曲线焦点到相应准线的距离 ) .证明 抛物线 (略 )、椭圆、双曲线的通径长均为2b2a ,而 | a2c-c| =b2c=p ,∴ 2b2a =2× ca×b2c=2ep .例 1 过抛物线y2 =2px( p >0 )的焦点且垂直于x轴的弦为AB ,O为抛物线顶点 ,则∠AOB( ) . (A)小于 90° (B)等于 90° (C)大于 90° (D)不能确定与 90°的大小图 1解 ∵ 通径长为2 p ,如图 1 ,∴ |AF| … 相似文献
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“弦与切线”是圆锥曲线所研究的主要对象,在新教材中由于导数的引入,给“切线”问题的研究提供了方便.下面笔者针对抛物线的切线性质问题作一番探析,为了研究的需要,笔者采用“特殊→一般”的探求模式进行,供参考.一、由抛物线的一条切线引出的性质特殊问题1:已知抛物线y2=2px(p>0),AB是它的一条通径,过通径的一个端点A作抛物线的切线,交抛物线对称轴于C点,设抛物线的焦点为F.求证:|AF|=|CF|.问题分析:∵A是通径的一个端点,可设点A(2p,p)则过点A的切线方程为:py=p(x+2p),令y=0,即得点C(-2p,0),∴|CF|=p,∵|AF|=p,∴|AF|=|CF|.上面… 相似文献
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定理设倾斜角为α的直线经过对称轴与坐标轴平行(重合)的圆锥曲线的焦点F,且与圆锥曲线交于A,B两点,记圆锥曲线的离心率为e,焦点F到相应准线的距离为p,则1)当焦点在与x轴平行(重合)的对称轴上时,弦AB的长AB=1-2e2pceos2α;2)当焦点在与y轴平行(重合)的对称轴上时,弦AB的长AB=1- 相似文献
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经过圆锥曲线焦点且与对称轴垂直的直线被圆锥曲线截得的线段长叫通径.该线段的端点叫做通径端点.本文介绍它的一个有趣性质与应用,供读者参考. 相似文献
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<正>设抛物线的方程为y2=2px(p>0),过焦点F(p/2,0)作倾斜角为α的直线交抛物线于M、N两点,则称线段MN为抛物线的焦点弦,抛物线的焦点弦具有很多性质,也是高考常考内容.下面就抛物线的焦点弦作以下探究,以供参考. 相似文献
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在通径为2p的抛物线C中,给定一条长度为a的动弦AB,当弦AB在抛物线C上运动时,由弦AB和抛物线C所围成的弓形面积是否存在最大值呢?如图1所示,本文就这个问题进行探讨. 相似文献
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设抛物线的方程为y^2=2px(p〉0),过焦点F(p/2,0)作倾斜角为a的直线交抛物线于M、N两点,则称线段MN为抛物线的焦点弦,抛物线的焦点弦具有很多性质,也是高考常考内容.下面就抛物线的焦点弦作以下探究,以供参考. 相似文献
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抛物线中的性质较多 ,如能熟练记忆 ,在解题过程中将大大提高解题速度 .本文主要介绍与抛物线焦点弦有关的几个性质 .图 1 证明用图以抛物线 y2 =2 px(p >0 )为例 ,线段AB为过其焦点F的弦 ,由A ,B分别向准线引垂线AA1,BB1,垂足分别为A1,B1(见右图 )性质 1:以焦半径BF(或AF)为直径的圆与 y轴相切 ;性质 2 :以焦点弦AB为直径的圆与其准线x =- p2 相切 ;性质 3:以线段A1B1为直径的圆与AB相切 ,切点为F .证明 设A(x1,y1) ,B(x2 ,y2 ) .性质 1:即证线段BF的中点到 y轴的距离等于线段BF长度的一半 .设… 相似文献
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在高考中抛物线的焦点弦及焦点三角形面积是解析几何的热点之一,对于抛物线过焦点弦的弦长公式∣AB∣=(2p)/(sin 2α)和顶点O△连接的OAB的面积公式SOAB=(p2)/(2sin α),在解决抛物线过焦点弦的问题,可避免冗长的推理和运算,大大降低难度,使解题过程简捷而明了,从而获得事半功倍的解题效果!…… 相似文献
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性质1 如图1,抛物线E:y^2=2px(p〉0)的焦点为F,过焦点F作两条互相垂直的弦AB,CD,设弦AB,CD的中点分别为M,N, 相似文献
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圆锥曲线"准点弦"的几个性质 总被引:3,自引:0,他引:3
圆锥曲线焦点弦和顶点弦长问题是中学数学研究的热点,如文[1]和文[2],而对圆锥曲线“准点弦”(经过圆锥曲线准线与其对称轴交点的直线被圆锥曲线截得的弦)问题的研究并不多见.为此,笔者对圆锥曲线“准点弦”作了些研究,得到了几个性质,现说明如下,供读者参考.定理1经过横向型圆锥曲线的准线与其对称轴交点E作斜率为k或倾斜角为θ的直线L,L与圆锥曲线相交于A,B两点,圆锥曲线焦点F到相对应准线的距离为p,圆锥曲线的离心率为e,则|AB|=2p(1 k2)(e2-k2)|1 k2-e2|=2pe2-tan2θ|secθ-e2cosθ|.证明以EF所在直线为x轴,F为坐标原点建立直… 相似文献
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题目经过抛物线y2=2px的焦点F,作一条直线垂直于它的对称轴,和抛物线相交于A,B两点,线段AB叫做抛物线的通径.求通径AB的长.这是高中《平面解析几何》(必修)习题八第5题.人民教育出版社的教学参考书提供的解法为:将A,B两点的横坐标xA=xB=... 相似文献
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文 [1]给出了如下一个命题 :过抛物线 y2 =2 px(p >0 )的焦点 F作一直线交抛物线于 A、B两点 ,若线段 AF与FB的长分别为 a,b,则S△ A OB=p24 (ab+ba) .经过探索 ,我们证明了另一个命题 如图 1,过 x轴正方向上一点 M作直线 AB交抛物线y2 =2 px(p >0 )于 A、B两点 ,AM、BM的长分别为 a、b,且S△ AOB =p24 (ab+ba) ,则点 M为抛物线的焦点 .图 1证明 设 M(c,O) ,A(x1 ,y1 ) ,B(x2 ,y2 ) ,AB的方程为 y =k(x - c) ,与 y2 =2 px联立得k2 (x2 - 2 cx +c2 ) =2 px,k2 x2 - 2 (k2 c+p) x +k2 c2 =0 ,∴ x1 +x2 =2 (k2 c+p)k2 , x1… 相似文献
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我们都知道,对于一个给定的球,总有它的外切圆台(不只一个)存在.但反过来,对于一个给定的圆台,却不总有其内切球.为此,本文将介绍抛物线焦点弦的一个应用——有内切球的圆台的判别与构作.定理如果抛物线的焦点弦与其对称轴不垂直,那么这条焦点弦绕其准线旋转一周而生成的圆台(焦点弦生成圆台侧面,其端点到准线的垂线段生成圆台的两底)必有其内切球.如图1,F为抛物线C的焦点,线段AB为C的一焦点弦,直线A;BI为C的准线,且AAI、BBI分别垂直AIBI于AI、BI;D为C的顶点,o为线段A1B;的中点.要证明直角梯形AIABBI… 相似文献