抛物线中一个有趣的梯形面积公式

本文介绍抛物线焦点弦和准线相关的一个有趣的梯形面积公式,供读者学习参考.定理经过抛物线y2=px(p>0)焦点作倾斜角为θ的弦AB,A,B两点在抛物线准线上的射影分别为C,D     

错在哪里

题目设抛物线C：y^2=8x，若椭圆D的左焦点F和相应的左准线l分别与抛物线的焦点、准线重合，椭圆短轴的一个端点为B，且线段BF的中点M到定点A(m，0)的距离的最小值是√3，试求实数例的值及此时的椭圆方程．     

用焦点弦定比解题

例过抛物线的焦点弦的两端点作抛物线的切线,求证:两切线的交点P在其准线上。证明设抛物线方程为y~2=2px,焦点F(p/2,0),焦点弦端点分别为A(x_1·y_1)、B(x_2,     

抛物线焦点弦的基本图形分析

过抛物线r~2=2px(p>0)的焦点F作一直线交抛物线于点P、Q,称线段PQ为抛物线的焦点弦,线段PF和QF分别为过点P,Q的焦点半径。又过P,Q作准线l的垂线,垂足为     

抛物线焦点弦的一些性质

过抛物线的焦点F作一直线与抛物线交于两点A,B,线段AB叫做抛物线的焦点弦。当焦点弦AB垂直于对称轴,这时AB就叫做抛物线的通径。抛物线的焦点弦有一些颇为重要的性质,掌握这些性质对于解决有关抛物线的问题大有方便之处,因此,本文拟将它的这些性质作一个简单的介绍。为了简单一点,我们约定文中所提及的     

怎样画抛物线的草图

笔者曾调查过15位高中数学老师,结果有8位不能很好地画出抛物线的草图,出乎意料地超过了半数．本文介绍抛物线的草图的一种画法．先给出一个名词:过抛物线的焦点垂直于抛物线对称轴的弦,叫做抛物线的通径．通径长为2p(其中p为抛物线焦点到准线的距离)．于是,通径长为焦点到准线距离的2倍,或焦点到顶点距离的4倍．通径长是画抛物线草图的主要根据之一,用它来检验,可以发现甚至有些教科书上的抛物线图也不正确．     

2010年浙江卷文科压轴题的推广

题已知m是非零实数,抛物线C:y2=2pxx>0的焦点F在直线l:x-my-(m2)/(2)=0上. (Ⅰ)若m=2,求抛物线C的方程; (Ⅱ)设直线l与抛物线C相交于A,B两点,过A,B分别作抛物线C的准线的垂线,垂足为A1,B1,△AA1F,△BB1F的重心分别为G,H.求证:对任意非零实数m,抛物线C的准线与x轴的交点在以线段GH为直径的圆外.     

抛物线中的几个常用性质

抛物线中的性质较多 ,如能熟练记忆 ,在解题过程中将大大提高解题速度 .本文主要介绍与抛物线焦点弦有关的几个性质 .图 1　证明用图以抛物线 ｙ2 =2 ｐｘ(ｐ >0 )为例 ,线段ＡＢ为过其焦点Ｆ的弦 ,由Ａ ,Ｂ分别向准线引垂线ＡＡ1,ＢＢ1,垂足分别为Ａ1,Ｂ1(见右图 )性质 1:以焦半径ＢＦ(或ＡＦ)为直径的圆与 ｙ轴相切 ;性质 2 :以焦点弦ＡＢ为直径的圆与其准线ｘ =- ｐ2 相切 ;性质 3:以线段Ａ1Ｂ1为直径的圆与ＡＢ相切 ,切点为Ｆ .证明　设Ａ(ｘ1,ｙ1) ,Ｂ(ｘ2 ,ｙ2 ) .性质 1:即证线段ＢＦ的中点到 ｙ轴的距离等于线段ＢＦ长度的一半 .设…     

抛物线的定长弦中点横坐标的最小值

促使我思考“抛物线的定长弦中点横坐标的最小值”这个问题是在教学中遇到了下面一道题 :定长为 5的线段ＡＢ的两端点在抛物线ｙ2 =4ｘ上移动 ,设线段ＡＢ的中点为Ｍ ,求点Ｍ到准线的最短距离 .为该题提供的参考答案是这样解的 :把弦ＡＢ分成两类 :(1 )弦ＡＢ过焦点Ｆ时 ,过Ａ ,Ｍ ,Ｂ分别作准线的垂线 ,垂足分别为Ａ′,Ｍ′,Ｂ′ .｜ＭＭ′｜=12 (｜ＡＡ′｜+｜ＢＢ′｜)=12 (｜ＡＦ｜+｜ＢＦ｜)=12 ｜ＡＢ｜ =52(2 )弦ＡＢ不过焦点Ｆ时 ,过Ａ ,Ｍ ,Ｂ分别作准线的垂线 ,垂足分别为Ａ′,Ｍ′,Ｂ′ .｜ＭＭ′｜=12 (｜ＡＡ′｜+｜ＢＢ′｜)=…     

与焦点弦有关的一个定比

在圆锥曲线中,焦点弦是一种比较特殊的线段,笔者发现焦点分焦点弦所得的两线段的长度,与焦点弦弦长之间存在如下的一个定比关系:定理已知圆锥曲线的离心率为e,焦准距(焦点到对应准线的距离)为|FM|,过焦点F的直线交圆锥曲线于两点A,B,则有     

抛物线焦点弦的性质

抛物线焦点弦具有不少性质 ,均散见在各类书刊上 .本文将系统地归纳集中 ,以期对焦点弦的几条最主要的性质有一个更全面的、更深刻的了解 .从而进一步提高运用这些性质去解决相关问题的数学素质和应用能力 .( 1 )1　焦点弦 (通径 )的定义通过抛物线焦点的直线(不与抛物线对称轴平行 )被抛物线截得的线段 ,叫做抛物线的焦点弦 ,如图 (1 ) .线段 AB叫做抛物线 y2 =2 px(p >0 )的焦点弦 . (当AB垂直于抛物线的对称轴时 ,AB叫做抛物线的通径 ) .2　焦点弦的性质定理 1　抛物线焦点弦长等于 2 p(1 1k2 )或2 psin2 α并且以通径长为最小 ,最小…     

抛物线焦点弦的性质探究

设抛物线的方程为y^2=2px（p〉0）,过焦点F（p/2,0）作倾斜角为a的直线交抛物线于M、N两点,则称线段MN为抛物线的焦点弦,抛物线的焦点弦具有很多性质,也是高考常考内容．下面就抛物线的焦点弦作以下探究,以供参考．     

圆锥曲线一个统一性质的简单证明

文[1]给出了如下性质:性质设圆锥曲线E的一个焦点为F,相对应的准线为l,过焦点F的直线交圆锥曲线于A,B两点,C是圆锥曲线E上的任意一点,直线CA,CB分别与准线l交于M,N两点,则以线段MN为直径的圆必过焦点F.文章就抛物线、椭圆和双曲线情形分别加以证明,非常繁琐,而且关键部分语焉不详.本文将给出     

圆锥曲线切线的一个统一性质

性质1 如图1,已知P是过抛物线y^2=2px（p〉0）的准线与x轴的交点M的弦AB在两端点处的切线的交点,线段AB的中点为C,F为抛物线的焦点,则（1）PF⊥x轴;（2）PC⊥PF． 证明 （1）设A（x1,y1）,B（x2,y2）,直线AB的方程为x=ty-p/2,联立直线AB的方程和抛物线方程消x整理得y^2-2pry＋p^2=0,所以由韦达定理有y1＋y2=2pt,y1y2=p^2     

抛物线一个性质的推广

命题（抛物线的一个性质）：设抛物线y2—2px（P〉0）的焦点为F,过F点的直线交抛物线于A、B两点,BC//x轴。交抛物线的准线l于点C,则直线AC经过原点O．     

抛物线焦点弦的性质与应用

经过抛物线焦点且被抛物线截得的线段叫做抛物线的焦点弦．它引人注目,是一个非常重要的几何量,与其相关的问题是高考的一大手笔,长考不衰,角度常变,题型形式多样,可谓考试长青树,故值得我们深入分析和研究．为此,本文介绍抛物线焦点弦的几个重要性质与应用,供读者参考．     

精想细算 轻松突破

<正>2017年北京高考理科第18题:已知抛物线C:y²=2px过点P(1,1),过点(0,1/2)作直线l与抛物线C交于不同的两点M,N,过点M作x轴的垂线分别与直线OP、ON交于点A,B,其中O为原点.(Ⅰ)求抛物线C的方程,并求其焦点坐标和准线方程;(Ⅱ)求证:A为线段BM的中点.     

一道高考题的解法分析

2001年全国高考试卷(理)第19题:设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A,B两点,点C在抛物线的准线上,且BC//x轴,证明直线AC经过原点O. 本题以抛物线为载体,着重考查了抛物线焦点弦、直线方程,斜率等一系列基础知识,考生可以从多种不同角度入手进行分析,得到不同的证法. 证法一(如图) 分析要证直线AC经过原点O,只需证得kOA=kOC. 证明设 A(x1,y1),B(x2,y2), ∵BC//x轴,C在抛物线y2=2px的准线上,     

一道高考题的背景、拓广与应用

问题1(2007年重庆卷,文21)倾斜角为α的直线经过抛物线交于A,两点(图略). 　　(Ⅰ)求抛物线的焦点F的坐标及准线ι的方程; 　　(Ⅱ)若α为锐角,作线段AB的垂直平分线m交X轴于点P,证明|FP|-|FP|cos2α为定值,并求此定值.……     

圆锥曲线焦点弦的一个性质

文[1]给出了圆锥曲线的一个统一性质:已知A,B是圆锥曲线C上关于x轴对称的任意两个不同的点,点P是C的准线与x轴的交点,直线PB交C于另一点E,则直线AE恒过曲线C的(与准线相对应的)焦点F.显然,AE是圆锥曲线的一条焦点弦.通过研究该性质的逆命题,我们可以得到如下的与焦点弦有