一个公式的完善

《数学通报》2 0 0 1年第 2期Ｐ2 5《焦点弦长度与斜率的换算关系》一文给出如下一个定理 :定理　设ＡＢ是圆锥曲线过焦点Ｆ的弦 ,其长度记为ｄ ,ＡＢ相对于焦点所在对称轴的倾斜角为θ (θ≠ 90°) ,ｔｇθ =ｋ ,ｅ为离心率 ,ｐ为焦点到相应准线的距离 ,则ｄ与ｋ的关系式为 :ｄ =2ｅｐ(1 ｋ2 )(1 ｋ2 ) -ｅ2 (或ｋ2 =ｅ2 ｄｄ - 2ｅｐ- 1) ( )说明 :1)当θ =90°时 ,ｄ =2ｅｐ ;2 )对于椭圆和双曲线 ,ｐ =ｂ2ｃ;3)在移轴变换之下 ,长度与夹角都是不变量 ,当焦点所在对称轴与ｘ轴重合或平行时 ,定理中ｋ或 -ｋ是弦ＡＢ的斜率 ;当焦点所在对…     

圆锥曲线"准点弦"的几个性质

圆锥曲线焦点弦和顶点弦长问题是中学数学研究的热点,如文[1]和文[2],而对圆锥曲线“准点弦”(经过圆锥曲线准线与其对称轴交点的直线被圆锥曲线截得的弦)问题的研究并不多见.为此,笔者对圆锥曲线“准点弦”作了些研究,得到了几个性质,现说明如下,供读者参考.定理1经过横向型圆锥曲线的准线与其对称轴交点E作斜率为k或倾斜角为θ的直线L,L与圆锥曲线相交于A,B两点,圆锥曲线焦点F到相对应准线的距离为p,圆锥曲线的离心率为e,则｜AB｜=2p(1 k2)(e2-k2)｜1 k2-e2｜=2pe2-tan2θ｜secθ-e2cosθ｜.证明以EF所在直线为x轴,F为坐标原点建立直…     

圆锥曲线主轴上点的一种配对性

本文称圆锥曲线焦点所在的对称轴为主轴 ,并阐明主轴上点的一种配对关系 .设圆锥曲线Γ的离心率为 e,一个焦点为 F,主轴为 l,在 l上距 F较近的顶点为 O.定理　设 M、N为 l上满足关系　　 1OM 1ON=1 - eOF (* )的两点 ,则对Γ的过点 M的任一弦 AB(A、B为弦的端点 ) ,l平分直线     

圆锥曲线焦点弦长的一个公式及应用

定理 设倾斜角为α的直线经过对称轴与坐标轴平行（重合）的圆锥曲线的焦点F，且与圆锥曲线交于A，B两点，记圆锥曲线的离心率为e，焦点F到相应准线的距离为P，则     

圆锥曲线弦的中垂线的一个几何性质

笔者利用《几何画板》软件研究圆锥曲线时,发现圆锥曲线弦的中垂线有如下几何特征.性质1已知椭圆的中心为O,焦点F对应的准线为l,椭圆的离心率为e.弦AB(既不与对称轴垂直,也不经过中心)的中点为C,弦AB的垂直平     

抛物线焦点弦的性质

抛物线焦点弦具有不少性质 ,均散见在各类书刊上 .本文将系统地归纳集中 ,以期对焦点弦的几条最主要的性质有一个更全面的、更深刻的了解 .从而进一步提高运用这些性质去解决相关问题的数学素质和应用能力 .( 1 )1　焦点弦 (通径 )的定义通过抛物线焦点的直线(不与抛物线对称轴平行 )被抛物线截得的线段 ,叫做抛物线的焦点弦 ,如图 (1 ) .线段 AB叫做抛物线 y2 =2 px(p >0 )的焦点弦 . (当AB垂直于抛物线的对称轴时 ,AB叫做抛物线的通径 ) .2　焦点弦的性质定理 1　抛物线焦点弦长等于 2 p(1 1k2 )或2 psin2 α并且以通径长为最小 ,最小…     

圆锥曲线的一个性质及应用

1性质过圆锥曲线的焦点F作倾斜角为α的直线l与圆锥曲线交于A,B两点(点A在B的上方),且F分AB的比为λ,e为离心率,则cos2α=e(2(λλ- 11))22.证明以圆锥曲线中的椭圆为例,设过椭圆xa22 by22=1(a>b>0)右焦点F(c,0),倾斜角为α的直线l交椭圆于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则当α≠2π时     

圆锥曲线焦点弦弦长定理及其应用

所谓圆锥曲线的焦点弦,就是一直线经过圆锥曲线的焦点且与圆锥曲线相交于两点所成的线段。焦点弦弦长公式可由下面的定理和推论给出。定理苦e是圆锥曲线的离心率,p是焦点到准线的距离,则与圆锥曲线的对称轴的夹角为θ的焦点弦的长为:l=2ep/(1-e~2cos~2θ) 证明:如图1, 以圆锥曲线的焦点F为极点O,焦点向准线所作垂线的反向延长线为极轴建立极坐标系,则圆锥曲线的极坐标方程     

圆锥曲线一个性质的简证

惠润科老师在文[1]中给出圆锥曲线的如下性质:过圆锥曲线焦点F作倾斜角为α的直线l与圆锥曲线交于A,B两点,且F分AB所成比为λ,e为离心率,则cos2α=e(2(λλ- 11))22.原证明采用传统解析几何的方法,但证明过程较繁琐.笔者利用圆锥曲线的第二定义,并采用数形结合的方法,给出该性质的一个简证.证明以椭圆为例,如图1,AD,BC为准线的垂线,BE垂直AD,F分AB所成比为λ(λ>0),设BF=x,AF=λx(x>0).由圆锥曲线第二定义:BBFC=e BC=1ex,同理AD=eλx,(1)λ>1时,AD>BC,AE=AD-BC,图1图2由图1得cos2α=sin2∠ABE=AABE2=ADA-BBC2=λ-1ex2(…     

圆锥曲线的另一分类标准

我们知道,平面内到定点F的距离与到定直线l(点F不在l上)的距离的比为常数e的点的轨迹为圆锥曲线,记为Γ,这里定点F为其焦点,定直线l为与F对应的准线,常数e为其离心率.根据离心率e的不同的取值范围,可以将Γ划分为椭圆、双曲线、抛物线三类:当0＜e＜1时,г为椭圆;当e＞1时,Γ为双曲线;当e=1时,Γ为抛物线.本文从圆锥曲线г在焦点弦端点处的两切线所成角的范围出发,给出圆锥曲线的另一个分类标准.     

圆锥曲线特征点和线的一组性质

圆锥曲线特征点指的是焦点、顶点以及准线与轴的交点 .特征线指的是过焦点、顶点且与轴垂直的直线和准线 .经研究 ,它们有如下一组新颖有趣的性质 .定理 1　 l是经过椭圆 b2 x2 a2 y2 =a2 b2 ( a >b >0 )长轴顶点 A且与长轴垂直的直线 ,E、F是椭圆两个焦点 ,e是离心率 ,点 P∈ l,若∠ EPF =α,则α为锐角且 sinα≤ e或α≤ arc sin e(当且仅当 | PA| =b时取等号 ) .证明　如图 1 ,不妨设 A为右顶点 ( a,0 ) ,则 l的方程为 x =a,且点 P在x轴上方 ,记点 P为 ( a,y) ( y >0 ) .由两线所成的角得 图 1tanα =k PF - k PE1 k PFk PE…     

有心圆锥曲线的一个共线点性质

本文给出椭圆、双曲线的一个共线点性质.先约定:若椭圆、双曲线的两条弦分别与该圆锥曲线的一对共轭直径平行,则称这两条弦是一对共轭弦.引理:若过A(x1,y1)、B(x2,y2)两点的直线与直线l:Ax+By+C=0交于点P(P≠B),则P分有向线段AB的比λ=AAxx12++BByy21++CC.定理1:△ABC内接于椭圆,P为椭圆上异于A、B、C的任意一点,过P作△ABC三边的共轭弦分别交AB、BC、CA于D、E、F,则D、E、F三点证共明线:设.椭圆b2x2+a2y2=a2b2,当AB、BC、CA都不与x轴、y轴垂直时,设A(acosα,bsinα),B(acosβ,bsinβ),C(acosγ,bsinγ),P(acosθ,bsin…     

通径是圆锥曲线最短的焦点弦

<正>1.定义焦点弦过圆锥曲线焦点的直线交圆锥曲线于A、B两点,则线段AB叫做该圆锥曲线的焦点弦.通径与圆锥曲线的对称轴垂直的焦点弦叫做该圆锥曲线的通径.2.性质通径是圆锥曲线最短的焦点弦.     

圆锥曲线通径长公式的应用

定义　过圆锥曲线焦点作垂直于过焦点的对称轴的垂线被圆锥曲线所截得的线段叫做圆锥曲线的通径 .定理　椭圆、双曲线、抛物线通径长为2ｅｐ( ｐ为圆锥曲线焦点到相应准线的距离 ) .证明　抛物线 (略 )、椭圆、双曲线的通径长均为2ｂ2ａ ,而 | ａ2ｃ-ｃ| =ｂ2ｃ=ｐ ,∴　2ｂ2ａ =2× ｃａ×ｂ2ｃ=2ｅｐ .例 1　过抛物线ｙ2 =2ｐｘ( ｐ >0 )的焦点且垂直于ｘ轴的弦为ＡＢ ,Ｏ为抛物线顶点 ,则∠ＡＯＢ(　　 ) .　 (Ａ)小于 90°　 (Ｂ)等于 90°　 (Ｃ)大于 90°　 (Ｄ)不能确定与 90°的大小图 1解　∵　通径长为2 ｐ ,如图 1 ,∴　 |ＡＦ| …     

也谈作圆锥曲线的切线使之平行于已知直线

如何作圆锥曲线与已知直线平行的切线 .文〔1〕给出了一种作法 ,该作法的作图条件是已知圆锥曲线的对称轴及焦点 .本文将探讨在不需任何附加条件的情况下 ,如何作圆锥曲线与已知直线平行的切线 .定理　已知圆锥曲线Ｔ及其上一点Ｐ ,ｌ为Ｔ在点Ｐ的切线 ,则Ｔ共轭于ｌ的直径过点Ｐ .证明　略 (见文〔3〕)作图题　已知圆锥曲线Ｔ及平面内一条直线ｌ(当Ｔ为抛物线时 ,Ｔ与ｌ平行的弦存在 ;当Ｔ为双曲线时 ,Ｔ与ｌ平行的弦存在 ,并且在Ｔ的同支上 ) ,试求作圆锥曲线Ｔ与直线ｌ平行的切线 .作法　 (1 )作Ｔ与ｌ的平行线的两条弦ＡＢ、ＣＤ ,并分…     

圆锥曲线的一个性质

笔者在进行圆锥曲线章节内容的教学时,发现圆锥曲线的一个性质:图1定理过圆锥曲线焦点弦的一个端点向相应的准线作垂线,垂足与另一个端点的连线必经过焦点到相应准线的垂线段的中点.如图1:AB为经过焦点F的焦点弦,l为相应的准线,过B作l的垂线,垂足为C,连AC,证明:AC经过FK的中点N.这个命题的证明可以用解析几何的方法证明,但为了体现圆锥曲线的统一性,给出如下的证明:证过A作l的垂线交l于D点.设圆锥曲线的离心率为e,则:BF=e·BC,AF=e·AD∵NFBC=AFAB,∴NF=AF·BCAB=e·AD·BCAB=AD·BFAB∵KNAD=CNCA=BFAB,∴KN=AD…     

圆锥曲线的焦半径公式及应用

如图 1 ,F为圆锥曲线的焦点 ,l为相应于焦点F的圆锥曲线的准线 ,过点F作准线l的垂线 ,垂足为k,令|FK| =p ,M为圆锥曲线上任意一点 ,MN⊥l于N ,FH⊥MN于H ,设∠XFM =θ ,依圆锥曲线的统一定义有|MF||MN| =e ( 1 )又 |MN| =|NH|± |MH| =|FK|± |MH|=p + |MF|cosθ,代入 ( 1 )有|MF|p + |MF|cosθ=e,|MF| =ep1 -ecosθ ( 2 )若直线MF交圆锥曲线于另一点M′.同理可证|M′F| =ep1 +ecosθ ( 3)由此还可推出过焦点F的弦长为|MM′| =|MF| + |M′F|=ep1 -ecosθ+ ep1 +ecosθ=2ep1 -e2 cos2 θ ( 4 )应用上面的公式 ( 2 ) ,( …     

一个定理的引申及应用

《数学通讯》2010年第11、12期(学生刊)的文[1]中给出了这样一个定理:设F是椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的一个焦点,过F的弦AB与x轴的夹角为θ(θ∈(0,π/2],│→AF│/│→FB│=λ (λ＞1),e是离心率,椭圆焦点到相应准线的距离为p,则 (1)ecosθ=λ-1/λ+1; (2) |AB|=2ep/1-(λ-1/λ+1)2.     

圆锥曲线焦点弦长度的三角形式及应用

圆锥曲线的焦点弦问题是解几教学的一个重点与难点，也是各类考试的热点．解答此问题，不仅演算繁长，而且稍不留心，就出差错．为此，本文利用极坐标推导出圆锥曲线在直角坐标系中的焦点弦长度的一种表达形式─—三角形式．现说明如下：定理AB是经过椭圆b~2x~2＋a~2y~2=a~2b~2（a＞b＞0）或双曲线b~2x~2-a~2y~2=a~2b~2或抛物线y~2＝2px工焦点F的弦，椭圆和双曲线的半焦距为c，若AB的倾斜角为a，则证明（1）以椭圆左焦点F为极点，Fx为极轴建立标系，则椭圆方。为P=关于双曲线与抛物线的证明与椭圆相仿，从略．运用这个公式解决圆锥曲线…     

圆锥曲线的一条美妙性质

圆锥曲线有很多美妙性质 ,本文给出一条新的性质 .定理　设圆锥曲线的一条准线与对称轴的交点为 A,其相应的通径的一个端点为 B,则直线 AB一定与该圆锥曲线相切 ,证明　 ( 1 )当圆锥曲线是椭圆时 ,不妨设椭圆方程是　 x2a2 + y2b2 =1 ( a >b>0 ) ,只考虑 A( - a2c,0 ) ,B( - c,b2a) ,则直线 AB的方程为 y =ca( x + a2c) ,将其代入椭圆方程得( b2 + c2 ) x2 + 2 a2 cx + a4- a2 b2 =0 ,其判别式Δ =0 ,故直线与椭圆相切 .( 2 )当圆锥曲线是双曲线时 ,同上可证 .( 3)当圆锥曲线是抛物线时 ,设抛物线方程得 y2 =2 px( p >0 )考虑点 A( - p2…