极端法解一类对称不定方程问题

<正>我在做竞赛题时体会到,一些对称的不定方程可以用极端的方法解决.这种方法很有代表性,为突出方法的重要性,例题都选自自主招生的真题.例1(2012年清华保送生考试)求不定方程1/x+1/y+1/z=1的所有正整数解(x,y,z).解不妨设x≤y≤z,由对称性,先令x=y=z,则x=3,于是只有:x=2或x=3,当x=     

妙用公式ab=((a+b)/2)~2-((a-b)/2)~2

在平方差公式x2-y2=(x+y)(x-y)中,令x=(a+b)/2,y=(a-b)/2,便可得到公式ab=(a+b/2)2-(a-b/2)2,运用此公式,可巧解国内外一组竞赛题.例1 正数a,b,c,x,y,z,满足a+x=b+y=c+z=k,求证:ax+by+cz相似文献   

数学问题解答

20 0 4年 1月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 471　求方程组 x+y =ztz+t =xy的非负整数解 .解　因为方程组中x与y ,z与t可以互换 ,所以可以先求满足 0 ≤x≤y ,0 ≤z≤t的整数解组 (x,y ,z,t) .( 1 )若x、z中有一个为零 ,不妨设x=0 ,则由原方程组消去t得 :y+z2 =0所以y =z=0 ,t= 0 .即 ( 0 ,0 ,0 ,0 )是原方程组求的一组解 .( 2 )若x ,z都不是 0 ,但是有一个为 1 ,设x=1 ,则由原方程组消去y得 :t+z=zt - 1所以 (z- 1 ) (t- 1 ) =2 ,因为z,t为正整数且z≤t,所以z - 1 =1t- 1 =2 得z=2 ,t =3,y=5即 ( 1 ,5 ,2 ,3)是原方程组的一组解 ,同…     

W.Janoux猜测的原形(本源)浅析及其加强与应用

以下问题就是W .Janoux猜测设x、y、z>0　则y2 -x2z +x + z2 -y2x +y + x2 -z2y +z ≥ 0此不等式流传已久 ,迄今为止已有多种证法 ,但其最简表示形式 (即原形 )是什么 ?不得而知 .在正本清源这种思想的引导下 ,笔者对其进行了分析、研究 ,并获得了一个很好的结果 ,现介绍如下 .1　一个简单而有趣的代换设x、y、z是正数 ,令a=x +y ,b=x+z,c=y +z.则y-x=c-b ,z -y=b-a ,x-z=a -c.而且这里的a、b、c满足条件a+b>c,a+c >b ,b+c>a ,故以a、b、c为边可构造一个三角形 .所以这个代换就揭示了一组正数与三角形的边之间的一种等价转换关系 .2　猜测…     

用配方法求值

下面以近几年国内外各种数学竞赛题为例,说明配方法在解题中的应用,供读者参考1一、求单项式的值例1(1997年“五羊杯”初中数学竞赛题)已知:实数x,y,z适合x y=6,z2=xy-9,则z=()1A1±1B10C11D1-1解:∵x y=6,∴x=6-y,代入z2=xy-9,得z2=6y-y2-9=-(y-3)21而z2≥0,-(y-3)2≤01∴z=01     

"三元等和代换"及其应用

对于任意的三个正数 x,y,z,总可以由另外的三个实数 a,b,c表示为 :( T)　x =- a b c,y =a - b c,z =a b - c.则易知 a >0 ,b >0 ,c>0 ,且x y z =a b c.我们称上述的代换为“三元等和代换”,以下简称 ( T)代换 .由 ( T)代换的结构形式 ,可以看出它有其明显的几何意义 :即 x,y,z是以 a,b,c为三边的三角形的任意两边之和与第三边的差 .由此 ,我们很自然地又会想到三角形的三边长 ,可由另外的三正数来表示 ,即 ( T)代换的逆代换 ( T) -1,从而有( T) -1　a =y z2 ,b =z x2 ,c =x y2 .显然　 x >0 ,y >0 ,z >0 .下面举例…     

通过联想巧解几道竞赛题

一、巧构特殊图形妙借面积公式[例1](第15届全俄数学竞赛题) 设x、y、z都是小于1的正实数. 求证:x(1-y) y(1-z) z(1-x)<1. 分析本题是证代数不等式,若按代数证法,较为繁冗.我们观察到:待证式左端为轮换对称式及数字“1”,可联想到构造一个边长为     

一道竞赛题引起的猜测

§1 一道竞赛题 △(x,y,z)是以x、y、z为边长的三角形面积,试证明对任意两个边长分别为a_1,b_1,c_1以及a_2,b_2,c_2的三角形,有并确定等号成立的条件。 这是第43届普特南数学竞赛的一道试题,其证明如下:     

最值问题例谈

在初中数学竞赛试题中,常常出现求最大值或最小值问题.除了利用二次函数的配方法求最值外,通常还借助于不等式“a+b≥2(?)”及一元二次方程的根的判别式“△”求解.灵活利用“a+b≥2(?)(a≥0,b≥0)”这个重要而基本的不等式,可以解决不少竞赛中棘手的最值问题.例1(2002年上海初中数学竞赛)若正数x、y、z满足xyz(x+y+z)=4,求(z+y)(y+z)的最小值.分析代数式(x+y)(y+z)展开整理可     

一道2000年IMO试题的高等数学背景

我们首先给出 2 0 0 0年第 41届 IMO之第2题及其解答 [1] :设 a、b、c是正数 ,满足 abc =1 .证明( a- 1 1b) ( b- 1 1c) ( c- 1 1a)≤ 1 .证明　令 a =xy、b =yz、c =zx,其中x、y、z为正数 ,则原不等式变为( x - y z) ( y - z x) ( z - x y)≤ xyz ( 1 )显然 x - y z、y - z x、z - x y里最多又有一个是负数 .如果恰有一个是负数 ,那么 ( 1 )式显然成立 ;如果这三个数都非负 ,那么根据算术平均—几何平均可得　 ( x - y z) ( y - z x)≤ 12 [( x - y z) ( y - z x) ]=x　 ( y - z x) ( z - x y)≤ 12 [( …     

数学问题解答

1999年11月号数学问题解答(解答由问题提供人给出)1221.求方程组x y z=3x3 y3 z3=3的所有整数解.解　原方程组化为x y=3-z(1)x3 y3=3-z3(2)(1)3-(2),得3xy(x y)=24-27z 9z2(3)(1)代入(3),可得xy=8-9z 3z23-z(4)由(1)、(4)知x、y是以下二次方程的两个整数根:t2-(3-z)t 8-9z 3z23-z=0解得t1,2=3-z±(z-1)2·z 5z-32=3-z±(z-1)2(1 8z-3)2(5)由此知,x、y、z均为整数当且仅当z-1=0或z-3=1或z-3=-8,即z=1或z=4或z=-5.将其依次代入求根公式(5),得原方程组的所有整数解(共四组):x=1y=1z=1或x=-5y=4z=4或x=4y=-5z=4或x=4y=4z=-5注:(5)式中根号内的(z…     

勾股三角形的内(傍)切圆半径的性质(待续)

边可以用然数表示的直角三角形叫做勾股三角形。边为x、y、z的勾股三角形记作(x,y,z)。其中x、y是直角边,较短的称为勾,较长的称为股;z是斜边,称为弦。今后亦可将符号(x,y,z)叫做勾股数组。x,y,z分别叫做勾数,股数,弦数。三角形(x,y,z)的边满足方程 x~2 y~2=z~2 (1)相反地,如果自然数x,y、z满足方程(1),那末从几何学中知道,边为x、y、Z的三角形是直角三角形。因此,研究勾股三角形可以归结为研究方程(1)的自然数解。故称方程(1)为勾股方程。 1.存在无数多个勾股三角形。如果把给定的勾股三角形的各边同乘以一个自然数,可得到与已知三角形相似的另一个     

一道国际竞赛题的简证

题目:(2006年土耳其国家队选拨考试)已知正数x,y,z满足xy yz zx=1,证明:247(x y)(y z)(z x)≥(x y y z z x)2≥63.文[1]采用三角换元法,并利用导数和Jensen不等式给出了证明.274(x y)(y z)(z x)≥(x y y z z x)2.但证明过程中错证了cosA cosB cosC≤323.从而证明247(x y)(y z)(z x)≥(x y y z z x)2的证法是错误的.下面给出一个简证.证明:先证(x y)(y z)(z x)≥98(x y z)(xy yz zx)①上面不等式等价于(x y z)(xy yz zx)-xyz≥98(x y z)(xy yz zx)(x y z)(xy yz zx)≥9xyz.由A—G不等式有x y z≥33xyz,xy yz zx≥33x2y2z2,故(x y z)(xy yz…     

一道2005年全国联赛试题的别解

2005年全国高中数学联合竞赛加试试题第二题为: 设正数a、b、c、x、y、z满cy bz=a,az cx=b,bx ay=c.求函数f(x,y,z)=(x2)/(1 x) (y2)/(1 y) (z2)/(1 z)的最小值.     

一个含参数的基本不等式及其应用

由完全平方式(a-t)2≥0易得如下的:命题a2≥2at-t2,其中t为参数.此不等式有着很好的应用价值,我们以一些竞赛题为例来加以说明.例1(前苏联奥尔德荣尼基市第三届数学竞赛题)已知x,y,z∈R ,且x y z=1,则x2 y2 z2≥13.证明由命题有:x2≥2tx-t2,y2≥2ty-t2,z2≥2tz-t2,三式相加得:x     

求解一类最值问题的好方法

<正>1问题的提出及解答(1)问题的提出及思考例1设x,y,z均为正数,■,求xy+2xz的最大值.文[1]应用三角换元给出此题一个解,文[2]则从配方、构造二次方程、三角换元、线性规划四个角度进行求解,文[3]认为此题难度很大,很难找到解题入口,用主元法给出此题的一个解.     

问题与解答

一本期问题 1 已知一直角三角形的面积为S,周长为l,求以二直角边为二根的一元二次方程。 2 求证(π-3.1415926) (π-3.1415927)≥-2.5×10~(-15) 陕西富平美原中学八五级郭翔宇提供 3 若x、y为实数,且有 y=(1-x~2)~(1/2)+(x~2-1)~(1/4)/2x-3求log_(1/2)(x+y)的值. 4 已知2x+5y+4z=0.3x+y-7z=0,求证 x+y-z=0. 5 已知锐角△ABC中有cosA+cosB-cos(A+B)=3/2,求证△ABC为等边三角形。     

一道数学竞赛题的研究

题目1(2012年上海市高中数学竞赛题)正实数x,y,z满足9xyz+xy+yz+zx=4,求证:(1)xy+yz+zx≥43;(2)x+y+z≥2.分析上面不等式等号成立当且仅当x=y=z=23,这时xy+yz+zx=43,x+y+z=2.对于第(1)小题只要将条件9xyz+xy+yz+zx     

2005年第一期初中数学问题参考解答

一、证明 :对于任何整数a,x≠ 0 ,|x|≠ |a|,代数式 (a -a2 x2a x) (2ax 4aa -x)的值必是偶数 .证明 :原式 =ax -x2a x·2a· a xx(a -x) =2a必为偶数 .二、已知x =y z=2 ,求x3 2y3 2z3 6xyz的值 .解 :原式 =x3 2 [y3 z3 3yz(y z) ]=x3 2 (y z) 3 =x3 2x3 =3x3 =2     

对《构造“代入式”巧解》一文中的补充

《中学生数学》2004年第三期中孙建斌老师的《构造“代入式”,巧解最值题》一文,给出了条件为x y=1(或x y z=1)的分式函数最值问题的普遍求法,很有意义.遗憾的是文中的解答过程过于繁锁,更重要的是文中没有给出“K”值的确定方法,按文中的解答方法求“K”值是较难的,本文将给出简单解法及“K”值的确定方法,使《构造》一文更趋于完美. 例1 原题:已知x,y∈R ,且x y=1,求1/x 4/y的最小值.