三角形的广义内接正方形

如果一个正方形的四个顶点都在一个三角形的三边上 ,称正方形是该三角形的内接正方形 .根据“抽屉原则”,内接正方形的四个顶点必有两个在三角形的同一边上 ,此时 ,称正方形是该三角形的该边上的内接正方形[1] .笔者对文 [1 ]作了研究 ,并给出定义 :如果一个正方形的两个顶点在三角形的同一边所在直线上 (顶点可能在延长线上 ) ,其余两个顶点分别在另两条边上 ,称正方形是该三角形的 (该边上的 )广义内接正方形 .容易看到 :任何三角形的每边上都有广义内接正方形 ;如果正方形的顶点都不在边的延长线上 ,此时 ,广义内接正方形就是内接正方形 …     

探索以(Fn-k,Fn,Fn)为边长的Fibonacci三角形

Fibonacci三角形是边长为Fibonacci数、面积为整数的三角形.存在以(F<,n-k>,F<,n>.F<,n>)为边长的Fibonacci三角形的情形可以被划分为三类(k时,不存在边长为(F<,n-k>,F<,n>.F<,n>)的Fibonacci三角形.     

一道2007乌克兰竞赛题的推广

文[1]在探究一道2007乌克兰竞赛题提出如下猜想:设a、b、c>0,且abc≥1,则有n3(an an-1 …a 1)(bn bn-1 … b 1)(cn cn-1 … c 1)≥(n 1)3(an-1 … a 1)(bn-1 … b 1)(cn-1 … c 1).本文将得到:定理若Πmi=1xi≥1,xi>0,3≤m,2≤n,i,m,n∈N ,则有nmΠmi=1(xin xni-1 …xi 1)≥(n 1)miΠ=m1(xin-1 …xi 1).证明考虑函数F(x)=n2 n1(1-xn 1)-(1-xn)(1 x)=nn -11(1-xn 1)-x xn(x>0),当0F(1)=0;当x>1时,(n-1)xn-1>xn-2 … x 1(共n-1项),F′(x)<0,F(x)是减函数,F(x)相似文献   

一类表示伪素数的公式

素数最基本的性质是费马小定理，给出了自然数是素数的必要条件：若（p，a）=1（p为素数）则ap-1≡1（modp）．很长一段时间以来，人门认为费马小定理的逆定理也成立，甚至认为n是素数当且仅当2n-1≡1（modn），但这是错误的．1819年萨吕斯（M．Sarrus）证明，2341≡2（mod341），但341＝11×31是合数．后来，人们把满足同余式2n-1≡（modn）的合数叫伪素数．伪素数是否有无穷多？1903年，马洛（Malo）首先证明：如果A是伪素数，2A-1也是伪素数[1].文[2]给出一个伪素数的公式，笔者认为可以给出一类伪素数的公式．现给出预备知识（p为奇素…     

又一类含平方因子的伪素数

文[1]构造一类表示伪素数的公式,进一步研究可得到:定理1 n为奇素数或伪素数,A≥2,(n,A)=1,满足(n,2A-1)=1及A(2A(2A(n-1)-1))/(2A-1),则 n′=(2An-1)/(2A-1)是伪素数.由此可见,伪素数的结构要比素数复杂得多.类似文[2],有     

一类含平方数因子的伪素数

笔者曾构造出一类表示伪素数的公式 [1] ,张善立在文 [3]中指出这一类中存在含平方数因子 1 0 932 的伪素数 ,有没有含其它平方数因子的伪素数呢 ?本文将从文 [1 ]给出的公式中找出含平方数因子 1 0 932 和 351 1 2 的伪素数 (本文中字母为正整数 ,p为奇素数 ) .引理 1　设 A≥ 2 ,( p,A) =1 ,满足 ( p,2 A - 1 ) =1及 A 2 A( 2 A( p-1) - 1 )2 A - 1则　 n =2 Ap - 12 A - 1 是伪素数[1] .引理 2　 2 Q1- 1 | 2 Q1Q2 - 1 [1] .引理 3　设使同余式 :2 r ≡ 1 ( mod m)成立的最小正整数为 r,则 2 a≡ 1 ( mod m)成立的充要条件是 r| a[3…     

不定方程x4-y4=n的整数解之我见

文 [1]对不定方程　　　　　 x4- y4=n (1)的整数解求法作了探讨 ,笔者认为有必要作一些说明 .容易验证 :奇数的四次方除以 16余 1.n =(x - y) (x +y) (x2 +y2 ) ,n(n >1)必为合数 ;若 (x,y)满足方程 (1) ,则(± x,± y)也满足方程 (1) ,故仅需考虑正整数解 .容易得到 (以下字母为正整数 ) :定理 1　 n =a2 ,2 a2 ,pa2 (p为素数 ,p≡3(mod8) )时 ,方程 (1)无正整数解 [2 ] .定理 2　方程 (1)有正整数解的充要条件是 n =PQ(P 相似文献   

对《W. Janous 猜测的推广》的质疑

Ｗ .Ｊａｎｏｕｓ猜测 :设ｘ ,ｙ,ｚ>0 ,则ｙ2 -ｘ2ｚ +ｘ +ｚ2 -ｙ2ｘ +ｙ +ｘ2 -ｚ2ｙ +ｚ >0 ( )文 [1 ]用排序不等式给出猜测的一个证明 ,并对项数推广得到设ｘ1 >0 (ｉ=1 ,2 ,… ,ｎ) ,记Ｓ =ｘ1 +ｘ2 +… +ｘｎ,则ｘ22 -ｘ21 Ｓ-ｘ2 +ｘ23-ｘ22Ｓ-ｘ3+… +ｘ21 -ｘ2 ｎＳ-ｘ1 ≥ 0这个推广的证明是错误的 .Ｗ .Ｊａｎｏｕｓ猜测隐含条件 :左边关于ｘ ,ｙ ,ｚ对称 (这需要验证 ) ,而上述推广不具有对称性 ,不能设ｘ1 ≥ｘ2 ≥…≥ｘｎ>0 .例如 :当ｎ=4时 ,ｘ1 =1 ,ｘ2 =2 ,ｘ3=3 ,ｘ4= 4与ｘ1 =3 ,ｘ2 =1 ,ｘ3=2 ,ｘ4=4所对应的结果是…     

k=2t·3时不存在以(Fn-k,Fn,Fn)为边长的Fibonacci三角形

Fibonacci三角形是边长为Fibonacci数、面积为整数的三角形.利用平方剩余的方法得到:当k=2'·3时,不存在边长为(Fn-k,Fn,Fn)的Fibonacci三角形(k＜2).