对中学解析几何教材的几点拙见

解析几何是用代数的方法研究几何问题的一门科学,它是由初等数学过渡到高等数学的桥梁,是形数结合的有力工具。鉴于几何题材的论证方法,在逻辑结构方面特别突出,于是训练学生养成严谨的逻辑习惯和发展积极的逻辑思维,便成为本课程的教学使命之一。基于这个观点,教材的叙述,对思路的来龙去脉,应不厌求详,要使学生不但知其然,而且知其所以然。现就六年制重点中学高中数学课本《解析几何》中,几个问题特提出来商榷。     

一道有趣的习题

题目:已知这是一道十分有趣的习题。由于解题方法的不同,可以有不同形式的结果。有的是有理式,有的是无理式。下面给出它的三种解法: ∵θ≠1/4π+kπ(k∈Z,l=0,1,2)     

arcsinx+arccosx=π/2的应用

在统编高中数学第二册以及与反三角函数有关的数学资料中都有arcsinx+arccosx=π/2。但对它的应用却未涉及。其实,这是一个重要的恒等式,用以解决含有反正弦函数及反余弦函数等问题,常可收到事半功倍的效果。下面举例说明。     

勾股数组一个性质的证明

在《圆和二次方程》一书中,给出了任何一组勾股数组a、b、c都可由公式a=m~2-n~2,b=2m~n,c=m~2+n~2表示(这里m、n-奇-偶,m>n,m、n均为自然数),同时指出“abc一定能被60整除”,因为它的证明“已经超出你们的知识范围,这里就不谈了”。为此,笔者给出一种浅显的证明。下面先证两个引理。引理1。任何自然数p若不能被3整除,则p~2-1能被3整除。证明:因为任何不能被3整除的自然数p均可表示勾:p=3k±1(这里k为自然数)而p~2=(3k±1)~2=9k~2±6k+1=3(3k~2±2k)+1,所以p~2-1能被3整除。引理2.任何自然数q若不能被5整除,则q~4-1能被5整除。证明:因为任何不能被5整除的自然数q可表示为q=5l±1,或q=5l±2 (这里l为自然数) 而当q=5l±1时,q-1或q+1能被5整除;当q=5l±2时,q~2=(5l±2)~2     

1+sin 2θ-cos 2θ/1+sin 2θ+cos 2θ=tgθ的几种证法

本文就高中《代数》(甲种本)第一册第1昵页第3题的第8小题围绕半角的三角公式给出几种证法,以便激发同学们的学习兴趣,并藉以说明如何灵活地运用公式,以期有助于复习巩固所学知识,培养思维能力.利用tg夕=:i,7介口1+:。虑日和才召忿夕=1一co‘旦日1+cosZ台得到1+51;,2召一c(。52“1+52),Zd+eo52已::。竺0/(1+:。:20)+(]一走。:全[))/(1十eo:9口题目:证明1弓一、;,22口一‘052日矛名口1+s:nZ口八工+。o:2夕)1+‘z于22白+‘。62创tg夕+19艺夕洲 一充分5lJ用题目本身的条件 1若注意到条件:::口十。。:O斗。容易得到下面的两种方法 证法一由于:…     

椭圆和双曲线同交点切线的一个性质及其应用

在解决椭圆和双曲线同一交点处切线斜率的有关问题时,课本与有关参考资料中,往往是先求出这两条曲线交点的坐标,然后再给出同一交点处这两条曲线的切线方程,由此得出每条切线的斜率来进行处理。然而许多问题就其本身来说,仅仅需要知道这两条曲线在同一交点处两条切线斜率的积就可迎刃而解,并不苛求每条切线的斜率,当然更无须求出每个交点的坐标。因此,能否较为简捷地解决这类问题的关键在于能否圆满地解决这两条曲线在同一交点处两条切线斜率的积。为此,笔者给出下面一个命题的证明