用三角法求 y=(ax+b)~1/2±(cx+d)~1/2型函数的值域

一、关于,*而不兀.+杯舀了万型函数的值域ax+吞二犷sin22.cx+J二犷eos4a注意到y>o,就可得到以sinZa消去x,就可得到以sec“a(或tg“a)为白变量,以y为函数的三角函数式,从而直接求出原函数的值域。 (2)当g<0时,令一y=夕‘.cx+J二夕Zsee4aax+b“夕佗tg4a设设消去x,cosZ。)为自变量,以g为函数的三角函数式,而直接求出原函数的值域。(或从求函数,二万二万+丫反二厄的值域。3x+5二犷sin4ax一2=犷eos月a(o<。‘李) 乙消去x,仿(l)就可求得夕‘的范.围,从而求出原函数的值域。 2.如果a。<0,应分g)()和夕‘0两种情况,仿照l中的(z)、(2)分别求出夕〕(…     

化简二次曲线方程的简便方法

的形状时,必须适当旋3一4 一 一一取适合c tg 20二A一C B的最小正角O可使新坐标系下的交叉项界数为0.3一与l 一则有eos 20=e tgZ口止亿1 e tg22651。。=了。。,。=亿1一eos20 21 eo‘20 2 2 侧5二~~里二 斌6坐标旋转公式为 l__,2洋=7万沉一7弓y’代入原方程化简得 2,.1y=万于言戈‘十丁歹二言y v口v;口二‘’ 攀 甘 它是长轴为2亿百、短轴为2的椭园。 可见上述解法较繁。为了简化上述过程,特给出下述定趣少犷-定理:二次曲线Ax’ B‘夕十c,’ F一。‘贻“’经过适当地鲜转坐标轴后可化为A‘x,2 C’犷2 F二。,’式中 ·一一 ·CA‘、C‘…     

数学诡辩

(一)兀兀 (二)两个最小值S’n一乞=一““s花证明,.’s‘,借+‘。:借=1,两边同乘 丈似c烤百, 目得 屁兀 S,呢“tg万+“o 兀成究‘下c tg下=‘t卫‘二_ 、产,,,口 究co‘~石 已知3刀+5犷=4,求:u=x“十夕么的最小值。 解法1:‘::=广+尹乒Zx沙(1) 当且仅当x二夕时,式(1)中等号成立。 将x=y代入3x一。sy=4得x二y二诬一。 :.“=x“十梦“的最小值为加夕=女。 解法2:由3x一卜sy二4得且ps’九万‘ CO二,二 艺一十 成5’”马 兀COS下. 兀52儿~二 艺二=冬(:一5,). O么落_“o￡下 “‘”借.两边同乘以:::妥,得…:=xZ+,一〔告(4一5;)〕:+;:一警(,一…     

也求(8-x)~1/2+((3x+6)~1/2)+2的最小值

压求9解令{十丫百万不十2的最小值但c“s了‘“‘”‘令,“’V ous一n。居 则杯,一了而cos。+痴s*。。+: 一三2丫下石sin(6+含)+2 当“一。,即二二一2时,,得最小值2+石石. 以上解法,不仅正确,而且很妙。妙在何处?自‘然妙在三角替换上。但问:这种替换怎么想到的?于是追到了这种替换的条件。 对变数“,v作替换1叮竺厂呢V一SlnU护+挤二+铲二又(常数),对应的替换是刀口也怎f件若 条的{“二户cos、V一八Sln用令代。,专代二(。,b为常数),可得u产=又acos厅:厂二诬阮in夕(11)v’=,丫,+夕·!有+ 是"u 于声羚;“05口十 b声阵下“,n 二“了丫+夕sin…     

一道代数题的多种解法与推广

有这样一道常见的代数题砚目.二y’之‘一。:一万 (3)t盆一(a一:)t+z“一az若实数羌’、’满足等式{x+y+之~a,夕2+少,+之名山(z)(s)知二、y是方程o22其中a>“·求证·。《二(争,。‘,蜡‘。‘:、粤。· 本文先从几个不同的方面给出它的五种证法,后再将它推广到一般情形. 证法一(判别式法)然+誓一。的两根.因X、,为实数, ·“△一(口一,,一‘(之“一+誓)》。由此得“啼‘争·同理可证。命蜡“,““夕、号口·(以下各证法中均省略这句话, 证法二,(解析几何法) (1),(2)的几何意义是直线二十y=a一z与圆.由已知得·{x十y=a一二. 尹么‘“十y“一…     

关于 X_(n+1)=(x_n(x_n~2+3))/(3x_n~2+1)的通项公式

这是八六年高考数学第八题:已知x_1>0,x_1≠1 且x_n+1=x_n(x_n~2+3)/3x_n~2+1(n=1,2,…)。试证:数列{x_n}或者对任意自然数都满足x_nx_(n+1)。此题证法很多,先求通项公式是一个类型的方法,下面给出一种求通项公式的简便方法。由已知     

对一道习题几种不同解法的探讨

用多种解法解一道玫学题,并对不同的解法进行比较、分析是学好数学的一个重要方法。我们举例来说明之。 例题已知a急+乙忿=1,c,+d,二1,ae+石d=0,求证a之+e念=i,石“+d:==i,a西+ed=0。 证明(1)代数证法‘ 由已知条件得. 石注d生=(1一a忍)(1一cZ)==1一a:一e’+a月‘:, a:+e,二1+a忍e:一b 2d2 =1十(ac一乙刁)(‘_一bd)二1, 同理b忍+‘名二lobZdZ‘:‘c‘ =1斗(ac十bd)(bd一ae)=1 .’. ab+ed二(a么十西“)cd:、(e’+d’)ab =(ad+bc)(ac一:二d)=0. (2)三角i正法令a二sioa,c二:in夕,则丢·。。sa万·cos夕,其中51,asin刀+cosac口s夕二oee。石d=5…     

数学问题解答

1”0年8月号问题解答 (解答由间题提供人给出)已、 =叮。.夕了一。。织· D\奋l ‘inGsin(0+C)‘666.、证明o<甲<要时, ‘中相似文献   

数学问题解答

1990年12月号问石解答 (解答由问肠提供人给出)686.设f(x) =〔3+tg:“tg(x+l)“+tgx。 +tg(x+l)“〕一’.违l,饥,=:,联结GD.试求习f(‘)的值.证记ADDBBEECCFFAKB.GC-解由于,当a。一l时牛+兴一,(*) l十口1十0 当x+梦=45“时(1十tgx)·(l+rg少)=2所以(1+tgl“)·(1+tg44。)=2, (1+tgZ”)·(1+tg43。)=2即(1+tgl“)·(l+tgZ。).(l+tg43“)(l+tg44。) 22HE.S‘o衬万=S。。,IDGD// KB△通GD、△月KB,AD GD GH万万-一万石一二万万△GDH~△BKH.一器“:CG“““’ l1 l+1饥即lm=l+1.(*)同样有。n=二十1,、二(1+tgl“)·(l+tgZ“…     

函数y=multiply from i=1 to n(x_i+1/x_i)的条件最小值

众所周知,如果正数:.(‘一l,2,3,·…、)满足度劣‘一1,贝,函数;一立‘劣‘+去)有最小值(·+青)·,且在Xl-XZ-一时取到·但如果将条件改为:正数x.(;一l,2,…(定值),如何求函数夕~11‘呢?本文得到有关这个问题阴.们满足三:一‘一少,的六“/,、‘1 一个初步结i件定理设为任R十“=l,2,3,…,。)满足艺二‘=。(定值),如果s(,,则(,)函数,一应(Z‘+告)有最刁、值(母十白’,且在公l=忿:=…-二一子时取到(2)函数,一n(::+丢+,)有最小值 ‘.1石‘[‘母,‘+‘号,‘+,〕一且在·1-·:-一,一音时取到.这里毛〔N,尹》0. 显然结论(1)是(2)的特例,故以下只…     

数学问题解答

劣sin:(eos占一1)+(:eos:·sin占一J一in劣)i二2年S月号问.娜答 (解菩由问砚提供人绪出)劣(劣+d)771.试比较.inl与etgl的大小.解昌知。<“<要时,有tg“> ‘ ,。’合>‘t。’音>?晋一,<““<晋一“<尽 ‘1 .J_,1_. tg.,石~十”9.二不夕i “ /汀八./汀。、 。.‘n、百一勺“,u、万一p)Ct叹“.et只P=—.’.。 ~一Bxn“81nP>晋一“晋一刀·’·‘,。’合>,一,94合一(,+tg:韵 ·(,一g’音) 刀甲』江、2叨/ 兀/1 .1=二一万宙十万⑧ 。_1二,1 ‘tg;犷i一tg~如矿 ‘~山 —子》— ,1 0.1 1十tg..下~…     

导数在证平几和解几题的应用

某些平面几何中的定值间题和平面解析JL何中的曲线系过定点问题,可利用导数知识求解。 例1从定弧A方上一点尸作尸口土OA、尸R土。,,口、R为垂足。则QR戈定值,并求出其定值。 证阴:如图、设匕AOB二白(定值、,连接O尸(定值少。又设止了,O刀二x(变量)且O簇:簇召,则匕AOP=8乙;O尺=OP eo:万,OQ=e、05(乡一丈)。在△。O斤中,口RZ二OP咨〔由余弦定理得eo:“x+eos忍(夕一尤)一Zco:xe己s(日一x)e乙:夕〕,令f(x)二QR“,则 f,(x),OP“〔一2 00 sx“i矛‘x+2:05(口一“):i”(口一x)+25玄林x‘云s(口一x)co:6一Zco sx:i”(8一x)eo:日〕二O…     

由k~(1/2)+1/(k+1)~(1/2)>(k+1)~(1/2)的证明所想到的

本刊1984年第8期《不等式k~(1/2)+1/(k+1)~(1/2)>(k+1)~(1/2)的几种证法》一文(以下简称文〔1〕中,对不等式k~(1/2)+1/(k+1)~(1/2)>(k+1)~(1/2)作出了六种证法。其实,这个不等式还有一种更简单的证法,现补充如下,我们姑且叫它为〔1〕的第七个证法吧: g) 间接证法:     

1963年北京市中学生数学竞赛試題

高二第一拭 1.把10人平均分成两粗,再从每粗选正副粗长各一人,一共有多少种选法? 2.巳知sina+sin月=户,eo:a+cos月“叮.求sin(a+月)和eos(a+月)的值. 3.解方程叙: 2.已知:正。边形的边长为a,内切圆的半径为,,外接圆的半径为R.求征: 口汀十人=一c tg一。 22月价一‘士‘万了三办十,一19仁刃一10)十JgL夕一6)二l。 八.如果一个值角三角形的三边之长成等差数列,那么它们的比是3:4:5.飘加以征明. 5.D为正三角形才Bc外接圆阎弧刀c上一点,刁B和c刀的延长麟交于E点,Ac和B刀的延长技交于万点.求征:BC为朋和CF的比例中琐. 3.求(1+t’)3+(1+x)4+…     

问题征解

本期问题征解__一a+bL匕知石二乙 b+e一b一c (2)e十aC-a,求证:《1)a+b+e=0;aZ+bZ+eZ=0;、3)告十言+告“。. 2.△ABC内接于半径为1的圆,则此三角形必有一边不大于侧3. 3.若。〔N,且eo:na,sfona都不为0,又(eo:a+xsfoa)“+aeo:。a+bxs玄。。a能被二么+1整除,求a,b的值. 4.求证12,2122,111222,11rl2222,…中任一项都是两个相邻整数之积. 安徽淮南基建七中谢志文提供 5.设二、y、二为三个互不相等的非零实数,且同时满足方程:x”+,x十,=。,y“+。y+”二0,二3+,二+一。.试求令+会+合的值·6.已知x十刀+‘=5,x夕+夕‘+之劣二3,44且二、夕为实数,…     

问题与解答

一,本期问题 1.设a+夕=3;/4,tga=x.tg夕=万,且x、y为正格数,试求x、刀。:二(工一刀)(x一之)(Zx+夕+之)。解法二令,二xcoso,:二xsi,‘0x“一封3一之3=x3(1一co:忍0一:i,、50)20一:i,:。8) ,;个2.试证11…(,卜1)个一一、x“(cos 20一‘05 30+51x名〔co:20(1一‘o‘0)卜万21‘55…56为一完全平方=x“〔(l一51‘,O)(z一coso) (1一5 ino)〕20(1一sf:0)〕+(1一cos:0)则==求方程:inx“=:inx的最小正解设:为自然数,求和=x3(1一51:0)(1一eoso)(1+51,‘0+1+ co‘0)全+‘呈+…十心)+(c{十‘兰十…十‘孟)十一 34(c 。一一数sn+(‘盈:圣十c盆一生)+:盆.…     

一道题的解法探究

题目若a渭、y均为锐角,且满足。osZa十 eosZ月+eosZy二1. 一起分享. 证法一 求证:eot,a+eotZ夕+eot, _、3 了‘多二丁. 乙 eosZa+CosZ夕+。0527=l eosZa=1一sinZa, 说明一般参考书上给出的解答为 5 inZa+sinZ月+SinZ下一2. 又5 inZa+eosZa=l, 巍 如图1,构造对角线 O尸长为1的长方体,a、 月、了分别为O尸与棱 OA、OB、(X二的夹角.并 设aA、OB、OC长分别 尸 :、、、 C 1+eotZa二 l 5 inZa‘ 际﹂ : ‘~-二~-一》 a y A 岁’ 3+eotZa+eotZ月+CotZ了 赢+病+病, 舞 为a、b、c, 则CotZa一 图1 (SinZa+sinZ月+SinZ下)( a2 b2 aZ+…     

1993年高考试题解法集锦 六省市文科第(24)题两解

1993年六飞?J’市高考数学(文科)试卷r子味J一迈题:求ts20。十俪1120“的位. 这是一泣紧扣教材,又注重考查学生掌祝基记!1知识的熟练程度与思维能力的试题.其入手乃是常用的’‘化切为弦”的方法.解法一,820“+礴、iJ:200=5 iJ120ocos20o十」sin20o、jx:20。十4sjJ12O”eusZOo eosZOo、i,1 200月一251:飞40。 eos20。、11飞20。十2、ir:(600一200) eos20o =2、,」飞60。=、厂丁解法2 tg20。+礴51::20’=51:120。十251一飞40。 c咙20。告、11飞2。。+、‘,:「,。。51:2 30“sinZOo十51一、400l了告c·52。。一(eo、5 00一eos 1 00)十Ze…     

用转化法求 a_(n+1)=pa_n+f(n)型的数列通项

本文重点介绍a.+,=p“,十。(‘为常数)型和u,、二灿十少了元少型的数列求通项的方法, 当户“0或l时,其解法是常见的,此处从略,否则,可用下法作转化: 等式两边同除以产‘’(P半(j),则有砂织产”声织P”‘一牛十渗李 尹尹令“一合 从而得举例如下: 。_、_一二一、*。左止、.二、I‘,一人.十1、羌人人月,lj 产犷且,:=八+尺”),这样就不难求其通项,口.+l2.十‘已知数列{a.},‘z。=l,‘,,,l=2“.+2·,求‘,。.由‘·,=2。+2,,两边同除以2内,得=牛十吝,今八一牛,一2’’2’丫二知一2”,例解则‘+,一二+告,…八“,1,一‘),“一“+‘一‘)·告一省…     

(|z_1±z_2|)~2=(|z_1|)~2 (|z_2|)~2±2×|z_1|×|z_2|×cos(θ_1-θ_2)的应用

关于复数模的性质有公式:“}:,士::}’-}::}2 {::}’士2义1:,}又};:}x eos(口,一口2)”(其中0:、0:分别是复数:L、::的幅角),而课本中根本没有提及这个公式,但如果能灵活运用此公式解有关问题‘,不仅能使解题过程简捷巧妙,而且对提高学生的解题能力有极大的帮助,现举例如下: 例l已知复数:,、::适合{:,!一3,}::}一 一19一中学数学(湖北)1993.4f5,}::一::}一7,求复数嚣一、 解’:}::l~3,1:2卜5,1::一:2卜7 。,3,。 一艺气获丽二丽刃厄气”解得代入公式有:7:=32 52一2X3X5又eos(0,一02):.。os(。:一口:)一告,‘,.,,,、.了落一州sln气U‘一UZ…