探究抽象函数背景下求函数值的意识

<正>抽象函数背景下的函数值问题,是指题目没有给出具体的函数解析式,也没有告诉我们是什么函数,只是给出函数f(x)满足的函数关系、函数性质、函数方程、恒等式和运算性质,要求我们求相应函数的函数值.所以这类问题隐蔽性、抽象性、灵活性、技巧性、综合性都较强,涉及的知识面较广,使不少同学感到困难,甚至无所适从.为此,笔者以一类典型抽象函数背景下的函数值问题为例,认真分析和总结     

到底向何方向平移

1 问题出现 问题 求函数y=f(x)的图象按a=(-m,n)(m>0,n>0)平移后得到的图象的函数解析式. 错解 把y=f(x)的图象向右平移m个单位得y=f(x-m)的图象,再把y=f(x-m)的图象向下平移n个单位得y+n=f(x-m),即y=f(x-m)-n,这就是所求.     

关于椭圆x2/a2+y2/b2=1的一组优美结论

椭圆x2/a2+y2/b2=1(x,y,a,b∈R,且a≠0,b≠0,｜a｜≠｜b｜),有许多简捷、优美的结论,且有着广泛的用途.结论1 若x2/a2+y2/b2=1(x,y,a,b∈R,且a≠0,b≠0,｜a｜≠｜b｜),则(1)a2+b2≥(x+y)2(当且仅当b2x-a2y=0时等号成立);     

求sum from i=1 to n(f(x_i))的值的方法

有些函数值的求和问题,表面上看,与周期性、等差性、等比性无关,但事实上隐含着周期性、等差性、等比性,一旦将其周期性、等差性、等比性揭示,问题便迎刃而解.笔者就从何处揭示这些隐含的特性,从哪里入手找到撬动这些特性的支点,作一些探析,以飨读者.     

赏析一道考题的多种解法

<正>数学学习强调经历学习过程,注重学习的探究与反思.一题多解能够很好地体现学习过程中的自主探究,有利于培养思维的广阔性、灵活性和敏捷性.下面以一考题为例,与读者共赏.题目(2013年全国高考卷理16)若函数f(x)=(1-x2)(x2+ax+b)的图像y=f(x)关于直线x=-2对称,则f(x)的最大值为.     

如何理解函数的值域和函数值的范围

问题已知函数f(x)=x2+(a+1)x+1(x∈R). (Ⅰ)若函数f(x)的值域为[0,+∞),求实数a的取值范围. (Ⅱ)若函数f(x)的函数值f(x)∈[0,+∞),求实数a的取值范围.     

柯西不等式的应用技巧

利用柯西不等式证明某些不等式或探求某些多元函数的最值（值域）时,确实简捷明了,是在一道题的多种解法中的较优者.因此,若能创造条件灵活运用柯西不等式,将会给我们带来许多方便.但是,创造运用柯西不等式的条件十分灵活,且技巧性强,很多时候都不能直接运用柯西不等式来解决某些数学问题.从哪里入手,如何创造条件,怎么创造,不少同学找不到突破口,感到无所适从,甚至创造不出合理的条件.下面就此问题作一些归纳、     

函数f(θ)=的单调性的一组结论

函数f(θ)=sinθ/θ(0<θ≤π/2)是减函数,有许多简捷、优美的结论,且有着广泛的用途.为方便表述,称"f(θ)是减函数"为结论(*). 　　……     

到底要从第几项开始放缩?

型如n∑i=1b(b是常数)的一类和型数列不等式的证明,利用放缩法来证明时,有时要从第一或第二或第三或第四项,甚至要从第五项或第六项等开始放缩,否则导致放过了头而证不出来,那么到底要从第几项开始放缩才能证得出来呢?我们不难理解,若每一项放大(缩小)一点点,累加起来就会扩大(变小)很多.若适度保留一两项或更多的项不放缩,放缩后的结果就越来越逼近目标.因此,我们就会寻找到最朴素、最简单、最实用、最容易操作、最容易掌握的思路:从第一项开始试探放缩,若放(缩)过了头,则从第二项开始放缩,依次逐一进行试探放缩,直至成功.     

加强命题证明数列不等式问题的探讨

由于数列不等式与正整数有关,所以,“数学归纳法”成为数列不等式证明的首选方法．但是,一些数列不等式题直接用“数学归纳法”却行不通,而需要先对其进行放缩以证明它的“加强不等式”,它是证明数列不等式问题的一种有效方法．这时解决问题的关键是构造“加强不等式”,构造“加强不等式”是件不容易做好的事情．为此,本文对加强命题证明数列不等式问题从哪里“强”、如何“强”、“强”到什么程度作一些探讨．