一道高考题的理论计算与数值模拟

2021年高考题河北卷第10题涉及有限电荷系统的场强与电势分布，其中选项C为考查难点，要求比较两个点的电势高低，笔者用理论分析和数值模拟突破这一难点.     

σ -局部有限集族与度量空间的σ -映象

利用σ-映射建立了具有σ-局部有限cs-网、σ-局部有限cs*-网、σ-局部有限序列邻域网、σ-局部有限序列开网的空间与度量空间确定的σ-映象之间的联系.     

基于FDTD的高深宽比沟槽结构低相干显微干涉信号仿真分析

低相干垂直扫描干涉技术是微结构形貌特征参数无损检测的有效手段。但当微结构的沟槽深宽比高于5∶1时,遮挡效应以及阶跃边缘复杂的衍射效应会导致本应仅包含一个包络的垂直扫描测量干涉信号异常,形成两个甚至多个包络,继而影响形貌检测结果。本文解析低相干垂直扫描干涉的测量过程,采用时域有限差分法对低相干显微干涉测量系统的显微成像、相干扫描测量过程进行数值仿真,计算待测微结构表面返回场及显微成像后的像面干涉场,得到低相干显微干涉信号。分别仿真了深宽比为5∶1、80∶3的硅基沟槽微结构的干涉信号,并与实验室自研的Linnik型低相干垂直扫描干涉系统对沟槽微结构的检测信号进行对比,匹配其高深宽比沟槽结构干涉信号的双包络及幅频双峰性的特征,验证所提方法的准确性。该仿真方法可应用于实测前对被测结构低相干显微干涉信号的先验性仿真计算,通过提前分析信号特征,为形貌复原算法的选取及改进指引优化方向。     

基于旋转变换和鲁棒主成分分析的车牌校正方法

本文研究了受到非高斯噪声污染及边框信息不完整的车牌图像校正的问题.利用鲁棒主成分分析与旋转变换结合的方法,获得了更具普适性的车牌矫正方法.并通过与主成分分析法、旋转投影法的矫正结果相比较,推广了本文方法具有更好的鲁棒性和普适性的结果.     

ATCase:一个基于多项式约束求解的数值程序测试用例自动生成工具北大核心CSCD

现有的基于符号执行的测试用例自动生成技术存在不足之处:由于精度限制和非线性约束求解的复杂性,符号执行在遇到复杂的非线性浮点约束时效果并不理想.针对这一现状,给出了一个基于多项式约束求解和区间验证的测试用例生成算法.对于复杂非线性约束难以求解的问题,采用基于低秩矩量矩阵恢复的多项式系统求解方法,该方法对于含有等式和不等式的多项式系统,相较于其他方法求解速度更快,更适合大规模问题的求解;对于浮点约束求解不准确的问题,采用基于区间分析的验证算法来计算包含精确实解的区间,基于该区间给出测试用例,可以避免浮点计算的不准确和异常.结合该算法和符号执行工具KLEE-FP实现了一个测试用例自动生成工具ATCase(automatically generate test case),它能够分析数值程序中的路径并自动生成满足路径约束的测试用例.在两个开源软件库中的2两个复杂的真实程序上运行的实验结果表明ATCase相比KLEE-FP所使用的STP求解器,能快速生成具有更高覆盖率的测试用例,特别是在处理相对复杂的非线性约束时,优势更加明显.     

关于求解随机用户均衡问题的截断拟牛顿型信赖域法研究

信赖域法是一种保证全局收敛性的优化算法,为避免Hessian矩阵的计算,基于拟牛顿校正公式构造了求解带线性等式约束的非线性规划问题的截断拟牛顿型信赖域法.首先给出了截断拟牛顿型信赖域法的构造过程及具体步骤;然后针对随机用户均衡模型中变量和约束的特点对算法进行了修正,并将多种拟牛顿校正公式下所得结果与牛顿型信赖域法的结果进行了比较,结果发现基于对称秩1校正公式的信赖域法更为合适.最后基于数值算例结果得到了一些在算法编程过程中的重要结论,对其它形式信赖域法的编程实现具有一定的参考意义.     

一类核具有连续横截面变换半群的秩

设X_n={1,2,…,n}并赋予自然数序,MCK_n是X_n上核具有连续横截面保序或反序变换所构成的半群.K_n是MCK_n的最大正则子半群.本文将考虑K_n的理想K(n,r)={α∈K_n:|im(α)|≤r}(3≤r≤n-1).证明了K(n,r)的秩为(n-r+1)(n-r+2)(n-r+3)/6.     

三维热传导方程的高精度有限差分方法

提出了数值求解三维热传导方程的一个四阶精度的有限差分格式,首先对三个空间方向上的二阶导数项,采用四次样条函数来近似,从而得到半离散的常微分方程.然后利用常微分方程的解析解表达式,时间矩阵利用Padé近似,得到时间和空间均为四阶精度的差分格式.最后利用方法计算了两个数值算例,并与文献中结果进行了对比,从而验证了高精度格式的性能.     

一些定向图的斜秩

设G~σ为一个定向图,S(G~σ)为它的斜邻接矩阵.定向图G~σ的斜秩定义为S(G~σ)的秩,记为sr(G~σ).本文刻画了一些定向图以及一类k-圈定向图的斜秩.     

关于半clean群环

环$R$称为是半clean的, 是指环中的每个元素都是一个单位与一个周期元的和. clean环是半clean的. 刻画半clean群环的一般情形是不容易的. 我们的目的是考虑如下问题：若$G$ 是局部有限群或者是阶是3的循环群, 群环$RG$何时是semiclean的. clean群环上的一些已有结果被推广.