稳定节点积分伽辽金无网格法的应力计算方法研究

应力计算是基于稳定节点积分的伽辽金无网格法的重要组成部分.该文着重研究稳定节点积分伽辽金无网格法的应力计算方法,对稳定节点积分方法的变分一致条件进行了讨论.证明当节点代表域内的应变采用非局郎光滑应变时,相应的应力在节点代表域内为常数,稳定节点积分伽辽金无网格离散方程是变分一致的.文中提出了三种节点应力计算方法,研究表明,基于位移梯度的节点应力计算方法不满足变分一致性要求,而采用光滑应变的节点应力计算方法和一致形心应力计算方法满足变分一致性要求.典型数值算例的误差分析表明,满足变分一致性不一定确保得到更为精确的结果.而基于光滑应变的一致形心应力计算方法总是较其它两种方法更为精确.     

薄板分析的线性基梯度光滑伽辽金无网格法

薄板问题的控制方程为四阶微分方程,因而当采用伽辽金法进行分析时,形函数需要满足C$^{1}$连续性要求,且至少使用二次基函数才能保证方法的收敛性.无网格形函数虽然易于满足C$^{1}$连续性要求,但由于不是多项式,其二阶导数的计算较为复杂耗时,同时也对刚度矩阵的数值积分提出了更高的要求.本文提出了一种薄板分析的线性基梯度光滑伽辽金无网格法,该方法的基础是线性基无网格形函数的光滑梯度.在梯度光滑构造的理论框架内,无网格形函数的二阶光滑梯度可以表示为形函数一阶梯度的线性组合,因而可以提高形函数二阶梯度的计算效率.分析表明,线性基无网格形函数的光滑梯度不仅满足其固有的线性梯度一致性条件,还满足本属于二次基函数对应的额外高阶一致性条件,因此能够恰当地运用到薄板结构的伽辽金分析.此外,插值误差分析也很好地验证了线性基无网格光滑梯度的收敛特性.算例结果进一步表明,线性基梯度光滑伽辽金无网格法的收敛率与传统二次基伽辽金无网格法相当,但精度更高,同时刚度矩阵所需的高斯积分点数明显减少.      

伽辽金型无网格法的数值积分方法

无网格法直接通过节点信息构造形函数,不依赖于节点之间的有序单元连接,能够建立任意高阶连续的整体协调形函数。与传统的有限元法相比,无网格法对大变形问题、移动边界问题和高阶问题的求解方面有比较明显的优势。伽辽金型无网格法是目前应用最为广泛的一类无网格法。虽然无网格形函数本身不依赖于单元,但伽辽金型无网格法需要采取合适的方法进行弱形式的数值积分。由于无网格形函数一般不是多项式,具有非插值性且影响域与背景积分网格通常不重合,伽辽金型无网格法通常需要采用高阶的高斯积分进行数值积分,导致了计算效率低下,难于求解大型实际问题。因此,如何通过建立高效积分方法提高无网格法的计算效率成为无网格法研究领域的一个核心问题。本文对无网格法中强制边界条件的施加方法进行了简要归纳,总结了伽辽金型无网格法中若干常用的数值积分方法,并对伽辽金型无网格法的数值积分方法领域存在的一些问题进行了探讨。     

二维弹性力学问题的光滑无网格伽辽金法

计算效率低的问题长期阻碍着无网格伽辽金法(element-free Galerkin method, EFGM) 的深入发展. 为了提高EFGM 的计算速度, 本文提出一种求解二维弹性力学问题的光滑无网格伽辽金法. 该方法在问题域内采用滑动最小二乘法(moving least square, MLS)近似、在域边界上采用线性插值建立位移场函数; 基于广义梯度光滑算子得到两层嵌套光滑三角形背景网格上的光滑应变, 根据广义光滑伽辽金弱形式建立系统离散方程. 两层嵌套光滑三角形网格是由三角形背景网格本身以及四个等面积三角形子网格组成. 为了提高方法的精度, 由Richardson外推法确定两层光滑网格上的最优光滑应变. 几个数值算例验证了该方法的精度和计算效率. 数值结果表明, 随着光滑积分网格数目的增加, 光滑无网格伽辽金法的计算精度逐步接近EFGM 的, 但计算效率要远远高于EFGM的. 另外, 光滑无网格伽辽金法的边界条件可以像有限元那样直接施加. 从计算精度和效率综合考虑, 光滑无网格伽辽金法比EFGM具有更好的数值表现, 具有十分广阔的发展空间.      

基于四边形积分子域的一致性高阶无网格法

近来提出的一致性高阶无网格法通过发展导数修正技术大幅度减少了所需积分点数目,并能够精确地通过分片试验,从而显著改善无网格计算的效率、精度和收敛性。然而,由于导数修正方程数目须与积分点数目相匹配,该方法仅限于使用三角形积分子域。在保留原有导数修正方程的基础上,提出了修正导数的共面条件,并据此建立补充方程,使得方程总数可匹配于所需的积分点数目,从而将一致性高阶无网格法方便地拓展到使用四边形积分子域。数值结果表明,本文方法精确地通过了分片试验,并展现出极好的计算精度、效率和收敛性。     

薄板分析的线性基梯度光滑伽辽金无网格法

薄板问题的控制方程为四阶微分方程,因而当采用伽辽金法进行分析时,形函数需要满足C~1连续性要求,且至少使用二次基函数才能保证方法的收敛性.无网格形函数虽然易于满足C~1连续性要求,但由于不是多项式,其二阶导数的计算较为复杂耗时,同时也对刚度矩阵的数值积分提出了更高的要求.本文提出了一种薄板分析的线性基梯度光滑伽辽金无网格法,该方法的基础是线性基无网格形函数的光滑梯度.在梯度光滑构造的理论框架内,无网格形函数的二阶光滑梯度可以表示为形函数一阶梯度的线性组合,因而可以提高形函数二阶梯度的计算效率.分析表明,线性基无网格形函数的光滑梯度不仅满足其固有的线性梯度一致性条件,还满足本属于二次基函数对应的额外高阶一致性条件,因此能够恰当地运用到薄板结构的伽辽金分析.此外,插值误差分析也很好地验证了线性基无网格光滑梯度的收敛特性.算例结果进一步表明,线性基梯度光滑伽辽金无网格法的收敛率与传统二次基伽辽金无网格法相当,但精度更高,同时刚度矩阵所需的高斯积分点数明显减少.     

质点积分无单元伽辽金法及其在金属挤压过程中的应用

无单元伽辽金法需要在背景网格上积分,计算量大.节点积分无单元伽辽金法把对求解域的积分转化为对节点的求和,效率高,但因零能模态不受控制而会产生不稳定现象,需要采取一定的稳定化方案.本文采用应力点思想,通过Newtor-Cotes法计算积分,建立了质点积分无单元伽辽金法,并通过小变形弹性静力学问题说明了该方法具有良好的稳定性,且计算效率远高于无单元伽辽金法.最后本文将质点积分无单元伽辽金法成功地应用于三维金属挤压成型过程的数值模拟,显示了该方法在分析此类问题时的优势和潜力.     

无网格稳定配点法及其在弹性力学中的应用

伽辽金型无网格法具有精度高、稳定性好的优点,但是实现高阶准确积分过程复杂,计算效率低.配点型无网格法的计算效率高,但是其在求解复杂问题时往往会出现精度和稳定性较差的结果.本文介绍一种新的无网格法-无网格稳定配点法,采用重构核近似作为近似函数,在规则子域内非常容易实现高阶准确积分,既保留了配点型无网格法效率高的特点,又具备伽辽金型无网格法精度高和稳定性好的特点,而且还兼具有限体积法满足局域离散方程守恒的特点.通过弹性力学算例验证了该算法的优越性,未来可将其进一步应用于流体和流固耦合问题分析.     

二维弹性力学问题的光滑无网格伽辽金法

计算效率低的问题长期阻碍着无网格伽辽金法(element-free Galerkin method, EFGM)的深入发展.为了提高EFGM的计算速度,本文提出一种求解二维弹性力学问题的光滑无网格伽辽金法.该方法在问题域内采用滑动最小二乘法(moving least square, MLS)近似、在域边界上采用线性插值建立位移场函数;基于广义梯度光滑算子得到两层嵌套光滑三角形背景网格上的光滑应变,根据广义光滑伽辽金弱形式建立系统离散方程.两层嵌套光滑三角形网格是由三角形背景网格本身以及四个等面积三角形子网格组成.为了提高方法的精度,由Richardson外推法确定两层光滑网格上的最优光滑应变.几个数值算例验证了该方法的精度和计算效率.数值结果表明,随着光滑积分网格数目的增加,光滑无网格伽辽金法的计算精度逐步接近EFGM的,但计算效率要远远高于EFGM的.另外,光滑无网格伽辽金法的边界条件可以像有限元那样直接施加.从计算精度和效率综合考虑,光滑无网格伽辽金法比EFGM具有更好的数值表现,具有十分广阔的发展空间.     

裂纹问题的一致性高阶无网格法

一致性高阶无网格法能高效精确地求解连续体问题,尤其是能得到高精度的应力场。本文将该方法拓展到应力解析精度至关重要的裂纹问题（即非连续体问题）的数值分析。采用背景积分网格描述裂纹几何,基于无需增加节点额外自由度的虚拟节点法描述裂纹处位移场的间断,提出了虚拟节点的引入算法和断裂单元的数值积分方法。为进一步模拟裂纹扩展,采用相互作用积分方法计算应力强度因子,裂纹的扩展方向由最大周向应力准则确定。数值结果表明,本文发展方法能够精确地通过间断分片试验;相较于标准的高阶无网格法和低阶一致性无网格法,本文的一致性高阶无网格法显著改善了应力强度因子的计算精度,能够准确预测裂纹扩展路径。     

基于节点密度的自适应EFG法拓扑优化方法研究

针对无网格法拓扑优化中设计变量庞大、计算效率低的问题,提出了基于节点密度的自适应EFG拓扑优化方法。该方法以节点相对密度为设计变量,建立了以结构柔度最小为优化目标的自适应EFG拓扑优化模型,给出了拓扑优化中自适应节点加密准则、节点加密方法和新增节点设计变量更新规则。算例结果表明,采用本文提出的自适应EFG拓扑优化方法进行结构拓扑优化时,可以减少结构分析和优化的设计变量数目,提高优化效率。     

High-order schemes for predicting computational aeroacoustic propagation with adaptive mesh refinement

High-order schemes based on block-structured adaptive mesh refinement method are prepared to solve computational aeroacoustic (CAA) problems with an aim at improving computational efficiency. A number of numerical issues associated with high-order schemes on an adaptively refined mesh, such as stability and accuracy are addressed. Several CAA benchmark problems are used to demonstrate the feasibility and efficiency of the approach.     

基于适合分析T样条的高阶数值流形方法

数值流形方法是一种非常灵活的数值计算方法,连续体的有限单元方法和块体系统的非连续变形分析方法只是这一数值方法的特例.数值流形方法中高阶位移函数的构造可通过提高权函数的阶次来实现,这种方法往往需要沿单元边界配置适当的边内节点,这些结点的出现增加了前处理的复杂性,特别是对于大型复杂的空间问题.另一方面,在数值流形方法中可通过缩小单元尺寸(h加密)来提高求解精度.当模拟裂纹扩展时,这种细化策略可用来克服裂纹尖端的奇异性.一个传统的解决方案是细化整个网格,但这会导致计算效率的显著降低.将适合分析的T样条(analysis-suitable T-spline,AST)引入数值流形方法中来建立高阶数值流形方法的分析格式,有效的避免了该问题的出现.AST样条基函数具有线性无关,单位分解,局部加密等许多重要性质,使得其非常适合用于工程设计及分析.在引入AST样条后,可通过改变数学覆盖的构造形式建立不同阶次的数值流形方法分析格式;AST样条自身的局部加密性质也使得数值流形方法中的数学网格局部加密更容易实现.算例结果表明:随着AST样条基函数阶次的提高,数值流形方法的计算结果有了明显的改善;基于AST样条基函数的数值流形方法在保持计算精度的前提下降低了自由度的数量.     

基于XFEM与自适应网格的非均质材料裂纹扩展模拟

针对含有间断的非均匀材料的断裂问题，本文将虚节点多边形单元的形函数引入到扩展有限元（XFEM）中，提出了一种基于四叉树结构的动态网格细化方法，该方法可对间断面附近单元实现可调控的多层级细化，特别是对于裂纹扩展问题，可实现裂尖附近单元的动态网格细化与粗化。基于以上网格细化方法，本文提出了针对非均匀材质裂纹扩展问题的计算方法VP-XFEM。为验证算法的准确性与计算效率，针对含有孔洞及材料界面的断裂问题，本文给出了相应的算例。结果显示，与传统的一致性网格的XFEM相比，VP-XFEM能够明显改善计算精度与计算效率。     

基于结点应力误差估计的自适应网格划分

提出了基于结点应力误差估计对围绕该结点单元进行自适应网格划分的新方法。首先建立了基于2-范数的结点应力误差估计方法,然后在引入误差在各结点内等分布假定的基础上,给出了基于结点应力误差估计的自适应网格划分策略。最后结合工程实际中对高应力区结点应力的精度需要,给出了考虑结点应力大小的误差分配方案和相应的自适应网格划分方法,从而既对高应力区进行了网格优化,又兼顾了数学意义上误差较大的区域,更符合工程实际要求。算例计算结果表明,本文的方法是可行、有效的。     

An h-adaptive modified element-free Galerkin method

In this work an h-adaptive Modified Element-Free Galerkin (MEFG) method is investigated. The proposed error estimator is based on a recovery by equilibrium of nodal patches where a recovered stress field is obtained by a moving least square approximation. The procedure generates a smooth recovered stress field that is not only more accurate then the approximate solution but also free of spurious oscillations, normally seen in EFG methods at regions with high gradient stresses or discontinuities.The MEFG method combines conventional EFG with extended partition of unity finite element (EPUFE) methods in order to create global shape functions that allow a direct imposition of the essential boundary conditions.The re-meshing of the integration mesh is based on the homogeneous error distribution criterion and upon a given prescribed admissible error. Some examples are presented, considering a plane stress assumption, which shows the performance of the proposed methodology.     

波前法在无网格伽辽金法中的应用

有别于有限元法,无网格法采用基于点的近似,可彻底或部分地去除网格（只保留积分所需的背景网格）,在保证计算精度同时降低计算难度。无网格伽辽金法（Element Free Galerkin method, EFG）是一种基于移 动最小二乘近似（Moving Least-Squares, MLS）的全局弱式无网格法,广泛应用于计算力学等领域,该方法的一个缺点是：计算过程中产生的系数矩阵含有的非零元数量比有限元法多,即使处理中等规模模型时,也要求计算机有很大的存储空间,并且计算时间长。波前法在有限元法中已有很成熟的应用,但至今没有应用于无网格方法。本文介绍了波前法在无网格伽辽金法中的应用方法,编写了相应的计算程序,并以弹性力学为例做了验算。     

求解弱不连续问题的p型自适应有限元方法

在实际工程计算中,存在大量的弱不连续问题,如含夹杂问题。利用通常的有限元方法,为确保界面上各点满足给定高精度,往往需要采用全域网格加密或全域提高单元阶次的方法,这将会导致计算机的物理内存和CPU时间的剧烈增长。p-型自适应有限元方法是一种能通过自适应分析逐步增加单元阶次以改善计算精度的数值方法。本文,我们针对弱不连续问题设计了相应的p-型自适应有限元方法,重点讨论了容许误差控制标准对界面上各点计算结果的影响,并对几类典型的弱不连续问题进行了数值计算与模拟。数值结果表明,本文设计的p-型自适应有限元方法对求解弱不连续问题是非常有效的,用较少的单元得到精度可靠的数值结果,可大大提高其有限元分析效率。