自适应一致性高阶无单元伽辽金法

近来提出的一致性高阶无单元伽辽金法通过导数修正技术大幅度减少了所需积分点数目,并能够精确地通过线性和二次分片试验,显著改善标准无单元伽辽金法的计算效率、精度和收敛性.本文在此基础之上,充分利用无单元法易于在局部区域添加节点的优势,发展了一致性高阶无单元伽辽金法的h型自适应分析方法.根据应变能密度梯度该方法自适应地确定需节点加密的区域,基于背景积分网格的局部多层细化要求生成新的计算节点,同时考虑了节点分布由密到疏渐进过渡的情形.采用相邻两次计算的应变能的相对误差作为自适应过程的停止准则,将所发展自适应无网格法应用于由几何外形、边界外载和体力等因素造成的应力集中问题的计算分析.数值结果表明,所发展方法能够自适应地对高应力梯度区域进行节点加密,自动给出合理的计算节点分布.与已有的标准无网格法的自适应分析相比,所发展方法在计算效率、精度和应力场光滑性等方面均展现出显著优势.与采用节点均匀分布的一致性高阶无单元伽辽金法相比,它大幅度地减少了计算节点数目,有效提高了一致性高阶无单元伽辽金法在分析应力集中等存在局部高梯度问题时的计算效率和求解精度.     

薄板分析的线性基梯度光滑伽辽金无网格法

薄板问题的控制方程为四阶微分方程,因而当采用伽辽金法进行分析时,形函数需要满足C~1连续性要求,且至少使用二次基函数才能保证方法的收敛性.无网格形函数虽然易于满足C~1连续性要求,但由于不是多项式,其二阶导数的计算较为复杂耗时,同时也对刚度矩阵的数值积分提出了更高的要求.本文提出了一种薄板分析的线性基梯度光滑伽辽金无网格法,该方法的基础是线性基无网格形函数的光滑梯度.在梯度光滑构造的理论框架内,无网格形函数的二阶光滑梯度可以表示为形函数一阶梯度的线性组合,因而可以提高形函数二阶梯度的计算效率.分析表明,线性基无网格形函数的光滑梯度不仅满足其固有的线性梯度一致性条件,还满足本属于二次基函数对应的额外高阶一致性条件,因此能够恰当地运用到薄板结构的伽辽金分析.此外,插值误差分析也很好地验证了线性基无网格光滑梯度的收敛特性.算例结果进一步表明,线性基梯度光滑伽辽金无网格法的收敛率与传统二次基伽辽金无网格法相当,但精度更高,同时刚度矩阵所需的高斯积分点数明显减少.     

薄板分析的线性基梯度光滑伽辽金无网格法

薄板问题的控制方程为四阶微分方程,因而当采用伽辽金法进行分析时,形函数需要满足C$^{1}$连续性要求,且至少使用二次基函数才能保证方法的收敛性.无网格形函数虽然易于满足C$^{1}$连续性要求,但由于不是多项式,其二阶导数的计算较为复杂耗时,同时也对刚度矩阵的数值积分提出了更高的要求.本文提出了一种薄板分析的线性基梯度光滑伽辽金无网格法,该方法的基础是线性基无网格形函数的光滑梯度.在梯度光滑构造的理论框架内,无网格形函数的二阶光滑梯度可以表示为形函数一阶梯度的线性组合,因而可以提高形函数二阶梯度的计算效率.分析表明,线性基无网格形函数的光滑梯度不仅满足其固有的线性梯度一致性条件,还满足本属于二次基函数对应的额外高阶一致性条件,因此能够恰当地运用到薄板结构的伽辽金分析.此外,插值误差分析也很好地验证了线性基无网格光滑梯度的收敛特性.算例结果进一步表明,线性基梯度光滑伽辽金无网格法的收敛率与传统二次基伽辽金无网格法相当,但精度更高,同时刚度矩阵所需的高斯积分点数明显减少.      

无网格稳定配点法及其在弹性力学中的应用

伽辽金型无网格法具有精度高、稳定性好的优点,但是实现高阶准确积分过程复杂,计算效率低.配点型无网格法的计算效率高,但是其在求解复杂问题时往往会出现精度和稳定性较差的结果.本文介绍一种新的无网格法-无网格稳定配点法,采用重构核近似作为近似函数,在规则子域内非常容易实现高阶准确积分,既保留了配点型无网格法效率高的特点,又具备伽辽金型无网格法精度高和稳定性好的特点,而且还兼具有限体积法满足局域离散方程守恒的特点.通过弹性力学算例验证了该算法的优越性,未来可将其进一步应用于流体和流固耦合问题分析.     

薄板弯曲分析的高阶高效无网格法

与传统有限元法相比,无网格法具有节点形函数高度光滑、易于形成高阶近似等优势,更适合于以薄板弯曲问题为代表的高阶偏微分方程的数值求解。然而,高阶无网格法的形函数是非多项式的有理函数,导致弱形式的区域积分难以得到精确计算,通常采用的高阶高斯积分方法需使用大量积分点,计算效率低且精度不高。本文针对薄板弯曲问题的高阶（三阶）无网格法分析,首次发展了与该高阶近似相一致的曲率光顺方案,并基于背景三角形积分单元建立了相应的数值积分格式,大幅度减少了所需的积分点数目。所发展方法的关键在于计算刚度阵所需的形函数的二阶导数由形函数及其一阶导数通过散度定理确定,而非对形函数直接求导获得。数值结果表明,基于标准的高斯积分方案的高阶无网格法精度不高,不能精确再现纯弯曲和线性弯曲模式,且得到的弯矩场分布存在严重的虚假数值振荡。而本文所建议的基于曲率光顺方案的高阶无网格法能够方便高效地求解薄板弯曲问题,尤其是它能精确反映纯弯曲和线性弯曲模式。与标准的高斯积分方法和目前主流的常曲率光顺方法相比,本文方法在计算效率、精度、弯矩分布等方面均展现出显著优势,因而具有较好的应用价值。     

质点积分无单元伽辽金法及其在金属挤压过程中的应用

无单元伽辽金法需要在背景网格上积分,计算量大.节点积分无单元伽辽金法把对求解域的积分转化为对节点的求和,效率高,但因零能模态不受控制而会产生不稳定现象,需要采取一定的稳定化方案.本文采用应力点思想,通过Newtor-Cotes法计算积分,建立了质点积分无单元伽辽金法,并通过小变形弹性静力学问题说明了该方法具有良好的稳定性,且计算效率远高于无单元伽辽金法.最后本文将质点积分无单元伽辽金法成功地应用于三维金属挤压成型过程的数值模拟,显示了该方法在分析此类问题时的优势和潜力.     

反平面断裂问题的无单元伽辽金比例边界法

将比例边界法与无单元伽辽金法相结合,建立了反平面断裂分析的无单元伽辽金比例边界法。这是一种边界型无网格法,在环向方向上采用无单元伽辽金法进行离散,因此计算时仅需要边界上的节点信息,不需要边界元所要求的基本解。为了便于施加本质边界条件,通过建立节点值和虚拟节点值之间的关系给出了修正的移动最小二乘形函数。在径向方向上,该方法利用解析的方法求解,因此是一种半解析的数值方法。最后,给出了数值算例,并验证了所提方法后处理简单和计算精度高的特点,适合于求解反平面断裂问题。     

基于赫林格?赖斯纳变分原理的一致高效无网格本质边界条件施加方法

无网格法具有高阶连续光滑的形函数, 在结构分析中呈现出显著的精度优势. 但无网格形函数在节点处一般没有插值性, 导致伽辽金无网格法难以直接施加本质边界条件. 采用变分一致尼兹法施加边界条件的数值解具有良好的收敛性和稳定性, 因而得到了非常广泛的应用, 然而该方法仍然需要引入人工参数来保证算法的稳定性. 本文以赫林格?赖斯纳变分原理为基础, 建立了一种变分一致的本质边界条件施加方法. 该方法采用混合离散近似赫林格?赖斯纳变分原理弱形式中的位移和应力, 其中位移采用传统无网格形函数进行离散, 而应力则在背景积分单元中近似为相应阶次的多项式. 此时的无网格离散方程可视为一种新型的尼兹法施加本质边界条件, 其中修正变分项采用再生光滑梯度和无网格形函数进行混合离散, 稳定项则内嵌于赫林格?赖斯纳变分原理弱形式中, 无需额外增加稳定项, 消除了对人工参数的依赖性. 该方法无需计算复杂耗时的形函数导数, 并满足积分约束条件, 保证了数值求解的精度. 数值结果表明, 所提方法能够保证伽辽金无网格法的计算精度最优误差收敛率, 与传统的尼兹法相比明显提高了计算效率.      

稳定节点积分伽辽金无网格法的应力计算方法研究

应力计算是基于稳定节点积分的伽辽金无网格法的重要组成部分.该文着重研究稳定节点积分伽辽金无网格法的应力计算方法,对稳定节点积分方法的变分一致条件进行了讨论.证明当节点代表域内的应变采用非局郎光滑应变时,相应的应力在节点代表域内为常数,稳定节点积分伽辽金无网格离散方程是变分一致的.文中提出了三种节点应力计算方法,研究表明,基于位移梯度的节点应力计算方法不满足变分一致性要求,而采用光滑应变的节点应力计算方法和一致形心应力计算方法满足变分一致性要求.典型数值算例的误差分析表明,满足变分一致性不一定确保得到更为精确的结果.而基于光滑应变的一致形心应力计算方法总是较其它两种方法更为精确.     

等几何修正准凸无网格法

采用等几何B样条基函数的多项式再生条件对无网格形函数的多项式再生条件进行了修正,使得无网格形函数的负值部分明显减少,在域内趋于非负函数,即等几何修正准凸无网格形函数。该准凸无网格形函数仍然具有与传统再生核无网格形函数相似的构造形式,数值实现比较便捷,同时该准凸无网格形函数的多项式再生条件具有准确的修正系数,无需引入额外的人工节点松弛参数。更重要的是,等几何修正准凸无网格形函数可在确保形函数高阶光滑的前提下减小相对支持域,提高计算效率。最后,基于等几何修正准凸无网格形函数对杆梁和膜板结构进行了伽辽金无网格振动分析。结果表明,与标准再生核无网格法相比,等几何修正准凸无网格法具有更优的计算精度。     

A nodal integration technique for meshfree radial point interpolation method (NI-RPIM)

A novel nodal integration technique for the meshfree radial point interpolation method (NI-RPIM) is presented for solid mechanics problems. In the NI-RPIM, radial basis functions (RBFs) augmented with polynomials are used to construct shape functions that possess the Delta function property. Galerkin weak form is adopted for creating discretized system equations, in which nodal integration is used to compute system matrices. A stable and simple nodal integration scheme is proposed to perform the nodal integration numerically. The NI-RPIM is examined using a number of example problems including stress analysis of an automobile mechanical component. The effect of shape parameters and dimension of local support domain on the results of the NI-RPIM is investigated in detail through these examples. The numerical solutions show that the present method is a robust, reliable, stable meshfree method and possesses better computational properties compared with traditional linear FEM and original RPIM using Gauss integration scheme.     

几何非线性分析的高效高阶无网格法

准确高效地处理几何非线性对于材料破坏等大变形过程的数值分析至关重要。考虑到无网格法具有易于形成高阶近似函数等诸多优点，本文发展了几何非线性分析的高阶无网格法。采用上一载荷步收敛的构形作为计算的参考构形，位移本质边界条件由罚函数法施加。为提高计算效率，将针对线性问题发展的二阶一致三点积分格式QC3（Quadratically Consistent 3-point integration scheme）拓展到考虑构形变化的几何非线性分析，大幅度减少了所需的积分点数目。数值结果表明，本文发展的高阶无网格法能够准确有效地处理几何非线性问题，而且在计算效率、精度以及应力场光滑性等方面均表现出显著优势。     

板壳问题的三维无网格伽辽金直接分析法

对于板壳问题,共有三种数值模拟方案:线性或非线性的板壳理论、退化连续体方案和直接三维连续体方案。无网格法近似函数可具有C1甚至更高的连续性,便于在K irchhoff-Love理论中应用。但当各种无网格法用于M ind lin-R e issner板理论时,会遇到数值锁死的困扰。对比之下,三维连续体方案是最简单,最精确但并不常用的一种方案。无网格法近似函数具有高度光滑性,在板壳的厚度方向仅布置2~5层点就可以很好地捕捉此方向场的梯度,同时还可以在一定参数范围内避免剪切和体积锁死,在处理复杂本构关系、非线性板壳等问题中更是具有很大优势。本文采用无网格伽辽金法(EFG)和三维连续体方案分析了线性板壳问题,与有限单元法做了对比,并讨论了数值锁死等问题。     

配点型无网格法理论和研究进展

有限元法是当前工程科学领域应用最广泛的数值计算方法之一,但是其在求解极端大变形、高速碰撞等一些复杂问题时,容易出现网格畸变和网格敏感性,从而导致计算结果精度低和不收敛的问题．为了避免网格带来的问题,出现并兴起了各种无网格法．无网格法不仅建模简便,而且收敛速度更快、计算精度更高,可用于求解有限元等网格类方法难以求解乃至尚未触及的问题．本文首先阐述了无网格法的分类以及具有代表性的方法．目前限制无网格法发展的主要问题是效率偏低．伽辽金型无网格法效率较低,而配点型无网格法效率较高,在复杂问题的高效高精度数值模拟中具有更大潜力．因此本文详细介绍了配点型无网格法的起源和研究进展,归纳了其常用的近似函数和离散方法,最后对无网格法的发展做出了总结和展望．无网格法的研究和改进,为复杂问题的高效高精度数值模拟开辟了新的途径．     

Higher-order accurate implicit time integration schemes for transport problems

The present paper is concerned with the numerical solution of transient transport problems by means of spatial and temporal discretization methods. The generalized initial boundary value problem of various nonlinear transport phenomena like heat transfer or mass transport is discretized in space by p-finite elements. After finite element discretization, the resulting first-order semidiscrete balance has to be solved with respect to time. Next to the classical generalized-α integration method predicated on the Newmark approach and the evaluation at a generalized midpoint also implicit Runge–Kutta time integration schemes, are presented. Both families of finite difference-based integration schemes are derived for general first-order problems. In contrast to the above-mentioned algorithms, temporal discontinuous and continuous Galerkin methods evaluate the balance equation not at a selected time instant within the timestep, but in an integral sense over the whole time step interval. Therefore, the underlying semidiscrete balance and the continuity of the primary variables are weakly formulated within time steps and between time steps, respectively. Continuous Galerkin methods are obtained by the strong enforcement of the continuity condition as special cases. The introduction of a natural time coordinate allows for the application of standard higher-order temporal shape functions of the p-Lagrange type and the well-known Gau?–Legendre quadrature of associated time integrals. It is shown that arbitrary order accurate integration schemes can be developed within the framework of the proposed temporal p-Galerkin methods. Selected benchmark analyses of calcium diffusion demonstrate the properties of all three methods with respect to non-smooth initial or boundary conditions. Furthermore, the robustness of the present time integration schemes is also demonstrated for the highly nonlinear reaction–diffusion problem of calcium leaching, including the pronounced changes of the reaction term and non-smooth changes of Dirichlet boundary conditions of calcium dissolution.