关于Whittaker方程和Hojman-Urrutia方程——分析力学札记之十九

两个方程,一个是Whittaker方程,另一个是Hojman-Urrutia方程.这两个方程在分析力学的发展过程中有重要地位.本文讨论这两个方程的Birkhoff表示和分数维表示.     

Birkhoff系统的广义正则变换及其基本形式

动力学方程的积分问题是分析力学研究的一个重要方面．由于求解一般的动力学方程往往会遇到很大困难，因此可利用变量变换，使方程变得容易求解．文章研究Birkhoff系统的广义正则变换．首先，建立Birkhoff系统的广义正则变换的充分必要条件；其次，基于该条件，给出Birkhoff系统的广义正则变换的六种基本形式，导出每一种情况下新旧变量之间的变换关系．作为特例，文中给出Hamilton方程的正则变换．文末，给出算例以说明结果的应用．     

关于Birkhoff方程和Lagrange方程——分析力学札记之十六

 讨论Birkhoff方程和Lagrange方程的关系, 由Birkhoff方程可构造Lagrange方程, 反之, 由Lagrange方程可构造Birkhoff方程.     

Birkhoff系统的一类积分不变量的构造

分别建立了自由Birkhoff系统和约束Birkhoff系统的非等时变分方程,并且利用系统的Birkhoff方程及其非等时变分方程证明,可由第一积分直接构造该系统基于非等时变分的一类积分不变量。文中,举例说明结果的应用。     

动力学普遍定理对非完整动力学的应用——分析力学札记之二十九

研究非完整动力学问题,可用理论力学方法或分析力学方法.理论力学方法用动力学普遍定理建立运动方程:分析力学方法用非完整动力学的各类方程来列写系统的运动方程.动力学普遍定理,特别是动量矩定理可以用于定点、质心或动点.有时对动点的动量矩定理比对定点的或质心的要简单得多.     

Birkhoff 系统稳定性的动力学控制

本文研究 Birkhoff 系统和广义 Birkhoff 系统平衡稳定性的动力学控制. 首先建立系统的运动方程和平衡方程. 其次,研究 Birkhoff 系统中控制参数出现在 Birkhoff 函数中平衡稳 定性的动力学控制. 方法是通过选取控制参数使得 Birkhoff 函数 $B$ 成为定号函数,而其时间导数 $\dot {B}$ 为与 $B$ 反号的常号函数. 再次,研究广义 Birkhoff 系统平衡稳定性的动力学控制,通过选取 Birkhoff 函数或附加项中包含控制参数的方法,使得 Birkhoff 函数是定号函数,而其时间导数为反号的常号函数,从而控制系统的平衡稳定性. 最后举例说明结果的应用.      

DYNAMICAL CONTROL OF STABILITY FOR BIRKHOFFIAN SYSTEM$^{\bf 1)}$

本文研究 Birkhoff 系统和广义 Birkhoff 系统平衡稳定性的动力学控制. 首先建立系统的运动方程和平衡方程. 其次,研究 Birkhoff 系统中控制参数出现在 Birkhoff 函数中平衡稳 定性的动力学控制. 方法是通过选取控制参数使得 Birkhoff 函数 $B$ 成为定号函数,而其时间导数 $\dot {B}$ 为与 $B$ 反号的常号函数. 再次,研究广义 Birkhoff 系统平衡稳定性的动力学控制,通过选取 Birkhoff 函数或附加项中包含控制参数的方法,使得 Birkhoff 函数是定号函数,而其时间导数为反号的常号函数,从而控制系统的平衡稳定性. 最后举例说明结果的应用.     

用具有负定非对称矩阵的梯度系统构造稳定的广义Birkhoff系统1）

Birkhoff系统是一类比Hamilton系统更广泛的约束力学系统,可在原子与分子物理,强子物理中找到应用.非定常约束力学系统的稳定性研究是重要而又困难的课题,用构造Lyapunov函数的直接方法来研究稳定性问题有很大难度,其中如何构造Lyapunov函数是永远的开放问题.本文给出一种间接方法,即梯度系统方法.提出一类梯度系统,其矩阵是负定非对称的,这类梯度系统的解可以是稳定的或渐近稳定的.梯度系统特别适合用Lyapunov函数来研究,其中的函数V通常取为Lyapunov函数.列出广义Birkhoff系统的运动方程,广义Birkhoff系统是一类广泛约束力学系统.当其中的附加项取为零时,它成为Birkhoff系统,完整约束系统和非完整约束系统都可纳入该系统.给出广义Birkhoff系统的解可以是稳定的或渐近稳定的条件,进一步利用矩阵为负定非对称的梯度系统构造出一些解为稳定或渐近稳定的广义Birkhoff系统.该方法也适合其他约束力学系统.最后用算例说明结果的应用.     

Caputo导数下分数阶Birkhoff系统的准对称性与分数阶Noether定理

应用分数阶模型可以更准确地描述和研究复杂系统的动力学行为和物理过程,同时Birkhoff力学是Hamilton力学的推广,因此研究分数阶Birkhoff系统动力学具有重要意义.分数阶Noether定理揭示了Noether对称变换与分数阶守恒量之间的内在联系,但是当变换拓展为Noether准对称变换时,该定理的推广遇到了很大的困难.本文基于时间重新参数化方法提出并研究Caputo导数下分数阶Birkhoff系统的Noether准对称性与守恒量.首先,将时间重新参数化方法应用于经典Birkhoff系统的Noether准对称性与守恒量研究,建立了相应的Noether定理;其次,基于分数阶Pfaff作用量分别在时间不变的和一般单参数无限小变换群下的不变性给出分数阶Birkhoff系统的Noether准对称变换的定义和判据,基于Frederico和Torres提出的分数阶守恒量定义,利用时间重新参数化方法建立了分数阶Birkhoff系统的Noether定理,从而揭示了分数阶Birkhoff系统的Noether准对称性与分数阶守恒量之间的内在联系.分数阶Birkhoff系统的Noether对称性定理和经典Birkhoff系统的Noether定理是其特例.最后以分数阶Hojman-Urrutia问题为例说明结果的应用.     

用具有负定非对称矩阵的梯度系统构造稳定的广义Birkhoff系统

Birkhoff系统是一类比Hamilton系统更广泛的约束力学系统,可在原子与分子物理,强子物理中找到应用.非定常约束力学系统的稳定性研究是重要而又困难的课题,用构造Lyapunov函数的直接方法来研究稳定性问题有很大难度,其中如何构造Lyapunov函数是永远的开放问题.本文给出一种间接方法,即梯度系统方法.提出一类梯度系统,其矩阵是负定非对称的,这类梯度系统的解可以是稳定的或渐近稳定的.梯度系统特别适合用Lyapunov函数来研究,其中的函数V通常取为Lyapunov函数.列出广义Birkhoff系统的运动方程,广义Birkhoff系统是一类广泛约束力学系统.当其中的附加项取为零时,它成为Birkhoff系统,完整约束系统和非完整约束系统都可纳入该系统.给出广义Birkhoff系统的解可以是稳定的或渐近稳定的条件,进一步利用矩阵为负定非对称的梯度系统构造出一些解为稳定或渐近稳定的广义Birkhoff系统.该方法也适合其他约束力学系统.最后用算例说明结果的应用.     

Conserved quantities and adiabatic invariants for fractional generalized Birkhoffian systems

Based on Riemann-Liouville fractional derivatives, conserved quantities and adiabatic invariants for fractional generalized Birkhoffian systems are investigated. Firstly, fractional generalized Birkhoff equations are obtained by studying fractional generalized Pfaff-Birkhoff principle. Secondly, the definition of fractional generalized quasi-symmetry is given, the criteria of fractional generalized quasi-symmetry and the corresponding conserved quantity are achieved for fractional generalized Birkhoffian systems. Thirdly, perturbation to symmetry and adiabatic invariants for disturbed fractional generalized Birkhoffian systems are presented. Finally, an example is given to illustrate the results.     

Noether symmetries and conserved quantities for Birkhoffian systems with time delay

The Noether symmetries and conserved quantities for Birkhoffian systems with time delay are proposed and studied. First, the Pfaff–Birkhoff principle with time delay is proposed, and Birkhoff’s equations with time delay are obtained. Second, based on the invariance of the Pfaff action with time delay under a group of infinitesimal transformations, the Noether symmetric transformations and the Noether quasisymmetric transformations of the system are defined, and the criteria of the Noether symmetries are established. Finally, the relationship between the symmetries and the conserved quantities are studied, and the Noether theorems for Birkhoffian systems with time delay are established. Some examples are given to illustrate the application of the results.     

Discrete optimal control for Birkhoffian systems

In this paper, we investigate a discrete variational optimal control for mechanical systems that admit a Birkhoffian representation. Instead of discretizing the original equations of motion, our research is based on a direct discretization of the Pfaff–Birkhoff–d’Alembert principle. The resulting discrete forced Birkhoffian equations then serve as constraints for the minimization of the objective functional. In this way, the optimal control problem is transformed into a finite-dimensional optimization problem, which can be solved by standard methods. This approach yields discrete dynamics, which is more faithful to the continuous equations of motion and consequently yields more accurate solutions to the optimal control problem which is to be approximated. We illustrate the method numerically by optimizing the control for the damped oscillator.     

判定非自治Birkhoff系统稳定性的广义组合梯度方法

研究判定非自治Birkhoff系统稳定性的广义组合梯度方法．首先,给出非自治Birkhoff系统和非自治广义Birkhoff系统的运动微分方程;其次,给出一类将广义梯度系统和广义斜梯度系统组合而成的广义组合梯度系统,并讨论广义组合梯度系统的一些性质;最后,将非自治Birkhoff系统和非自治广义Birkhoff系统在一定条件下表示成广义组合梯度系统,并用广义组合梯度系统的性质研究了这两类Birkhoff系统的稳定性．举例说明结果的应用．     

GENERALIZED CANONICAL TRANSFORMATION AND SYMPLECTIC ALGORITHM OF THE AUTONOMOUS BIRKHOFFIAN SYSTEMS

The Birkhoff systems are the generalization of the Hamiltonian systems. Generalized canonical transformations are studied. The symplectic algorithm of the Hamiltonian systems is extended into that of the Birkhoffian systems . Symplectic differential scheme of autonomous Birkhoffian systems was structured and discussed by introducing the Kailey Transformation .     

Noether symmetry method for Birkhoffian systems in terms of generalized fractional operators

Compared with the Hamiltonian mechanics and the Lagrangian mechanics, the Birkhoffian mechanics is more general. The Birkhoffian mechanics is discussed on the basis of the generalized fractional operators, which are proposed recently. Therefore, differential equations of motion within generalized fractional operators are established. Then, in order to find the solutions to the differential equations, Noether symmetry, conserved quantity, perturbation to Noether symmetry and adiabatic invariant are investigated. In the end, two applications are given to illustrate the methods and results.     

NOETHER QUASI-SYMMETRY AND APPROXIMATE NOETHER CONSERVATION LAWS FOR WEAKLY NONLINEAR DYNAMICAL EQUATIONS 1)

自然界和工程技术领域存在大量的非线性问题,它们通常需要用非线性微分方程来描述. 守恒量在微分方程的求解、约化和定性分析方面发挥重要作用. 因此,研究非线性动力学方程的近似守恒量具有重要意义. 文章利用 Noether 对称性方法研究弱非线性动力学方程的近似守恒量. 首先,将弱非线性动力学方程化为一般完整系统的 Lagrange 方程,在 Lagrange 框架下建立 Noether 准对称性的定义和广义 Noether 等式,给出近似 Noether 守恒量. 其次,将弱非线性动力学方程化为相空间中一般完整系统的 Hamilton 方程,在 Hamilton 框架下建立 Noether 准对称性的定义和广义 Noether 等式,给出近似 Noether 守恒量. 再次,将弱非线性动力学方程化为广义 Birkhoff 方程,在 Birkhoff 框架下建立 Noether 准对称性的定义和广义 Noether 等式,给出近似 Noether 守恒量. 最后,以著名的 van der Pol 方程,Duffing 方程以及弱非线性耦合振子为例,分析三个不同框架下弱非线性系统的 Noether 准对称性与近似 Noether 守恒量的计算. 结果表明：同一弱非线性动力学方程可以化为不同的一般完整系统或不同的广义 Birkhoff 系统;Hamilton 框架下的结果是 Birkhoff 框架的特例,而 Lagrange 框架下的结果与 Hamilton 框架的等价. 利用 Noether 对称性方法寻找弱非线性动力学方程的近似守恒量不仅方便有效,而且具有较大的灵活性.     

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本文阐述时变力学这一新的研究方向,对其基本课题、特征及力学、数学方法与进展作了较为系统概述,并结合工程实践说明时变固体力学方向研究的重要性与发展前景．