无网格介点法求解Helmholtz方程

作为一种配点型无网格法，无网格介点MIP法具有数值实施简单、计算精度高、运算高效和适用范围广等优点。Helmholtz方程是科学与工程问题中广泛应用的一类特殊方程，因此对MIP法求解此类方程的适用性进行了验证。利用MIP法的d适应性，给出了MIP法求解该方程的两种计算格式。在数值算例中，分别对平面规则域和不规则域上的一般Helmholtz方程，以及轴对称Helmholtz方程进行了数值分析。结果表明，MIP法完全适用于求解Helmholtz方程。而且，MIP法的计算精度和收敛性都优于普通配点法。此外，MIP法的两种计算格式中，L2C0型通常具有更好的计算效果，故建议将该计算格式作为MIP法求解该类方程的标准形式。     

通过Adomian分解法求解二维Helmholtz方程

提出基于Adomian分解法求解二维Helmholtz方程。通过Adomian分解法可以把Helmholtz微分方程和边界条件分别转换成递归代数公式和适用符号计算的简单代数公式。利用边界条件可以很容易得到方程的解析解表达式。Adomian分解法的主要特点在于计算简单快速,并且不需要进行线性化或离散化。最后给出数值实例以验证Adomian分解法求解二维Helmholtz方程的有效性。通过数值计算可以发现,基于Adomian分解法的计算结果非常接近精确解,并且该方法具有良好的收敛性。这表明Adomian分解法能够快速有效求解Helmholtz方程。     

通过Adomian分解法求解二维Helmholtz方程

提出基于Adomian分解法求解二维Helmholtz方程。通过Adomian分解法可以把Helmholtz微分方程和边界条件分别转换成递归代数公式和适用符号计算的简单代数公式。利用边界条件可以很容易得到方程的解析解表达式。Adomian分解法的主要特点在于计算简单快速,并且不需要进行线性化或离散化。最后给出数值实例以验证Adomian分解法求解二维Helmholtz方程的有效性。通过数值计算可以发现,基于Adomian分解法的计算结果非常接近精确解,并且该方法具有良好的收敛性。这表明Adomian分解法能够快速有效求解Helmholtz方程。     

无网格介点法求解Helmholtz方程

作为一种配点型无网格法,无网格介点MIP法具有数值实施简单、计算精度高、运算高效和适用范围广等优点。Helmholtz方程是科学与工程问题中广泛应用的一类特殊方程,因此对MIP法求解此类方程的适用性进行了验证。利用MIP法的d适应性,给出了MIP法求解该方程的两种计算格式。在数值算例中,分别对平面规则域和不规则域上的一般Helmholtz方程,以及轴对称Helmholtz方程进行了数值分析。结果表明,MIP法完全适用于求解Helmholtz方程。而且,MIP法的计算精度和收敛性都优于普通配点法。此外,MIP法的两种计算格式中,L2C0型通常具有更好的计算效果,故建议将该计算格式作为MIP法求解该类方程的标准形式。     

Chebyshev谱元方法结合并行算法求解三维区域的Helmholtz方程

本文探讨了采用Chebyshev谱元方法结合并行计算求解三维区域的Helmholtz方程问题。首先应用变分方法,得到了带有第一类边界条件的三维区域Helmholtz方程的弱形式。然后在三维的标准单元内,采用Chebyshev正交多项式展开函数u和试函数v,并且将其带入弱形式方程,通过积分,得到单元刚度矩阵;通过合成单元刚度矩阵,得到总体矩阵。最后通过基于MPI的并行计算,求解了以总体矩阵为系数的方程组,得到了Helmholtz方程的数值解,和解析解对比表明了数值解的正确性,并且数值解具有8阶精度。在并行求解方程组过程中,充分利用矩阵的对称性和矢量存储来获取上三角元素,这大幅的节约了存储量和计算进程间的通讯量,获得的并行效率可达76.6%。     

基本解方法与边界节点法求解Helmholtz方程的比较研究

基本解方法和边界节点法是基于径向基函数的两种重要无网格边界离散数值技术。针对Helmholtz方程,本文比较研究这两种数值方法在不同计算区域问题上的计算精度、插值矩阵对称性、病态性及计算成本。数值试验结果表明,两种方法都可以有效求解边界数据准确的Helmholtz问题。在数值离散过程中,两种方法都可以通过调整配置点的位...     

奇异边界法求解多连通域的瞬态热传导问题

提出一种基于奇异边界法结合双重互易法的数值模型来求解瞬态热传导问题。奇异边界法属于配点型边界无网格方法,相对于网格方法,其具有无需划分网格,只需边界配点的优势。运用差分格式来处理热传导方程中的时间变量,将原热传导方程化为非齐次修正Helmholtz方程。修正Helmholtz方程的解由齐次解和特解两部分组成,齐次解通过奇异边界法求出,特解由双重互易法求出,源项由径向基函数近似。通过数值算例检验了本文数值模型的精度及有效性;算例结果表明,该数值模型计算精度较高,误差基本都在1%以内,具有很好的稳定性,能有效地应用于求解多连通域的瞬态热传导问题。     

求解Helmholtz方程基于核重构思想的最小二乘配点法

基于核重构思想构造近似函数，将配点法和最小二乘原理相结合对微分方程进行离散， 建立了Helmholtz方程的最小二乘配点格式，并分别研究了Helmholtz方程的波传播问题和 边界层问题. 通过数值算例可以发现，给出的数值计算结果非常接近于精确解，计算精度明显高于SPH 法的数值结果，且随着节点数目的增加，其精确度越来越高，具有良好的收敛性.     

Helmholtz边界积分方程中奇异积分间接求解方法

提出了间接求解传统Helmholtz边界积分方程CBIE的强奇异积分和自由项系数,以及Burton-Miller边界积分方程BMBIE中的超强奇异积分的特解法。对于声场的内域问题,给出了满足Helmholtz控制方程的特解,间接求出了CBIE中的强奇异积分和自由项系数。对于声场外域对应的BMBIE中的超强奇异积分,按Guiggiani方法计算其柯西主值积分需要进行泰勒级数展开的高阶近似,公式繁复,实施困难。本文给出了满足Helmholtz控制方程和Sommerfeld散射条件的特解,提出了间接求出超强奇异积分的方法。推导了轴对称结构外场问题的强奇异积分中的柯西主值积分表达式,并通过轴对称问题算例证明了本文方法的高效性。数值结果表明,对于内域问题,采用本文特解法的计算结果优于直接求解强奇异积分和自由项系数的结果,且本文的特解法可避免针对具体几何信息计算自由项系数,因而具有更好的适用性。对于外域问题,两者精度相当,但本文的特解法可避免对核函数进行高阶泰勒级数展开,更易于数值实施。     

基于点插值的配点型无网格法解Helmholtz问题

基于点插值法的思想,用三角函数作为基函数在局部支持域内构造具有Kroneckerδ函数性、单位分解性、高阶连续性、再生性和紧支性的形函数.用配点法离散微分方程,得到了具有稀疏带状性的系数矩阵,用GMERS方法求解代数方程组,分别研究了Helmholtz问题的边界层问题和波传播问题.通过数值算例可以发现,给出的数值结果非常接近于精确解,且随着节点的增加,其精确度越来越高,具有良好的收敛性.     

求解任意形状厚板自由振动的微分容积法

用一种新型的数值方法－微分容积法求解具有任意形状的厚板自由振动问题。该方法的基本思想是将任意一个线性微分算子对函数的作用值如一个连续函数或其任意阶偏导数、或其线性组合在某点处的值表示为域内各点函数值的线性加权组合，如此可将问题的控制方程和边界条件离散成为一组线性齐次代数方程。这是一典型的特征值问题，其特征值可用子空间迭代法求解。文中给出了详细的计算公式，用一些数值算例说明了该方法求解中厚板自由振动问题的可行性、有效性和通用性，并通过与有关文献比较验证了该方法的数值精度。     

阶梯式Timoshenko梁自由振动的DCE解

本文基于微分容积法和区域叠加技术提出了微分容积单元法（Differential Cubature Element method，以下简称DCE方法），并用之求解阶梯式变截面Timoshenko梁的自由振动问题。根据梁的变截面情况将其划分为几个单元，在每个单元内应用微分容积法将梁的控制微分方程和边界约束方程离散成为一组关于该单元内配点位移的线性代数方程组，将这些方程组写在一起并在各单元之间应用连续性条件和平衡条件得到一组关于整个域内各点位移的齐次线性代数方程组，这是一广义特征值问题，由子空间迭代法求解该特征问题便可求得系统的自振动频率。数值算例表明，本方法能稳定收敛、并有较高的数值精度和计算效率。     

求解不连续中厚板自由振动的微分容积单元法

基于区域叠加原理和微分容积法，发展了一种新型的数值方法——微分容积单元法，用以分析具有不连续几何特征的中厚板的自由振动。根据板的不连续情况将其划分为若干单元，在每个单元内用微分容积法将控制微分方程离散成为一组线性代数方程．在相邻的单元连接处应用位移连续条件和平衡条件，引入边界约束条件后得到一套关于各配点位移的齐次线性代数方程，由此可导出求解系统固有频率的特征方程。本文用子空间迭代法求解特征方程，并以开孔板、混合边界条件板和突变厚度板为例研究了方法的收敛性和计算精度。     

SOME PROBLEMS WITH THE METHOD OF FUNDAMENTAL SOLUTION USING RADIAL BASIS FUNCTIONS

The present work describes the application of the method of fundamental solutions (MFS) along with the analog equation method (AEM) and radial basis function (RBF) approximation for solving the 2D isotropic and anisotropic Helmholtz problems with different wave numbers. The AEM is used to convert the original governing equation into the classical Poisson's equation, and the MFS and RBF approximations are used to derive the homogeneous and particular solutions, respectively. Finally, the satisfaction of the solution consisting of the homogeneous and particular parts to the related governing equation and boundary conditions can produce a system of linear equations, which can be solved with the singular value decomposition (SVD) technique. In the computation, such crucial factors related to the MFS-RBF as the location of the virtual boundary, the differential and integrating strategies, and the variation of shape parameters in multi-quadric (MQ) are fully analyzed to provide useful reference.     

Differential characteristic set algorithm for the complete symmetry classification of partial differential equations

In this paper, we present a differential polynomial characteristic set algorithm for the complete symmetry classification of partial differential equations （PDEs） with some parameters. It can make the solution to the complete symmetry classification problem for PDEs become direct and systematic. As an illustrative example, the complete potential symmetry classifications of nonlinear and linear wave equations with an arbitrary function parameter are presented. This is a new application of the differential form characteristic set algorithm, i.e., Wu＇s method, in differential equations.     

Scattering of harmonic waves by a disk-shaped rigid inclusion in a three-dimensional elastic matrix

We consider a three-dimensional problem on the interaction of harmonic waves with a thin rigid movable inclusion in an infinite elastic body. The problem is reduced to solving a system of two-dimensional boundary integral equations of Helmholtz potential type for the stress jump functions on the opposite surfaces of the inclusion. We propose a boundary element method for solving the integral equations on the basis of the regularization of their weakly singular kernels. Using the asymptotic relations between the amplitude-frequency characteristics of the wave farzone field and the obtained boundary stress jump functions, we determine the amplitudes of the shear plane wave scattering by a circular disk-shaped inclusion for various directions of the wave incident on the inclusion and for a broad range of wave numbers.     

弹性薄板的广义多维微分求积分析方法

多维微分求积DC(differential cubature)法是近年迅速发展起来的一种处理多维微分方程的高精度数值方法。本文围绕多元函数插值适定性这一基本问题，探讨了实现DC法时插值结点组和插值空间应满足的条件，研究了离散结点组选择及其构造适定试函数的方法。提出了一种沿各坐标方向可以布置不同数量结点的广义交错网格DC方法，并给出了确定相应的插值空间及其选择试函数的具体方案。通过弹性薄板变形分析研究了广义交错网格DC法解决实际结构力学问题的可靠性及其潜力。研究结果表明，广义交错网格DC法较传统的交错网格DC格式具有更强的适用性和灵活性，采用数量少得多的离散结点即可达到传统交错网格DC法相同的数值精度，表现出精度高和计算工作量小的优点。     

Complex variable function method for the scattering of plane waves by an arbitrary hole in a porous medium

Based on the complex variable function method, a new approach for solving the scattering of plane elastic waves by a hole with an arbitrary configuration embedded in an infinite poroelastic medium is developed in the paper. The poroelastic medium is described by Biot's theory. By introducing three potentials, the governing equations for Biot's theory are reduced to three Helmholtz equations for the three potentials. The series solutions of the Helmholtz equations are obtained by the wave function expansion method. Through the conformal mapping method, the arbitrary hole in the physical plane is mapped into a unit circle in the image plane. Integration of the boundary conditions along the unit circle in the image plane yields the algebraic equations for the coefficients of the series solutions. Numerical solution of the resulting algebraic equations yields the displacements, the stresses and the pore pressure for the porous medium. In order to demonstrate the proposed approach, some numerical results are given in the paper.