从单摆看混沌

 众所周知,当单摆在摆角很小时,其运动可以看作简谐振动,用简单的线性微分方程即可描述。但在摆角很大时,其动力学行为就必须要用非线性方程才能描述了。考虑既受外界周期性驱动力,同时又受阻力的情况,单摆的运动方程可写为:(1)其中ω0=g/l为单摆的固有频率,r为阻力系数,Ω0为驱动力的角频率,F为外界驱动力的幅值。     

单摆运动的非线性求解

本文给出了单摆运动非线性微分方程的精确解,并得到了单摆运动周期与初始条件的关系。当初始条件满足一定关系时,单摆的运动状态并不由初始条件唯一确定,而有两种可能,因此状态空间出现分支点,这是非线性方程解的特征.     

对“应用叠代法求单摆周期公式”一文的一个注记

《大学物理》曾登出“应用叠代法求单摆周期公式”一文[1].我以为,该文应对其一次迭代近似解中的长期项加以说明;或进而用奇异摄动法消除长期项,从而自然地得出该文(8)式的结果;这比该文用 来“消除”长期项更为恰当些.下面我就针对此问题,用重正化方法来消除其长期项,并得一与[1]中(8)式相近的结果,作为对该文的一个注记. 为节约篇幅,就从该文的(7)式谈起(参见[1]). 单摆的一次迭代近似解为 式中的　即所谓长期项(Secular term),当t甚大时,显然就会导致不合理的结果,此乃正则摄动法带来的缺陷,现用众所周知的重正化方法(亦称Usher法)来消…     

关于叠代法求单摆周期

赵炳林同志关于单摆周期的结论[1]是正确的.周凌云同志使用重正化方法消除[1]文(7)式的secularterm,得出与[1]文(8)式完全一致的结果[2].这种消除secular term的方法显然更合理.本文拟就[1]文(7)、(8)式提出一点异议,与两位同志商榷. [1]文(4′)式的一次迭代近似解,应是其零次迭代与[1]文(5)式的通解之和.(5)式的余函数为特解为通解为式中的B和a为积分常数.[1]文显然是如下的初值问题将(1)式代入(3)式,不难求得代与(1)式,则所以[1]文(4′)式的一次迭代近似解应为应用重正化方法从(4)式消除secular term。并恢复原有的时间标度,得我认为[l]…     

无阻尼单摆运动微分方程的反正切分式变换精确解

无阻尼单摆运动微分方程是一种具有物理背景的非线性常微分方程,研究其精确解和解法是非线性科学中的一个重要内容.在F展开法的基础上,应用反正切分式变换正弦函数方法,并引入Riccati辅助方程,得到了4种无阻尼单摆方程精确解的结果.达到了丰富此类方程求解技巧和精确解的目的.总结得出此类方程应用反正切分式变换方法具有一定普适性的结论.     

基于MATLAB下对单摆实验中大摆角问题的讨论

借助MATLAB计算软件,研究无阻尼状态下单摆的大摆角运动,给出了任意摆角下单摆运动周期的精确解。同时利用MATLAB函数库中的ode45函数,求解出大摆角下的单摆的运动方程及其运动规律,为单摆实验中大摆角问题的讲解提供了较好的教学辅助手段。     

引入转动惯量减小重力加速度测量的系统误差

把刚体模型理论中的转动惯量等引入到单摆测量系统中进行误差修正, 使系统误差减少了近6 0%. 另 外, 此系统误差处理方法不但可以使学生对单摆运动有更深刻的认识, 还可以扩展学生视野, 培养学生将所学知识 运用到实际中去的理念     

关于非线性阻尼振动

本文利用“力学问题的逆问题求解方法”[1][2],来讨论非线性阻尼振动问题。1.非线性阻尼振动的解 已知非线性阻尼(与速度平方成正比)振动的运动方程这里我们只讨论第一个方程,因为只要以-β代β,则所得的结果对第二个方程适用。作变换 选取变换,使 ,以清除§议程中§2项,解得:或而§则满足方程方程(3)有Lagrangian而(3)或即L的Euler-Lagrange方程由于L不明显含t,故有Jacobi积分故即为(3)式的解,将(2)代入,得振动方程的解(7*)式不能表示作初等形式,但由(6)式将§再交换为x,得据此可以讨论运动的形象。2.初始条件对运动的影响 设初始位移x0…     

借助力学概念求解二阶非线性微分方程

借助于力学中的保守力、势函数的概念和机械能守恒求解二阶微分方程有时是方便的(1).例如,非线性方程 十分类似于力学中的数学摆方程(2),只要将自变量x换为时间t. 为了求解方程(1),我们形式地将看作“加速度”,“单位质量的保守力”是其中“势函数”(见图一)是积分方程(1)给出‘其中E是积分常数,这可以看作系统的“机械能守恒”表达式,其中为系统的“动能”,为总能量.如果初值条件,代入(4)式,有再次积分(4)式,得(6)式右边是椭圆积分. 当E很小,即很小,因而很小,(6)式近似给出简谐解不难看出,该解也正是方程(1)简谐近似为方程的解. 当B一炉…     

SU(5)无色双子场中的费米子

在SU(5)大统一模型中找到了一组P-S型的、无色的、能量有限的双子解的解析形式, 这是目前见到的唯一真正物理的双子解. 在SU(5)的理论框架中, 具体导出了费米子在这双子场中运动的Dirac方程, 指出了求解此方程的具体数学方法, 并讨论此方法的物理意义.     

大学物理教学中对大角度单摆的介绍

大学物理的教学在简谐振动部分介绍了小角度单摆,但没有介绍摆角较大时单摆的运动.利用Matlab研究了大角度的单摆运动,得到了大角度单摆的运动曲线,曲线表明,尽管摆角较大时单摆不再做简谐振动,但其运动曲线看似余弦曲线,且具有一定的周期性;文章给出了小角度单摆的相图及其与实际摆动的对比动画;对大角度单摆运动的相图进行了分析,说明在摆角较大时单摆的运动将不同于简谐振动而更加复杂.在此基础上,探讨了如何把所得结论引入到大学物理教学中,以加深和拓展学生对单摆运动的理解.     

位移型无公度相的场论描叙

在此简讯中,我们用类似力学中处理单摆问题的方法,对一个简单模型导出了无公度相的多谐调制解。它在高温端退化为单谐调制;它在低温端转化为扭折解。它的基波波矢随温度而单调地下降,与实验观察到的现象一致。 关键词：     

关于变摆长的单摆运动与相关的铅直运动的耦合

研究了一个变摆长单摆运动的例子,在平面极坐标系下给出了描述该运动的二阶微分方程组.采用微分方程高精度数值解法得到了随时间变化的摆角、摆长、摆长变化率以及运动轨迹的数值精确解.在小摆角近似下,采用迭代方法推导出摆角、摆角变化率的一级近似解析表达式和摆长、摆长变化率的二级近似解析表达式.由解析表达式得到的数值结果与数值精确解相比较,二者在前几个摆动周期内相吻合.     

对《滑杆的降落运动》一文的异议

贵刊86年第3期登载了一篇题为《滑杆的降落运动》的文章,试图解决光滑均匀细杆的滑落运动.笔者《以为其解不妥.《滑》文中的关系式反映了临界态时(支点反力N=0)的各个运动参量ω、θ、r之间的关系。而不是自开始滑动至达到临界态时整个过程中诸量的关系,也可以说应标为ωc、θc、rc所以《滑》文中的ω2的最大值对应于合理锐角的最小值,即θ的取值须使上式末项等于零,所以是没有充分理由的.我们只能说ωc大于在此以前的ω,但不一定要取到(A)式中可能取的最大值.所以《滑》之(7)式以及后面诸式皆成问题.此外将(8)式对r微商并令其为零的做法也…     

有心力问题复数分析

一、引言 质点在有心力场中运动的轨道方程的求解方法比较多[1][2][3].这里所说的有心力主要是指平方比律有心力,我们将以此为例讨论一种普遍适用于分析平面质点运动的复数方法. 引入指数形式的复数表示各个力学量.如图1.1所示,在复平面上,质点的运动方程r=r(t)可以表示为这里j表示复数单位.由上式对时间求导一次,便得到质点在任意位置的速度同极坐标系(如图1.2所示)中的表达式相比,可见(1.2)式括号里的实部为速度的径向分量vr,而虚部则为速度的横向分量v0[1].事实上,此式所表明的正是当质点运动到幅角为θ处时速度在径向和横向上的分量,而…     

有关临界阻尼振动特性的两点证明

对于一个有阻尼的弹簧振子,振动物体的运动微分方程为式中m为振动物体的质量,K为弹簧的劲度系数,r为阻尼系数. 令(ω0为振子固有频率),=2β(β为阻尼因子),则运动微分方程变为上式的解有三种情形: A.当β2>ω01时,有过阻尼振动解 B.当β2=ω02时、有临界阻尼振动解 C.当β2<ω02时,有阻尼振动解 一、对x临(t)“临界性”的证明 当β→ω0时,从表面上看x过(t)和x阻(t)的临界形式似乎是C’1e-ω0t,为什么在x临(t)中会出现c’zte-“。‘项,对这个问题,我们作如下证明. ,设振动的初始条件X一回。,可以定出三种解中的常数,即得 Zgi() 证明1当B…     

对运动电荷在匀强电场中的一点讨论

讨论一电荷沿x轴以初速υ垂直射入一匀强电场E0中(图一中的z方向).取电场E0为s’(x’,y’,z’t’)静止坐标系,观察者站在电荷q(s系)上看,s’系相对于s系以速度(-υ)运动,这时观察者将观测到原来的电场E0不再是E0.由电磁场的变换公式,在o’与o重合,即t=0时刻,在s系测得的电磁场为:式中　但在s’系看:把(2)式中的各分量代入(1)的变换式中变得s系中电磁场的分量这样站在s系看电行q的运动方程应是:但同时电场E0以速度-υ向左匀速运动,它的运动方程为 x=-υt. 于是电荷q相对于E0的等效运动方程是 解之得电荷的轨道方程:是一抛物线,轨道向x轴上…     

浅水体系中的多孤立波

形式分离变量法被推广应用于寻求不可积模型的多孤立波解.特别地,应用形式分离变量法于三个描述浅水体系的非线性方程:推广WhithamBroerKaup(WBK)方程、2+1维耦合KortewegdeVries(KdV)方程和1+1维耦合KdV方程,给出了这些体系的明显的解析的多孤立波解 关键词： 浅水体系 多孤立波 形式分离变量法 不可积模型     

红外微位移传感器在测重力加速度实验中的应用

用单摆测量重力加速度是大学普通物理实验中的一个基础实验,测量的核心问题是如何精确的测量单摆周期,常有秒表法、光电探测器、霍耳位置传感器等方法.这些方法各有优缺点,但无法测出单摆在摆动过程中的运动情况.本文设计的基于红外微位移传感器的精密测量装置,不仅可以对单摆周期进行精确测     

考虑旋流的非定常几何一维流动解析解

对文献[1]给出的能反映管内非定常完全气体有旋流流动的一维计算模型,首次给出了其多套代数显式解析解,以便于在理论上了解此流动模型,尤其是有助于计算流体力学工作者验证与发展其计算方法与技巧。本文导出一些解析解时利用了作者以前推导普通(无旋流)非定常一维流所得的解与推导经验,也是一个特色。