等腰三角形的两种证法

<正>题目如图1,设P,Q是线段BC上的两个定点,且BP=CQ,A为BC外一点,若∠BAP=∠CAQ,则△ABC是等腰三角形.思路1由BP=CQ,A为BC外一点,尝试通过作辅助线(高)建立∠BAP、∠CAQ与三角形面积之间的联系,再由BP=CQ联想到BQ=CP,由S_(△BAP)=S_(△CAQ)联想到S_(△BAQ)=S_(△CAP),尝试两次运用"等底等高三角形的面积相等"来解决问题.     

三角形面积公式的推广及应用

<正>三角形面积的推广公式,如图1,在△ABC中,P是直线BC上任意一点,记∠APC=α,则S_(△ABC)=1/2BC·APsinα.证明作AD丄BC于点D,于是S_(△ABC)=1/2 BC·AD①,在Rt△APD中,AD=APsinα,代入①得S_(△ABC)=1/2BC·APsinα.注图1中,若P点与B或C点重合,显     

巧证几何不等式

<正>在△ABC中,D、E分别为边BC和CA上的点,T是DE上的点,S_1、S_2、S分别表示△ADE、△BDT、△ABC的面积,则(S_1/S)^(1/3)+(S_2/S)(1/3)+(S_2/S)^(1/3)≤1.     

一个基本图形的应用

我们知道:三角形的中线将三角形的面积等分.即:如图1,AD是△ABC的边BC上的中线,则△ABD与△ACD的面积相等(我们将图1称为基本图形),据此,可以     

成比例线段证题中的“面积法”

三角形面积公式,不仅可用来计算有关图形的面积,而且在证题方面也有较广泛的应用。本文仅就用它来证明有关成比例线段略举几例,思路常是运用面积相等或面积之比使其获证。若恰当地运用三角函数关系往往更为简便。例1 圆内接四边形ABCD的对角线AC平分另一对角线BD于E,求证:AB/AD=DC/BC。分析:结论即求证:AB·BC=AD·DC,∠ABC=180°-∠ADC,于是变为求证: (1/2)AB·BCsin∠ABC=(1/2)AD·DCsin(180°-∠ADC), 根据三角形面积公式,可考虑S_(△ABC)=S_(△ADC)。     

面积比问题的探究

<正>近日,笔者看到2016年1月北京市朝阳区高三第一学期期末试题第14题:已知点O在△ABC的内部,且有x((OA)|→)+y((OB)|→)+z((OC)|→)=(0|→),记△AOB,△BOC,△AOC的面积分别为S_(△AOB),S_(△BOC),S_(△AOC).若x=y=z=1,则S_(△AOB):S_(△BOC):S_(△AOC)=______;若x=2,y=3,z=4,则S_(△AOB):S_(△BOC):S_(△AOC)=______.分析第一问中点O为△ABC的重心,所以S_(△AOB):S_(△BOC):S_(△AOC)=1:1:1.第二问中由于系     

巧用中线求三角形面积

<正>同学们都知道,三角形的中线可将原三角形分成面积相等的两个三角形.如图1,AD是△ABC的中线,则有S△ABD=S△ADC=1/2S△ABC,利用这个性质,可以巧妙地求出一些三角形的面积.一、直接运用,紧扣性质例1如图2,在△ABC中,已知点D、E、F分别是BC、AD、CE的中点,且△ABC面积为4cm2,求阴影部分的面积.     

数学问题解答

1989年5月号问题解答(解答由问题提供人给出) 591.设O为△ABC的外心,射线AO、BO、CO分别与△ABC外接圆交手A′,B′、C′.求证:S_(△ABC)=S_(△A′BC) S_(△AB′C) S_(△ABC′)。     

动中求静

例如下图,在Rt△ABC内有一系列的正方形,其面积分别为S_1,S_2,…,S_n,…,已知AC=a,且知所有正方形面积之和S等于Rt△ABC面积的一半,求BC的边长及∠A。分析由图形知,Rt△ABC内的一系列正方形是变化着的,即面积S_1,S_2,…,S_n,…,在逐渐减小,但仔细研究,不难发现,这些正方形上方的直角三角形均相似,即与∠A对应的各三角形的正切函数相同,可猜想S_1,S_2,…,S_n,…是一个无穷递缩等比数列,设S_1,S_2,…,S_n,…各正方形的边长为a_1,a_2,…,a_n,…,公此为q,则应有关系式:S=a_1~2     

由等积变换引发的作图问题

在平面几何的面积问题中 ,经常使用下面两个结论 :定理 1　同底等高 (或同高等底 )的三角形面积相等 .定理 2　梯形对角线分梯形的四个三角形中 ,两腰所在的三角形面积相等 .由这两个简单结论可得到下面一系列作图问题 .问题 1　已知一个凸四边形 ,求作一个三角形 ,使其与已知四边形的面积相等 .图 1作法如下 :如图 1 ,在四边形 ABCD中 ,任取一顶点 ,如 A,联结对角线AC,过 D点作 AC的平行线交 BC的延长线于 E,则由定理 1知 ,S△ ABE =S△ ABC S△ ACE=S△ ABC S△ ACD=SABCD其中 S*表示图形 *的面积 .图 2联想到我们非常熟…     

一道全国高中数学竞赛题的初中解法

<正>近日阅读探究了 2021年全国高中数学联合竞赛一试(A卷)试题,发现填空题第5题可用初中平面几何知识和方法解答,在此与广大师生分享.1试题呈现和分析题目在△ABC 中,AB=1,AC=2,BC=120°,则△ABC的面积为______.分析 (1)参考答案中应用了正弦定理、两角和与差的三角函数、二倍角公式和三角形面积公式 S_(△ABC)=1/2AB·AC sin A,对三角知识和方法的考查比较全面深入,体现了试题的综合性.     

对一道几何题的讨论

有这样一道几何题“如图1,△ABC中,高AD、CG交于F,E为BC的中点。设AD=BC=2a求证EF+DF=c”。这是一个古老的命题。其实,只当△ABC为锐角三角形时为真,其证明可采用几何法或坐标法(证明略)。当△ABC为钝角三角形时我们有下面的结论: 在钝角三角形ABC中,高AD、GC的延长线交于点F,E为BC的中点,若AD=BC=2a,则EF-DF=a,如图2所示。证明:建立如图2所示坐标系,设点F的坐标为(x,y),则点A、B、c的坐标分别为     

三角形鞋带定理的证明、改进及应用

<正>1问题的提出在平面直角坐标系内,若△ABC顶点的坐标分别为A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3),则△ABC的面积是多少?同学们通常采用的方法有以下几种:(1)充分利用坐标的特点,通过割补法求三角形的面积;(2)先计算线段AB的长度和点C到直线AB的距离d,从而S_(△ABC)=1/2·|AB|·d;     

几何中的“变形金刚”——等积变形

<正>变形金刚在汽车与机器人之间自如的变形赢得不少的惊叹.而在图形的世界里,三角形也可以灵活的变形.作为变形的媒介,平行线也重回我们的视线.如图1,由m∥n,可得S_(△ABC)=S_(△ABC1)=S_(△ABC2)(同底等高).可见,点C在直线m上任意移动,都可以保证三角形面积不变.看来三角形的这种变形可以是无穷多种,想怎么变就怎么变,所以,三角形的等积变形堪称是几何中的"变形金刚".本文就和大家一起见识一下"变形金刚"在各个领域如何施展拳脚.     

教材多次渗透的好方法——面积法

学习数学掌握解题方法很重要,解题方法对头则事半功倍,面积法就是一种常用的解题方法,教材中多次渗透,下面让我们走进教材去看一看.图1例1(人教版七年级数学下册第76页第7题)如图1,△ABC中,AB=2cm,BC=4cm.△ABC的高AD与CE的比是多少?(提示:利用三角形的面积公式.)分析根据提示S△ABC=12AD.BC=12CE.AB,又AB=2cm,BC=4cm.所以21AD×4=21CE×2,变形得AD∶CE=1∶2.提示的目的就是让我们使用面积法解题,也让学生初步接触面积法.例2(人教版八年级数学下册第78页第8题)在△ABC中∠C=90°,AC=2.1cm,BC=2.8cm.(1)求△ABC的面积;(2)求斜边AB;(3)求高CD.分析(1)S△ABC=21AC.BC=21×2.1×2.8=2.94(cm2).(2)根据勾股定理易求得AB=3.5cm.(3)根据面积得S△ABC=12AB.CD=12×3.5×CD=2.94,解得CD=1.68(cm).这里虽然没有提示,然而通过问题在一步一步地引导着我们使用面积法求斜边上的高.而若不用面积法求CD,此题的难度就太大了.图2例3(人教版八年级数学下册...     

对《三角形内切圆的一个性质》证明的探讨

文[1]提出了三角形内切圆的一个性质:⊙O是△ABC的内切圆,与三边分别相切于E,F,D三点,则△ABC是直角三角形 S△ABC=AD·BD.图1经仔细研读,发现上述性质是正确的,但文[1]中存在两处错误.1、在证明性质之前,作者为了叙述方便,设BC=a,AC=b,AB=c,由切线长定理,设AD=AF=x,BD=BE=y,OE=OF=CE=CF=r.事实上,只有在明确了△ABC是直角三角形时才有OE=OF=CE=CF=r.在由“S△ABC=AD·BD”证明“△ABC是直角三角形”时不能事先假设OE=OF=CE=CF=r.而应当设OE=OF=r,CE=CF=z.2、在由“S△ABC=AD.BD”证明“△ABC是直角三角形”时,作者由S△ABC=AD.BD得出12(x+r)(y+r)=xy图2再次事先假定了△ABC是直角三角形.事实上,只要设BC=a,AC=b,AB=c,由切线长定理,设AD=AF=x,BD=BE=y,OE=OF=r,CE=CF=z.由S△ABC=AD.BD和海伦公式有(x+y+z)xyz=xy即(x+y+z)z=xy=S△ABC但S△ABC=21(a+b+c)r=(x+y+z)r,∴r=z.易...     

四边形中的趣味竞赛题(下)

<正>例9在任意给定的凸四边形ABCD中,边AB,BC,CD,DA的中点分别为E,F,G和H.求证:四边形ABCD的面积≤EG×HF≤1/2(AB+CD)×1/2(AD+BC).证明如图11所示,HE∥DB∥GF,又EF∥HG,所以EFGH为平行四边形.S_(ABCD)=S_(EFGH)+S_(△AEH)+S_(△DGH)+S_(△CGF)+S_(△BEF),而S_(△AEH)+S_(△CGF)=1/4(S_(△ABD0)+S_(△CBD))=1/4S_(ABCD).同理可证S_(△DGH)+S_(△BEF)=1/4S_(ABCD),所以S_(ABCD)=S_(EFGH)+1/2S_(ABCD),     

浅谈三角形的“重心”

一、三角形重心的性质: 1、三角形重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍。(部编教材第二册P35页) 2、△ABC的重心G到BC边的中点M的距离GM等于中线AM之长的1/3,从而G到BC的距离GP等于高AD之长的1/3。 3、若G为△ABC的重心,则以G为公共顶点的三个三角形GBC,GCA。GAB的面积相等。各为△ABC的面积的1/3。二、三角形重心的应用:     

等积变形与面积证题(三)

<正>一般说来,若Δ=Δ_1+Δ_2+…+Δ_n称为一个面积方程.如例1中,就是从面积方程S(△ABC)=S(△APB)+S(△BPC)+S(△CPA)入手的.1.若S(△ABC)=S(△A_1B_1C_1),这样1/2AB·h_c=1/2A_1B_1h_(c1).当AB=A_1B_1,则有h_c=h_(c1);当h_c=h_(c1),则有AB=A_1B_1.利用上述关系可以证明线段的相等.     

垂距余弦公式的改进、简证和应用

文[1]给出一个关于三角形垂距的余弦公式:设H是△ABC的垂心,R是△ABC的外接圆半径,则 (AH)/(|cosA|)=(BH)/(|cosB|)=(CH)/(|cosC|)=2R ① 这是一个漂亮的公式,它与正弦定理 (BC)/(sinA)=(AC)/(sinB)=(AB)/(sinC)=2R ② 具有类似的结构.我们不妨把公式①称为"关于三角形垂心的余弦定理"或"垂距余弦公式".