I.Schur问题的推广及证明

本文推广了Ⅰ.Schur 关于数列的三个结果,证明了函数 f(x)=(1+1/x)~(x+p_1)(x>0),g(x)=(1+1/x)~x(1+(p_2)/x)(x>0)与 h(x)=(1+p_3/x)~(x+1)(x>max{0,-P_3})单调下降充要条件,分别为 p_1≥1/2,p_2≥1/2与0相似文献   

加强命题用导数解决数列不等式

<正>例1已知f(n)=n⁽ⁿ⁺¹⁾,g(x)=(n+1)(n+1),g(x)=(n+1)ⁿ,n∈N*.求证:当n≥3,n∈N*时,f(n)>g(x).本题用数学归纳法可以证明.但是用加强命题,再利用导数方法解决则是另外一种风味.证明对于上述命题,我们可以先加强命题x≥3,x∈R时,有xn,n∈N*.求证:当n≥3,n∈N*时,f(n)>g(x).本题用数学归纳法可以证明.但是用加强命题,再利用导数方法解决则是另外一种风味.证明对于上述命题,我们可以先加强命题x≥3,x∈R时,有x^(x+1)>(x+1)(x+1)>(x+1)^x.即(x+1)lnx>xln(x+1),因为x≥3,lnx>0,ln(x+1)>0,     

三次函数图像对称性的证明

<正>我们已经知道二次函数f(x)=ax²+bx+c(a≠0)的图像关于直线x=-(b/2a)对称,那么三次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图像关于直线x=-(b/2a)对称,那么三次函数f(x)=ax³+bx3+bx²+cx+d(a≠0)有没有对称性呢?这类函数图像有对称中心,其对称中心为(-b/3a,f(-b/3a).下面我从多角度证明.证法1配方法f(x)=ax2+cx+d(a≠0)有没有对称性呢?这类函数图像有对称中心,其对称中心为(-b/3a,f(-b/3a).下面我从多角度证明.证法1配方法f(x)=ax³+bx3+bx²+cx+d     

新题征展(36)

A　题组新编1 . ( 1 )函数 y =π - x2 -x2 -π(　　 ) ;( 2 )设 e为自然对数的底 ,则函数y = eπ - x2| 4- x| - 4(　　 ) ;( 3)函数 y =12 sin(πx) .( 1ax - 1 12 ) 3 3(　　 ) ;( 4 ) f ( x)不是常函数 ,且 f( x)满足f ( 8 x) =f( 8- x) ,f ( x 2 ) =f( x - 2 ) ,则 f ( x) (　　 ) .( A)是奇函数 ,不是偶函数( B)是偶函数 ,不是奇函数( C)是奇函数 ,也是偶函数( D)既不是奇函数 ,也不是偶函数2 .( 1 ) f( x)为奇函数是 f ( 0 ) =0的(　　 ) ;( 2 ) sinθ <0是θ在第三或第四象限的(　　 ) ;( 3) p为假或 q为假是 p为真且 q为真…     

新题征展(72)

A题组新编1.下列条件对于函数f(x)定义域中的每一个x都成立,其中(a≠0,k≠0,a,b,k∈R):(1)条件1f(x)-f(-x)=0;条件2f(a x)=f(a-x);条件3f(kx b)=f(-kx-b);条件4f(x)=(x-a)0.其中判断函数f(x)是偶函数的条件是.(2)条件1f(a x)=f(a-x);2f(x)=f(2a-x);3f(3a-x)=f(x-a);4f(x)=(x-a)     

从一道高考题探析函数的“三性“

众所周知,函数奇偶性、周期性及图象的对称性在函数中占有极其重要的地位,历来为命题者所钟爱,那么这“三性”到底有哪些联系呢?本文先从一道高考谈起.题目(05年广东高考第19题)设函数f(x)在R上满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在闭区间[0,7]上,只有f(1)=f(3)=0.(Ⅰ)试判断函数y=f(x)的奇偶性;(Ⅱ)略.解(Ⅰ)由f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),得f(x)的图象有对称轴为x=2或x=7,∴f(x)=f(4-x)=f(x-4+14)=f(x+10),∴T=10是f(x)是一个周期.又f(3)=f(1)=0,f(-3)=f(-3+10)=f(7)≠0,所以f(-3)≠±f(3),故函数y=f(x)是非奇非偶函数.此解答用到了f(x…     

有理分式函数的探究

<正>由两个多项式函数的比形成的函数f(x)=P(x)/Q(x)=(a_0+a_1x+a_2x²+…+a_px2+…+a_px^p)/(b_0+b_1x+b_2xp)/(b_0+b_1x+b_2x²+…+b_qx2+…+b_qx^q)称为有理分式函数(Rational fractional Functions).其图像和性质在现行新的高中教材中未作专门介绍,而它的图像综合了平移变换和伸缩变换,有时还涉及到对称变换,所以一直被高考命题者看好.教师在处理有理分式函数时没有     

选择函数图象的技巧

<正>从所给四个图象中选出符合已知函数的项,是高考试题中频频出现的一类问题.下面通过实例,列举解答过程需关注的点,供参考.例1 (2018全国卷Ⅱ(理)第3题)函数f(x)=(e^x-ex-e^(-x))/x(-x))/x²的图象大致为().解析∵f(x)=y_1/y_2为奇函数,排除(A).又x>0时,f(x)>0,排除(D).     

三次函数零点个数问题的分类讨论标准

<正>形如f(x)=ax³+bx3+bx²+cx+d(a≠0)的函数称为三次函数.高中阶段需掌握三次函数性质如下:性质1 f(x)恒过定点(0,d).性质2若a>0,当x→+∞时,f(x)=+∞;当x→-∞时,f(x)=-∞.若a<0,当x→+∞时,f(x)=-∞;当x→-∞时,f(x)=+∞.说明:性质1虽然显而易见,却往往是学生画图时经常忽略的前提条件.性质2则是三次函数的无穷大性质,要求图像始终穿过x轴     

奇偶函数对称性应用举隅

<正>奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y轴对称,该性质大家并不陌生,如能借鉴奇偶函数的这两种对称性,或能为解题另辟蹊径.例1已知函数f(x)=log_2(2x+1)/(4x-3)的图像是一个中心对称图形,则其对称中心为.解析设函数f(x)=log_2(2x+1)/(4x-3)图像的对称中心为(a,b),则g(x)=f(x+a)-b=log_2     

孰对孰错--对一道联考题的质疑

20 0 3年 3月 10日举行的“2 0 0 3年湖北省八市高三联考 (数学 .理科卷 )”选择题第 10题如下 :已知偶函数 f (x)满足 f(x +1) =- f(x) ,且当 x∈ (0 ,1)时 ,f(x) =x +1,则f(x)在 (1,2 )上的解析式是 (　　 ) .(A) f (x) =1- x　 (B) f(x) =3- x(C) f(x) =x - 3(D) f(x) =- x - 1标准答案为 (B) .本题是考查函数的奇偶性与周期性很好的题目 .但我所带的两个班中 ,选 (B)的只有4 4 ,选 (C)的有 39 ,选 (D)的有 8 ,选(A)的有 9 .图 1可以归纳为以下几种解法 :(1)数形结合 :由 f(x +1) =- f(x)得f(x +2 ) =- f(x +1)= f(x)得函数 …     

函数的奇偶性

<正>1.函数奇偶性定义解读函数的奇偶性是函数在整个定义域上的性质,在函数定义域内的真子集上讨论函数的奇偶性是没有意义的.若对定义域内的任意一个x,都有f(x)=f(-x)或f(x)=-f(-x),则称f(x)为偶函数或奇函数.显然,函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶     

含参二次绝对值函数题的解法探究

<正>一、试题呈现已知函数f(x)=x²+ax+b(a,b∈R).记函数g(x)=|f(x)|在区间[0,4]上的最大值为M(a,b).求证:当-8≤a≤0时,有M(a,b)≥1/8a2+ax+b(a,b∈R).记函数g(x)=|f(x)|在区间[0,4]上的最大值为M(a,b).求证:当-8≤a≤0时,有M(a,b)≥1/8a².二、解题探究解法一(1)当a=0时,f(x)=x2.二、解题探究解法一(1)当a=0时,f(x)=x²+b在区间[0,4]上为增函数,则M(a,b)=max{|f(0)|,|f(4)|}     

数学解题应遵循“多想少算”原则

1问题的提出在辅导一名高三学生时,遇到了这样一个数学问题:函数f(x)=1+3x²/|x|√1+x²(x≠0)的最小值为__.     

分段函数问题综述

所谓分段函数 ,现行高一数学教材是这样描述的 :有些函数在它的定义域中 ,对于自变量x的不同取值范围 ,对应法则不同 ,这样的函数通常称为分段函数 .对于分段函数 ,不论它分多少段 ,它总是一个函数 ,而不是几个函数 .分段函数的定义域是各段解析式中自变量取值集合的并集 ,值域是各段解析式函数值集合的并集 .本文结合实例对分段函数的常见问题及解法作一归纳 .1　求分段函数解析式例 1　已知偶函数 y =f(x) ,当x≥ 0时 f(x) =-x2 +2x ,求R上 f(x)的解析式 .解　设x <0 ,则 -x >0 .因为当x≥ 0时 ,f(x) =-x2 +2x ,所以 f(-x) =-x2- 2x .又…     

函数f(x)=[1+1/x]x的两个基本性质及应用

近年来,与函数f(x)=(1+1/x)x有关的试题在高考中时有出现,由于目前中学数学教材中,对函数f(x)=(1+1/x)x的性质介绍甚少,因此,学生们在求解这类问题时,常常束手无策、颇感为难.本文给出函数f(x)=(1+1/x)x在(0,+∞)上的两个基本性质及应用,供大家参考.     

解抽象函数问题的一些技巧

2001年高考数学(理科)第22题如下: 定义在R上的偶函数f(x)的图象关于x=1对称,且f(1)=a>0,若对任意x1,x2∈[0,1/2]都有f(x1十x2)=f(x1)·f(x2).(1)求f(1/2)及f(1/4);(2)证明:f(x)是周期函数;(3)即an=f(2n-1/2n),求limn→∞(lian). 本题主要考察函数的概念、图象,函数的奇偶性和周期性及数列的极限等基础知识;考察运算能力和逻辑思维能力. 有关函数f(x)的问题源于教材的例、习题,但为数不多,虽能引起学生的注意,却很难形成解题技巧.为此本文通过几个例子阐述处理f(x)问题的常见方法.     

导数问题中证明函数不等式的常用策略

<正>导数问题中证明函数不等式,关键是构造好相应的辅助函数,利用导数研究其单调性、最值.基于此,如何构造出合理可行的辅助函数是解决这类问题的突破口,本文将通过实例谈谈构造的常用策略.策略一:移项构造例1已知函数f(x)=e^x-axx-ax²+1,g(x)=(e-2)x+2,且曲线y=f(x)在x=1处的切线方程为y=bx+2.     

构造函数法证明不等式

<正>构造函数法就是根据所证不等式的特征,构造适当的函数,然后利用一元二次函数的判别式、函数的奇偶性、单调性、有界性等性质来证明不等式,这种方法,统称为构造函数法.例1设a,b,c∈R,求证:a²+ac+c2+ac+c²+3b(a+b+c)≥0,并指出等号何时成立.证明左边整理成关于a的二次式f(a)=a2+3b(a+b+c)≥0,并指出等号何时成立.证明左边整理成关于a的二次式f(a)=a²+(c+3b)a+c2+(c+3b)a+c²+3b2+3b²+3bc.∵Δ=(c+3b)2+3bc.∵Δ=(c+3b)²-4(c2-4(c²+3b2+3b²+3bc)=     

函数f(x)=的两个基本性质及应用

近年来,与函数f(x)=(1+1/x)x有关的试题在高考中时有出现,由于目前中学数学教材中,对函数f(x)=(1+1/x)x的性质介绍甚少,因此,学生们在求解这类问题时,常常束手无策、颇感为难.本文给出函数f(x)=(1+1/x)x在(0,+∞)上的两个基本性质及应用,供大家参考.……