数学归纳法与匹亚诺公理

数学归纳法推理是典型的三段论，而不是完全归纳法，其基础是自然数列的性质，而不是逻辑公理，皮亚诺公理中的归纳法公理并不是一种证明方法，而是自然数集的一条不可缺少的根据性质。     

构造自然数算术系统的一种新方法

用公理化方法来定义非空集上的二元关系〈，使得〈与该集合构成全序集，在全序集中给出最小元素原理的定义，再构造一个含有最小元素原理的适当公理系统来重新给出自然数的公理化定义，然后从构造的自然数公理系统中严格推导出一些基本命题，最后根据这些基本命题来完成对自然数算术系统的精确刻画，从而得到一种具体构造自然算术系统的新方法。     

数学归纳法的理论依据

我们在中学教数学归纳法时,经常碰到一些勤于思考的学生提出:“数学归纳法的理论依据是什么?”这个问题在“高等代数”中早有论述,为着爱护同学们的探索精神和求知欲望,我们以课外活动形式,作出简要的回答。一、自然数集的基本性质与皮亚诺公理。 1962年华罗庚教授在一次讲话中说:“简单朴素的数的性质,成为数学概念和方法的一个重要源泉。”数学归纳法是用来证明某些与自然数n有关的数学命题P(n)的重要方法,它的理论依据就必定与自然数的基本性质有关。 1889年意大利数学家皮亚诺创立了五条自然数系公理,揭示出自然数集Ⅳ的基本性质。 (1)1∈N。 (2)若a∈N,则有且仅有一个自然数紧跟在a后面,记为a+1。 (3)若a∈N,则A+1≠1。 (4)设x∈N,y∈N,当x+1=y+1时,x=y。     

超实数系统及其一致连续问题

基于模型论的观点与方法介绍超实数系统的构造及其公理体系,以说明非标准分析.由于超实数系统是普通实数系统的一个真扩张,所以,实数系统中的一致连续问题可推广至超实数系统.     

哥德巴赫猜想能用初等方法证明吗

近年来,有时见到报刊上登一些错误的结论或证明,说某某人用初等方法证明了哥德巴赫(C.Goldbach)猜想.笔者猜测,可能还有些尚未完成证明的业余数学爱好者在做这种努力.本文想谈一谈:若是限定在皮亚诺(G.Peano)公理组的基础上,能否证明哥德巴赫猜想.1真假皮亚诺公理组我们用PA简记下列的皮亚诺公理组:(1)对一切x:x 1≠0.(2)对一切x,y:若x 1=y 1,则x=y.(3)对一切x:x 0=x,并且x·0=0.(4)对一切x,y:x (y 1)=(x y) 1,并且x·(y 1)=(x·y) x.(5)数学归纳法则(从0开始的).我们再用PA′简记下列的公理组:(2)至(5)与PA者相同.(1′)0 1≠0,1 1≠0,2…     

模糊集合论的ZB系统

本文讨论模糊集合论ZB系统的一些基本性质。在ZB系统中定义模糊自然数,建立模糊实数。并给出模糊实函数连续性的定义,使得模糊数学能更多地使用传统数学的工具。     

关于复数域、实数域和比大小——介绍一本教科书中有关的叙述

[1]讨论了复数集内实数能否比大小的问题,引起很多读者的兴趣,教科书[2]中对这问题有相关的叙述.[2]是60年代出版的一本教科书,据知80年代还在使用,作者是数论方面有研究的数学家.它是一本微积分的基础教科书,没有介绍域、偏序和全序等一般的概念.书的引论一章对实数系建立了三组公理(这里第三组从略).第一组是域公理,即实数加法和乘法的交换律、结合律、分配律、单位元(0和1)的存在性及相反数和倒数的存在性,共6个公理,由此得到运算的性质.第二组公理是次序公理,对“正”的性质建立三个公理.设存在正数集R R,满足公理7:若x,y属于R ,则x y…     

自然数幂和公式的另一种计算机实现方法

自然数幂和问题,许多文献给出不同算法,借助M ATLAB系统,利用自然数幂和的矩阵算法,给出可计算所有小于任意指定自然数m的自然数幂和公式的计算机实现方法.     

数学与数学教育(二)

三何必要继续用这样一种不精密的阐述作为教材 ?质疑二 :数学已有了极其伟大的发展 ,为什么不教新的数学概念却拘泥于沿用了两千年的老材料 ?对质疑一的回答是 :开始学习平面几何的学生是一些十来岁的孩子 .如果把教材弄成像希尔伯特《几何基础》一书那么严谨 ,恐怕无论如何也不能为这些孩子们所接受 .开始时容忍一些含混和不够严谨之处 ,正是为了让孩子们在更加成熟以后能够学会严谨而不含混的数学 ,须知人们在懂得数学系的严谨公理之前早就学会了数数 (ｓｈ摮ｓｈ敶) .试想 ,如果在幼儿学习数数之前 ,先要让他学习严谨的皮亚诺自然数公理 …     

经典公理集合论系统与中介公理集合论系统之间的包含关系

本文首先在中介公理集合论系统ＭＳ中构造出Ｐｅａｎｏ自然数系统，以此为基础重新定义了ＭＳ中的良集概念，证明了新定义的良集满足经典公理集合论系统ＺＦＣ^－（ＺＦＣ中去掉正则公理的集合论系统）的全部公理，从而说明经典公理集合论系统ＺＦＣ^－为中介公理集合论系统ＭＳ的子系统．     

归纳公理与数学归纳法探究

数学归纳法是一种重要的证明方法.许多文献通过证法分析探寻数学归纳法的逻辑基础、证明方法等[1]-[5].本文试图从归纳公理出发,分析归纳公理在皮亚诺公理体系中的地位以及与数学归纳法之间的关系,由此进一步探讨数学归纳法的本质.     

实数系完备性基本定理的等价性

给出实数系完备性基本定理的等价性的一种证明方法.     

用连续归纳法证明实数系中的定理

引入实数的连续归纳法,并利用实数连续归纳法证明了实数系中的C auchy收敛准则;给出并证明了实数连续归纳法的另一种形式,利用新形式的连续归纳法证明单调有界定理.     

图灵机计算实数函数的稳定性

定义在全体实数上的可计算函数是一个很重要的概念．在这以前定义可计算的实数函数有两个途径．第一个途径是首先要定义可计算实数的指标．想要确定实数函数y=f（x）是不是可以计算就要看是否存在一个自然数的（部分）递归函数将可计算实数x的指标对应到可计算实数y的指标．这样一来对实数函数的研究依赖于对自然数函数的研究．第二个定义可计算的实数函数的途径是以逼近为基础的．一个实数函数是可以计算的如果它既是序列可计算的同时也是一致连续的．用这个途径来定义可计算实数函数使用的条件过强以至于很多有用的实数函数成为不可计算的实数函数．例如“〈”和“=”的命题函数就是不可以计算的因为它们是不连续的命题函数．本文讨论了图灵机的稳定性并且给出了一个基于稳定图灵机的可计算实数函数的定义．我们的定义不需要用到自然数的（部分）递归函数．根据我们的定义很多常用实数函数特别是一些不连续的常用实数函数都是可以计算的．用我们的定义来讨论可计算实数函数的性质比原来的定义要方便得多．     

先于极限的微积分中引入连续性

在"先于极限的微积分"基础上,引入实数公理和函数连续性概念.     

也谈把"0"作为一个自然数

《数学通报》2 0 0 1年第 1期王尚志老师“为什么要把‘0’作为一个自然数”一文用浅显明白的语言阐述了把“0”作为自然数的“解释” ,但我们感觉 :若不用公理集合论的语言说明 ,似乎意犹未尽 ,下面谈谈我们对此问题的看法 .在公理集合论中 ,我们有如下公理 :Ⅰ外延公理 : ｘ ｙ( ｚ(ｚ∈ｘ ｚ∈ｙ) →ｘ=ｙ)即集合是由它的元素所唯一决定的 .Ⅱ空集存在公理 : ｙ ｘ(┐ (ｘ∈ｙ) )即存在一个集合 ,它没有元素 .据外延公理 ,这个集合是唯一的 ,我们将它记作 .Ⅲ二元集公理 : ｕ ｖ ｚ ｘ(ｘ∈ｚ ((ｘ=ｕ)∨ (ｘ=ｖ) )即对任意两集合ｕ和…     

周期函数最小正周期的一个判别法

非常值的连续周期函数必有最小正周期。但判断某数是已知周期函数的最小正周期,没有一般性方法,并且有时还不太容易。本文给出解决此问题的一个定理。 引理:对任意大于1的自然数k及实数a,下列二式恒成立     

复数引入的教学设计思路

在复数的第一节课教学中,一般的做法是:简单地介绍一下自然数、有理数、实数的知识,然后提出负数需开方的问题,进而引入复数概念.课上的时间大都花在复数的一般形式介绍,以及虚数、实数的判断上.其实,这种教学设计会失去一次向学生介绍数的产生发展过程的机会.因此,笔者在教学中,把实数发展过程作为重点,通过实数的回顾、整理,完善学生的实数知识.下面是我在复数引入课中的教学过程设计.一、回顾实数今天我们来了解数的产生和发展.数是数学的基础.我们从小学开始,学了不少的数的知识.那么,同学们对数有何了解呢?比如:自然数的历史是怎样的?…     

实数系基本定理等价性的完全互证

综合给出了实数系六个基本定理的等价性的完全互证方法,并归纳了各种证明方法的规律,旨在把抽象的证明转化为容易掌握的基本方法.     

公理信息论

本文阐述了公理信息论的产生 ,并且给出公理信息论的公理系统