圆锥曲线的又一性质

有众多文献给出了圆锥曲线(即椭圆、双曲线、抛物线的统称)的美妙性质,本文再给出一条.定理　自圆锥曲线的准线与对称轴的交点引这条圆锥曲线的切线,则切线斜率的平方等于这条圆锥曲线离心率的平方.证　1)当圆锥曲线是椭圆时,不妨设椭圆的方程是x2a2 + y2b2 =1(a >b >0 ) ,只考虑点A(- a2c,0 )(其中a2 =b2 +c2 ,c >0 )处的切线.可设切线的方程为y =k(x + a2c) ,将其代入x2a2 + y2b2 =1,得(b2 +a2 k2 )x2 + 2a4k2c x + a6k2c2 -a2 b2 =0 .令Δ=2a4k2c2 - 4(b2 +a2 k2 )·a6k2c2 -a2 b2 =0 ,可得k2 =ca2 ,即k2 =e2 .2 )当圆锥曲线是双曲线时,…     

在限定条件下椭圆及抛物线内接梯形存在性的探究

众所周知一条圆锥曲线可将平面划分为两部分,其中含焦点的平面区域可约定为圆锥曲线的内部,不含焦点的平面区域为圆锥曲线的外部.为便于研究,我们约定:若点M(x0,y0)满足x20/a2+y20/b2<1(>1),则称点M是在椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)的内(外)部;若点M(x0,y0)满足     

高观点下圆锥曲线一组性质的统一

文[1]得到与圆锥曲线极点和极线有关的一个"等角定理".命题1若E(t,0)(t≠0)为椭圆(或双曲线)内一点,直线AB(非x轴)过点P(a2/t,0)且与椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)(或双曲线x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0))交于不同的两点A,B,则直线EA,EB与x轴所成的角(锐角)相等.     

圆锥曲线的一条美妙性质

圆锥曲线有很多美妙性质 ,本文给出一条新的性质 .定理　设圆锥曲线的一条准线与对称轴的交点为 A,其相应的通径的一个端点为 B,则直线 AB一定与该圆锥曲线相切 ,证明　 ( 1 )当圆锥曲线是椭圆时 ,不妨设椭圆方程是　 x2a2 + y2b2 =1 ( a >b>0 ) ,只考虑 A( - a2c,0 ) ,B( - c,b2a) ,则直线 AB的方程为 y =ca( x + a2c) ,将其代入椭圆方程得( b2 + c2 ) x2 + 2 a2 cx + a4- a2 b2 =0 ,其判别式Δ =0 ,故直线与椭圆相切 .( 2 )当圆锥曲线是双曲线时 ,同上可证 .( 3)当圆锥曲线是抛物线时 ,设抛物线方程得 y2 =2 px( p >0 )考虑点 A( - p2…     

共焦点的圆锥曲线的切线性质

共焦点的圆锥曲线有如下几个重要性质. 　　定理1 设椭圆x2/a12+y2/b12=1(a1>b1>0)和双曲线x2/a22-y2/b22=2(a2>0,b2>0)共焦点E(-c,0),F(c,0)(c>0),P是两曲线的一个交点,经过P点的椭圆和双曲线的切线的斜率分别为k1,k2,则k1k2=-1.……     

圆锥曲线的几个有趣轨迹

本文介绍圆锥曲线的几个有趣轨迹,供同学们学习参考．轨迹1 设A,B是椭圆x2/a2 y2/b2=1(a>b >0)的左、右顶点,垂直于x轴的直线与椭圆相交于P,Q两点,则AP与BQ交点的轨迹是 x2/a2-y2/b2=1(y≠0)．     

第1628号数学问题的推广与探究

最近笔者在研究圆锥曲线时,发现文[1]给出了第1628号数学问题为:直线l:x/m+y/n=1与椭圆x2/a2+y2/b2=1(a,b＞0,a≠b)交于P、Q两点,O为椭圆的中心.求证:∠POQ=π/2的充要条件是1/m2+1/n2=1/a2+1/b2.文[2]经过探究得到性质(文[2]中的性质6):设P、Q为椭圆x2/a2+y2/b2=1(a,b＞0,a≠b)上的两点,O为坐标原点,OP⊥OQ,则1/|OP|2+1/|OQ2|=1/a2+1/b2.     

利用直线生成圆锥曲线解题

在解析几何里 ,二元二次方程a1 1 x2 + 2a1 2 xy+a2 2 y2 + 2a1 x+ 2a2 y+a0 =0 (a1 1 ,a1 2 ,a2 2 不全为零 )表示一般的圆锥曲线 ,它的性质由系数的比值a1 1 ∶a1 2 ∶a2 2 ∶a1 ∶a2 ∶a0 来确定 .因此 ,当给定五个独立的条件时 ,可采用解线性方程组的方法求出系数的比值 ,从而圆锥曲线被唯一确定 .为了避免求解复杂的线性方程组 ,可利用直线之间的某种组合关系来生成圆锥曲线 ,从而 ,使某些复杂且颇具难度的几何题得到简捷的解决 .1　由直线生成圆锥曲线族 (系 )设l1 ≡a1 x+b1 y+c1 =0 ,l2 ≡a2 x+b2 y+c2 =0 ,l3≡a3x+b3y+c3=0 ,l4≡a…     

读"圆锥曲线的一个优美性质"想到的

文[1]:“圆锥曲线的一个优美性质”,其结论如下:定理1设椭圆E:x2a2 y2b2=1(a>b>0)过定点M(m,n)(m2 n2≠0,m2a2 n2b2≠1)的两直线分别交E于A、B、C、D,则直线AC、BD的交点N在直线l:mxa2 nyb2=1上.定理2设双曲线E:x22a-y2b2=1(a>0,b>0)过定点M(m,n)(m2 n2≠0,m2a2-2nb2≠1)的两直     

圆锥曲线的一个性质

笔者在圆锥曲线性质的探索过程中发现一个性质,现呈现如下结论1 如图1,过双曲线C:x2/a2-y2/b2=1(a＞0,b＞0)的右准线x=a2/c与x轴的交点P作双曲线C的割线交于A,B两点,如双曲线离心率为e,焦准距为p,右焦点为F,∠AFB =θ,直线AB的斜率为k(k＞0),则k=ecosθ/2.     

伴随圆锥曲线的一个统一性质

按照文[1]的定义,我们把双曲线x2/a2-y2/b2=1(a＞0,b＞0)称为椭圆x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0)的伴随双曲线,同样地,把x2/a2+y2/b2=1(α＞b＞0)称为双曲线x2/a2+y2/b2=1(a＞0,b＞0)的伴随椭圆.通过研究笔者发现了它们一个有趣的统一性质.     

谈向量方法在有关直线问题中的应用

平面向量引入中学数学 ,丰富了中学数学的内容 ,也为解决数学问题提供了一种全新的方法向量法 .以下笔者通过对联赛题及高考题中相关问题的分析 ,介绍向量法在直线方程及直线与圆锥曲线综合问题中的应用 .1　有关知识1.向量a(x1,y1) ,b(x2 ,y2 )共线的充要条件是　x1y2 -x2 y1=0 .2 .向量a(x1,y1) ,b(x2 ,y2 )垂直的充要条件是　x1x2 +y1y2 =0 .3.直线l经过点P0 (x0 ,y0 ) ,v(a ,b)为其方向向量 ,则直线的点向式方程为 x -x0a =y -y0b .4 .直线l经过点P0 (x0 ,y0 ) ,n(a ,b)为其法向量 ,则直线的点法式方程为a(x -x0 ) +b(y - y0 ) =0 .2　…     

关于椭圆x2/a2+y2/b2=1的一组优美结论

椭圆x2/a2+y2/b2=1(x,y,a,b∈R,且a≠0,b≠0,｜a｜≠｜b｜),有许多简捷、优美的结论,且有着广泛的用途.结论1 若x2/a2+y2/b2=1(x,y,a,b∈R,且a≠0,b≠0,｜a｜≠｜b｜),则(1)a2+b2≥(x+y)2(当且仅当b2x-a2y=0时等号成立);     

圆锥曲线的焦切距

笔者通过对圆锥曲线的研究,得到了焦切距的一些结论.定义 圆锥曲线的焦点到切线的距离,称为圆锥曲线的焦切距.定理1 如图1,设椭圆K:x2/a2+y2/b2=1(a＞b＞0),焦点是F1(-c,0)、F2(c,0),P是K上一点,K在点P的切线为l,K的焦切距d1、d2分别为F1、F2到l的距离.     

圆锥曲线的一个有趣性质及若干推论

圆锥曲线是一类美丽、实用的曲线 ,它有许多内涵丰富、引人入胜的性质 ,本文将笔者在研究圆锥曲线中所得的一点成果 (圆锥曲线的一个有趣性质 )奉献出来与读者共赏 .1　几个结论以下分椭圆、双曲线、抛物线三种情形 ,介绍几个结论 .定理 1　给定椭圆x2a2 + y2b2 =1 (a >b>0 ) ,M(m ,0 ) (m≠ 0 ,m≠±a)是x轴上的一定点 ,直线l:x=a2m,过M任意引一条直线与椭圆交于A ,B两点 ,A ,B在l上的射影分别为A′,B′,在x轴上的射影分别为A″,B″,则｜AA′｜｜AA″｜ =｜BB′｜｜BB″｜.图 1定理 2　给定双曲线 x2a2 - y2b2 =1 (a >0 ,b>0 ) ,其…     

例说蜕化圆锥曲线的应用

一般地,二元二次方程F(x,y)=0(*)表示圆锥曲线.如果方程(*)能化成:(x-m)2/a2 (y-n)2/b2=0.的形式,则(*)表示     

试题研讨(6)

题 1　 (2 0 0 2年广州市高三测试题 )已知椭圆 C的中心在原点 ,焦点在 x轴上 ,离心率 e= 12 ,且经过点 M(- 1 ,32 ) .( )求椭圆 C的方程 :( )若椭圆 C上有两个不同点 P、Q关于直线 y =4x m对称 ,求 m的取值范围 .命题溯源　此题根据 1 986年广东省高考试卷末题改编而成 ,主要考查学生求曲线方程、直线与圆锥曲线的位置关系 ,以及综合运用数学知识解决问题的能力 .原解思路　 ( )依题意 ,设椭圆的方程为　 x2a2 y2b2 =1 (a >b >0 ) ,则1a2 94b2 =1 ,ca =12 ,a2 - b2 =c2 .解得　 a =2 ,b =3 ,c =1 .∴　椭圆 C的方程为　 x24 y23 =…     

圆锥曲线间的相互变换

文 [1 ]中给出了圆锥曲线间的几个有趣变换 ,并作了推广 .笔者经过深入研究发现 ,文 [1 ]中的定理还可以进一步推广到更一般的情形 ,而且有趣的是 ,圆锥曲线间可以相互变换 ,由一种圆锥曲线可以生成所有的各种圆锥曲线 .定理 1　设椭圆c:x2a2 +y2b2 =1 (a >b >0 ) ,PP′是c上的垂直于x轴的一条弦 ,M(m ,0 ) ,N(n ,0 )是x轴上的两点 ,设直线PM与P′N的图 1　定理 1图交点Q的轨迹为c′ .则1 )当 (m +n) 2 - 4a2>0时 ,c′为椭圆或圆 ;2 )当 (m +n) 2 - 4a2= 0时 ,c′为抛物线 ;3)当 (m +n) 2 - 4a2<0时 ,c′为双曲线 .证　设P (acost,bsint…     

有关椭圆"切准点"对焦点的几个性质

定义椭圆x2/a2 y2/b2=1(a>b>0)上点M(x0,y0) (除长轴两顶点)处的切线l交右准线l2:x=a2/c于P,交左准线l1:x=-a2/c于Q,我们称点P、Q为切准点．笔者通过研究发现有关椭圆“切准点”对焦点有如下几个结论:     

"三元等和代换"及其应用

对于任意的三个正数 x,y,z,总可以由另外的三个实数 a,b,c表示为 :( T)　x =- a b c,y =a - b c,z =a b - c.则易知 a >0 ,b >0 ,c>0 ,且x y z =a b c.我们称上述的代换为“三元等和代换”,以下简称 ( T)代换 .由 ( T)代换的结构形式 ,可以看出它有其明显的几何意义 :即 x,y,z是以 a,b,c为三边的三角形的任意两边之和与第三边的差 .由此 ,我们很自然地又会想到三角形的三边长 ,可由另外的三正数来表示 ,即 ( T)代换的逆代换 ( T) -1,从而有( T) -1　a =y z2 ,b =z x2 ,c =x y2 .显然　 x >0 ,y >0 ,z >0 .下面举例…