由平方差公式想到的

表明:一数为完全平方数当且仅当它可以表为相差2的两自然数(其一或为零)之积与1的和. 此结论用来解决有关问题,巧妙简洁,颇具新意.常能使问题化难为易,变繁为简. 例1(数学通报1991年10期736问     

“1985”趣题

值此19 55年来临之际,特造“1985,,数题,向本刊的编者、作者、读者致贺。1。已知数100…01,试证此散是合数。 19 85个0证明.’.100…01二10‘。“.+1=(10竺‘’)a+1、一,一一洲 1985个0=(10‘约“+1)。(101,2‘一10“:+1 ·’·迎二“’是合数· 19 85个0. 2已知一个自然数减去49后,是一个完全平方数,这个自然数加上40后,是另一个完全平方数,求这个自然数。 解:设所求的自然数为之,贝〔依题意得{ 一49=‘+40=石C(1)(马少且万>O,C>0.(2)一(1)得:C3一B.== 40由(3)知C>B,C一B)0,一(一49)=89(8)89为质数, 证明:利用(x+1)名’.‘(x+1)“”’…     

神奇的完全平方数

<正>如果一个自然数是某个整数的平方,那么这个自然数就叫做完全平方数.把一个整数平方以后得到的数记作n2,那么n2就是一个完全平方数.完全平方数有着奇妙的数字特征,完全平方数的个位数字只能是0、1、4、5、6、9中的一个.除此以外,个位数字的特征还影响着十位数字的变化.下面就一个数平方以后得到的完全平方数的特征进行简单的分类.     

错在那里?

题 求自然数n,使2~8 2~(10) 2~n是一个完全平方数。 解法1 设2~4=x,则2~8=x~2,2~(10)=2~6·x原式化为x~2 2~6x 2~n,要使此式为完全平方数,应有△=(2~6)~2-4·2~n=0,n=10.     

第十三届全俄中学生数学奥林匹克第三轮试题(十年级)

1.求这样的最小自然数,’场它的末位数移ylJ门位时就会扩人5}音. 解:设所求数为‘:l‘,:…‘,,‘之,沪,】:是‘:I列{f} ‘,,,11‘,:…‘乙,l=马·‘11‘I:一‘。、l‘,,ttl此‘,J逐步求币)手: ‘一,,·l()’‘l+‘,l‘I:…‘z,.;=5(l里)·‘,z‘z:…‘,l+‘I,,), ‘I,,(1(),,l一几)=1{,·‘,!‘I:…‘之一, ‘,,·(,{卜二(JS=浦(,·“一“:…‘,:(l) 月一Zj、‘〕f妇于:a,,是个位,不‘,I能被49整除二,I见9‘,…‘,5至少应能被7橄除,不堆知道它至少是99995,说明n二6,所求数就是6位数,(1)式成为 翻·9‘)9冬户5=4{户·‘11〔,::‘一,‘;…     

数学问题解答

1991年11月号问肠解答 (解答由问题提供人给出)解得实数C的取依范t份为 一19引寸2蕊e镇29引(召+3丫2) 741.试求自然数:,使2’”88于2,。9’+2月是一个完全平方数. 解令:一2。。‘,则2’。88二·xZ,2’,。’二2997·: 2 IORS十21901卜2门一之21一2097·x+2。据几次_:.项式为完全乎方式的条件知,其判别式△二O 即(299,)2一小l·Zn一。 21。。2=2” 粗二1 992从而有2’“.8一卜2’。。’+2’”n’2’“R“·(22+25+26) 二2‘。。6·100二(29.3·10)2 742.若函数f(x)二a·sin劣+b·eosx+e的743.若a、b、。、d为圆内接四边形的边长,;(。十“+…     

完全平方数的特点及判定

一个自然数的平方叫完全平方数.自然数的尾数可能是0,1,2,3,4,5,6,7,8,9这十个数,因此完全平方数的尾数只可能0,1,4,5,6,9这六个数,这是完全平方数的特点.但应注意,尾数是这六个数的数.不一定是完全平方数,如15就不是完全平方数.     

关于印度奇妙数组三个性质的证明

文[1]和文[2]都给出了一个由印度数学家发现的有趣数学现象,就是有13个三位自然数956,957,…,968,其中每个数的平方数"对折拆开"再相加,其和数又是一个完全平方数,将这些完全平方数取算术平方根,恰好从43至31,也是一组连续的自然数(见下表).文章中发问:(1)除了956～968以外,是否还有其他具有类似性质的连续自然数组;(2)若存在,分布在哪里,有什么规律.……     

整数+整数=分数

如+钵、如+会。。。).故所求函数的单调递增区间为砚斌[粤,+要,粤,+要〕(k任:) 0 00‘题目求函数,=石蔽万面的单调递增区间.解法一,.’函数,=s加z的单调递增区间为 这里,解法一、解法二的结论应是一致的,故应存在整数毛1、几:.使得[2‘一号,2‘+晋〕sIn(一3二))0·(‘任z),在,=石石万二.面中,须一争,,一晋一普k,x十号由此我们可得出一个荒谬的结论:,,十h一令·怪,l组|日口。.一.’.由2“、一3:簇2‘十号(k。z)得一普,一会、:、一号‘,“任‘,故函数,=石蔽不不了的单调递增区间为附:本期“一盛而解”栏答案:〔一粤*一粤,粤,〕(*ez). d灯J 1.…     

一个三角形计数问题—ZCS(87)试题研究之一

〔题〕在三边长是连纹自然数、周长不超过100的三九形中锐角三角形的个数是_._. 设角A、五、C刘达分别为。二。一1,5二。,c二打十l,灰 (n一],+,‘>,、斗z,,,>2 (,卜I)+、+(。+l:《1 00,芝《,‘(33,考虑 一1 00n女泛,一— 3因此 eosC_L。一’2十*:,一(:一卜1飞忍_:又”一2)rZ2(,2瑞>“, ,2>4.因此药‘,《”N:。。二33一(5一!)=29. 一般地一洲g几长:广(自狡连续整边锐角三角形个数NL越、于5《“一冬〕(〔〕表万、取整*三算). J?,__二,,L、从侧‘v“=‘万」一“其解题模式就是求!(n一主)+,,>、弓一z(。一,飞·十,十(、+工《二cosC二.三匕…     

一道华杯赛试题的有趣拓展——平方后的子母数

平方数的海洋中有许多神奇的结论,例如某些自然数平方的对半和仍然是连续自然数的平方^[1];若正整数a,b,c满足c=a+b/a-1/b则c是完全平方数^[2],这些让我们感受到平方数的美妙魅力.母平方数m²的尾数(个位开始的几位数.例如m²=225的尾数25是平方数,尾数5就不是平方数)如果也是平方数t²,我们称m为母数,t为子数.本文研究已知子数(或尾数),探究母数的规律.     

课外练习

初书年级 1.下面竖式中“学、习、雷、锋”代表4个连续的数字,那么,它们各代表什么数字,使算式成立?(雷代表最小的自然数;锋代表最小的一位数) 学习雷锋X学习雷锋 口口口锋 口口口雷 口口口习 口口口学锋雷口口口口雷锋(山西太谷县东盛小区(030800)要二海、郝承玲) 2一个数a,,aZ,…,a,,若al一告, 从第二个数起,每个数都等于1与它前面的 那个数的差的倒数,求内005的值. (江西省新干县桃源中学(331316)曾向根) ,.~,,、.,_.1 3.化简:(x+妇+(2x十;毛冶刃+(3x+ ’.’,‘、一’挤’、一’IX2了/’、一’ 1、二,____,1 万子六v)十…+(ZOO5x+一们…     

二项式x~4+b~2型因式分解

_气这是初中代数第二册上的一道习题, 撇.分解因式二呼+4尸虽然教材棺寸提示,但学生解题时仍感困难,因一‘·’…此间题值得探讨.华“.设此类问题的一般形式为.L.二‘+“(b为正整数)--、(I)二,首先研究式(I)在整数范周内能分解因式的条亡件,这得从“补项配方‘开始:牛’.二‘+6,‘二‘+Zb二,+乙,一26:’!「认‘(x名+b),一(J诬。x),:’;二(二‘+J场二+b)(砂一召马x+‘)(幻 困此,条件是肠为完全乎方数,螂应有如下的’ t形式:’ boZ。,(。为正整纷) 、b应为某个平方数的2倍. 倪.以下二项式中,哪些能在整数范围内分解 因式,并将能分解的二项…     

零之特性及其所引起的纠紛

我们知道(斌万二了了一侧万)=(i(ii仙(iv0丫0=0,o只他数二。,他数又o二o,他数只他数毕0.一一故凡合前三者可称 因数有为0者,RlJ积必为。,(l)此为。之性质之一,盆以(iv)可知,有此性盾者惟零而已,故曰特性.(iv)亦可述之为 积为。,则因数必有为。者,(2)j蚤称为除法定律(d ivi、ion Jaw): a力二0〕。=OV丢=0(2‘)者是也.其逆(l)又可述之为、 。==。vb二ooa右=0.、(1‘) 初等代数之料粉,泰半起于(1),(2)相混.精分另11言之. 有理整方程之解法.应用因式定理:(沐一a)(二一b)(二一e)“0〕二“aV,二bV‘“c.此不过(2)之推瑜耳.当吾人希望有一,,能使…     

第八届美国数学邀请赛(AIME)试题及解答

(1990年3月20日上午8:30~11:30) 1.递增数t.JZ,3,5,6,:,1。,;,,~·…由所有既不是平方数,又不是立方数的正整数组成,求这数列的第50。项. 解先计算500是数列的第几项. 222<500<韶2.…、300有22个平方数. 7”<500‘8“.…~刃。有7个立方数. 而在二~,。。中,:以呈、}一二方数,又是立方数有1和:‘两个数.所以1、560中,有27(22 7一2)个整数是平方数或立方数.故知500是第473项.即。4了3二500. 现求〔。。。’1勺亡生.从第473项到500项有27项,于是可考虑501、,7中有多少个是平方数、立方数.由计算知.只fJ一个整数512二毛“.所以。。。。=528. 2.…     

谈谈“x a/x”型最值的求解与应用

x引子问题.求函数,二妙 弃的最小值,刁~’一寸一~~,2’sln七,J~心一分析此延利用平均不等式例2求函数,,sin:忿一3对n二 3 2一目n:的值城. 分析此题方法较多,但一般方法很萦琐,计算t也大,但利用前述结论则很简单.__/sin,二2,多乙气l一下一.二丁丈:思乙 ,‘吕111不sinZ:一sinz 3 2一公n名二:一:in二 井,一: ‘一吕!n名令‘二2一ssn:〔[一,3〕?,一‘ 十一l,在区间〔:,3〕上是增函, 当‘一1时,、一1.当‘一3时,,一普:.函数的值域为〔1,晋〕 一I勺‘一n 一一 2︸n一八‘易错误得出,.,2.注惫到等号成立时,须即sin、,2,这显然不可能. 事实上,凡形…     

两个错解 一个错因

例1判定函数‘(X’“二一,,i少通-X的奇偶性解:j(一二)二(一x一l)_}牛等丫1个x一(二+,).{旱· V孟一3I+工一广一.l一Xl一Xl+xC山、、.,/义X一十/诊飞、、一(义十,,了l+x1一义_,.、{1+二_,,一、弄一l产.1.--一一J气X) 、l一义-.’. j(x)为偶函数.(二;)(C)(一Jo。,,1 00二〕;(方夕之一、,o〕〔Zk汀ZL,::十一乒)寿〔z 公上的非周期函数是(),周期为2二的周期函数是(). 答:非周川函数是(C).局拟为2二的函数是(A)和(B). 仔细检查上述两题的解答.发现它叮沛是错误的. 关于题1,函数具有奇(偶)!生的一个必要条件是梦定义城关于原点对称.九)’…     

对一个“完全平方数的个数”问题的再探求

问题已知n为自然数,28 212 2n是一个完全平方数,求n．这是2002年《中学生数学》第9期(下) P36初二年级“课外练习”题2．在第10期(下)P39的“上期课外练习题解答”中给出了n的三个值．笔者用“凑”完全平方数的方法,又“找”到了n的两个值．也就是说,在这个问题     

对一道赛题解法的探究

1986年全国数学竞赛第设实数u、b、。满足 l丫一bc一sa+7=()·试第1题第咬3川、题为:那么“的取值范It1是①② !扩+扩+b‘、一6a+6=‘j(A)(一co,+co);(I弓)(一oo,1 JU〔9,+co);(C)(0,7);(I))r 1.9〕.标准解答是,山题给条件得lbc三丫一sa+7l夕十已+bc=6“一6②一①x3得(l,一‘〕’=一3(‘,一)(u一冬,)③ .’一3(a一l)(u一9))(),故l石a石9 答案为(u). 我们认为此种解法不妥。因为.若口)十(劲,得 (b+‘.)二丫一2“十l=(‘:一I)④ bc〔R.而(“一l)J要0二‘一co<‘,<十oo,答案应为(A). 又若将①代人②得 粉+‘“=一丫+14‘,一13二一(‘,一1)…     

巧用均值不等式证明IMO42第2题

题证明:一生一+下尘狂二+ 一一”’气压了丁丽丢抓弃不石)~.共二一妻1(a,b,。eR‘,以下简称赛题).石不万品一‘一’一’-一”一‘一r·一一一因为当a,白,。不全等时,9a2一(aZ+sbc),9西2一(bZ+sac),9。2一(:“+sa吞)三数中至少有一个为负,所以,文[1〕中令ga了驴下百民,9‘了石不目丽,9。、吓乏不而的最大者为k,并得:M一N妻坠全‘竺土三勺二丛旦鱼生经垫些的做法显然有误. 以下利用均值不等式给出赛题的一个简捷证法.证明a号了。2+8加‘/_粤I_2、Q;,、。号丫。号、:(2。号。合。告)(2。号‘号)了。号+(2。哥。合。晋),十(2。号‘号)2。号丫…