第十三届全俄中学生数学奥林匹克第三轮试题(十年级)

1.求这样的最小自然数,’场它的末位数移ylJ门位时就会扩人5}音. 解:设所求数为‘:l‘,:…‘,,‘之,沪,】:是‘:I列{f} ‘,,,11‘,:…‘乙,l=马·‘11‘I:一‘。、l‘,,ttl此‘,J逐步求币)手: ‘一,,·l()’‘l+‘,l‘I:…‘z,.;=5(l里)·‘,z‘z:…‘,l+‘I,,), ‘I,,(1(),,l一几)=1{,·‘,!‘I:…‘之一, ‘,,·(,{卜二(JS=浦(,·“一“:…‘,:(l) 月一Zj、‘〕f妇于:a,,是个位,不‘,I能被49整除二,I见9‘,…‘,5至少应能被7橄除,不堆知道它至少是99995,说明n二6,所求数就是6位数,(1)式成为 翻·9‘)9冬户5=4{户·‘11〔,::‘一,‘;…     

解题中的变量代换

在解答某些代数题中有时作些变量代换是很有益的,这在题目难度较高时更有好处。代换时可以用原变量和某些新变量之和来替换其余的变量。例1 在多项式ax~3+bx~2y+cxy~2+c~2y~2中,系数a、b、c、d之和为0。试将多项式分解为两个因式。     

第十六届全俄中学生第三轮数学竞赛试题解答(十一年级)

1.求常数c的值,使函数在区间(-1/4,1/4)上为奇函数。(5点) 解假设所求常数C是存在的,函数f(x)为奇,于是f(0)=arctg2 c=O。由此知c的唯一可能值为-arctg2。我们将证明在区间(-1/4,1/4)上,函数是奇函数,即满足关系式f(x)=-f(-x)。     

关于方程x~2=x的四个解

为了使读者相信,方程x~2=x并非所已知的那样只有0和1两个解,而是四个.我们可以先观察下列无可争辩的事实:如果自然数是以数字0,1,5,6结尾的话.則其平方同样也以这些数字结尾.末两位为00,01,25,76的数的情况也一样.如自然数以这些两位数为结尾的话,其平方数同样如此(例如176~2=30976,225~2     

关于抛物线的一个性质

我们在抛物线y=ax~4上取A、B、C。三个点,并使它们在ox轴上的投影距离相等、即A_1B_1=B_1C_1=m(图1)试求△ABC的面积。记A、B、C的横坐标为x_1、x_2、x_3,根据题设     

关于马尔柯夫方程

十九世纪的俄国杰出数学家马尔柯夫(1856—1922)曾提出一个著名的不定方程: x~2+y~2+z~2=3xyz (1) 并且仅仅使用了初等数学方法(包括韦达定理)就求得了方程的全部解,所以本文所介绍的内容是一般中学生也能接受的。 在把x=a,y=b,z=c代入原方程后而恒等时,我们就把数组(a,b,c)称为是这个不定方程的解,而把a,b,c这三个数称为解的坐标。我