轴对称思想在解题中的应用

题目要在河边l修建一个水泵站,分别向A、B两村送水,水泵站应修建在河边的什么地方,可使所用的水管最短?解析要解决这个问题,找出点A关于直线l的对称点A',连结A'B交直线l于点P,则点P就是到A、B两村庄的距离之和最     

浅谈利用对称求极值在竞赛中的应用

我们来看一个例题(北师大版初二几何P173例3),如图1,要在河边l上修建一水泵站向A和B两村供水,修在河边什么地方可使所用水管最短?此题可转化为:已知直线l及l同侧两点A、B,求作点C,使C在l上,且(AC BC)最小.     

也谈“水泵站”该修何处

在文[1]和文[2]中,两篇文章的作者都讨论了一个实际问题：在河边修建一个水泵站,为张村、李庄送水,水泵应该修在何处使得所用水管最短？     

"水泵站"该修何处

人教版初中《几何》第二册第89页例3：如图1，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，修在河边什么地方，可使所用的水管最短?     

这道课本例题的解法对吗?

初中《几何》课本上的一道题.如图1,要在河边修建一个水泵站,分别向张庄、李庄送水.修在什么地方,可使所用水管最短? 课本的处理方法是将它转化为一道几何作图题: 已知:直线α和α的同侧两点A、B(图1).求作:点C,使C在直线α上,并且AC CB最小. 作法 1. 作点A关于直线α的对称点A’. 2.连结A＇B交α于点C,点C就是所求的点.     

重论“水泵站”该修何处

1问题提出如图1,A、B两个村子在河CD为同侧,AD⊥CD,BC⊥CD,垂足分别为C、D,现要在河边CD上建一水泵站P向A、B两村输送自来水,问点P在CD的什么位置时,可使所使用的水管最短?(不妨设AD=a,BC=b,AB=x,a≤b)这个问题用图2的方法解决,此时EA+EB最短.现在问题是:水泵站设置可分别向A、B村供水(比如图2、4),也可以是经过A村向B村供水(图3)等三种情况.     

对一道几何极值问题的探讨

人民教育出版社出版的初中《几何》第二册第91页有一道流行极广的几何极值应用例题:如图1,要在河(直线ａ)边修建一个水泵站,分别向张村(Ａ)、李庄(Ｂ)送水,修在河边什么地方,可使所用的水管最短?其解法思路是设Ａ′是Ａ关于ａ的对称点,则Ａ′Ｂ与ａ的交点Ｃ即为所求.事实?..     

一道课本例题的讨论和开发

九年义务教育教材(人教版)第131页有一个这样的问题:要在燃气管道a上修建一个泵站,分别向A、B两镇供气,泵站修在管道什么地方,可使所用输气管线最短?教材上首先将实际问题数学化,如图1,设A、B是直线a同侧的两点,要使所用的输气管线最短,就是在直线a上找点C,使AC BC最小·图1AC=     

引导学生“扩展思维”,提高能力一例

如何提高学生的解题能力,是广大数学教育工作者长期讨论的课题,它不仅指数学知识本身,更重要的是指“数学思想方法”,并运用这种方法来解决实际问题和创造数学理论的能力。怎样来提高学生的能力呢?让我们从一个大家都很熟悉的例子入手。引例一条小河l的同旁有两个村庄A、B,在河边修一个抽水机站。问,该站应修在什么地方才能使它到两个村庄的距离之和最短?     

一个几何极值问题

如图 1 ,在河岸ａ同侧有两个村庄Ａ ,Ｂ ,要在河边Ｃ处建一水泵站 ,并沿ＣＰＡＢ的路线铺设水管 ,怎样选择Ｐ ,Ｃ两点可使所用的水管总长最短 ?因为ＰＣ⊥ａ ,关键是确定Ｐ点的位置 .因而问题可以简述为 :Ａ ,Ｂ是直线ａ同侧两点 ,在平面上求一点Ｐ ,使Ｐ到Ａ ,Ｂ及直线ａ的距离之和最小 .以下称这一问题为问题Ｌ .设Ａ ,Ｂ在ａ上的射影是Ｄ ,Ｅ ,ＡＤ=ｐ ,ＢＥ=ｑ ,ＤＥ =ｓ.恒设ｑ≥ｐ>0 ,ｓ>0 .如图 2 ,取Ｄ为原点 ,直线ａ为ｘ轴建立直角坐标系 ,则Ａ(0 ,ｐ)Ｂ(ｓ,ｑ) .作ＡＥ′∥ＤＥ .交ＢＥ于Ｅ′ .显然 ,若Ｐ是问题Ｌ的最小值点 ,则…     

初中几何中线段的最小值问题

<正>几何中线段的最小值问题常作为中考的考点,解题依据主要有:"两点之间线段最短"、"垂线段最短"和"圆外一点与圆心的连线与圆相交,这一点与交点的线段就是点到圆的最短线段"等几何基本事实和推论,但运用时往往会将其转化,构造相等线段(全等三角形)和辅助圆来解答.1直接利用基本事实和推论(1)利用"两点之间线段最短"例1如图1,在菱形ABCD中,AB=10,∠A=120°,点P,Q分别是线段BC、CD的中点,点K为线段BD上任意一点,求PK+QK的最小值.分析运用"两点之间线段最短"时,往往运用轴对称,因为点K为线段BD上任意一     

对课本两道最值题目的再思考

<正>北师大版数学教材中,有两个最值问题值得我们进行进一步拓展,改编成新问题,供大家思考探究.题目1.如图1所示,要在街道旁修建一个奶站,向居民区A,B提供牛奶,奶站应建在什么地方,才能使A,B到它的距离之和最短?     

关于几何图形中求最小值问题

<正>几何图形中求最小值的依据分别为:⑴两点之间线段最短.⑵连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短,以下简称"垂线段最短".一、应用"两点之间线段最短"求最小值问题.1.利用轴对称例1如图1,在矩形ABCD中,AB=     

转换法求|PA|+|PB|最小值

<正>解析几何中有一类求|PA|+|PB|最小值问题,用距离公式直接求解比较复杂,本文介绍两种常见转换方法.经过转换后,再利用"两点间线段最短"或"点到直线垂线段最短"来解决问题.一、动点过直线,对称转换例1动点P在直线l:y=2x-5上,点A(1,2),点B(2,4),求|PA|+|PB|最小值.解B关于直线l的对称点B′(6,2),     

用三点共线求线段之和的最小值

我们知道,两点间以连结这两点的线段的长为最短．给定两点A、B及第三个点P,则PA＋PB≥AB,当且仅当点P在线段AB上（含A、B）时,PA＋PB取得最小值AB,我们称之为三点共线原理．利用这一原理可以巧妙地解决一些与线段之和最小的相关问题．     

求线段之和的最小值问题的常用方法

<正>线段之和的最小值问题,综合性较强,灵活性较大,面对这类问题,学生常常感到困惑.解答这类问题,常常需要综合运用轴对称、平移、代换、两点之间线段最短、垂线段最短等知识,现举例说明如下:一、轴对称与两点之间线段最短     

对一道几何应用题的再讨论

题目 如图1,A、B两个村子在河CD的同侧,AC⊥CD,BD⊥CD,垂足分别为C、D.它们的距离分别为AC=1千米,BD=3千米,CD=3千米,现要在河边CD上建一水厂向A、B两村输送自来水,铺设水管的工程费为每千米1.5万元,CD上有一点建水厂能使铺设的费用最省,求铺设水管最省的总费.     

对一道经典折叠压轴题的探析与建议

一、问题呈现题目平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC,O为坐标原点,A点坐标为(10,0),C点坐标为(0,8),D是线段AB上的一点,沿直线CD折叠矩形OABC的一边BC,使点B落在OA边上的点E处(如图1),有一抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c是常数,且a≠0)经过O、C、D三点.(1)求线段AD的长及抛物线的解析式     

在最短路径问题中体会化归思想

初中数学的最短路径问题,一般基于三种基本模型:两点的最短距离、点到直线的最短距离、线段之和的最小值(也就是最常见的将军饮马问题).而由此产生的变式题虽然借助于不同的载体,且用到的知识点不同,但需要学生运用化归思想将问题进行变式和转化,回到已经熟悉的基本模型,把握本质解决问题.通过解决这一类最短路径问题,可以让学生对化归思想有更加细腻、具体的了解.新课标基本理念中提到,要启发学生思考,引导学生把握数学内容的本质,最短路径问题满足了上述理念.最短路径问题也是历年数学中考的常见题型,在选择、填空、解答题中均有体现,命题人也常将最短路径问题与其他知识点融合成一道综合性题目,以考查学生综合运用知识的能力和化归能力.     

线段和(差)最值问题的变式探究与启示

某平面几何元素在给定条件下变动时,求线段和(差)的最大值或最小值问题,称为线段和(差)的最值问题.它一般包括一点关于两直线对称、两点关于两直线对称、平移对称等多种变式.这类动态问题因涉及知识面广、背景丰富、表现形式灵活而备受命题者青睐,不仅培养学生的探究能力和创新意识,还培养学生运用所学数学知识解决实际问题的能力.研究发现,此类问题的理论依据是“两点之间,线段最短”,解决问题过程中存在一定的解题规律和技巧,即往往可以通过轴对称、平移等变换把相对分散的条件相对集中,化“折”为“直”,将其转化为常见的基本几何问题模型来解决,关键是把若干线段归结到同一条直线上.笔者在教材“饮马问题”、“选址造桥问题”等的基础上进行变式探究.