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向量不等式|a·b|≤|a|·|b|是向量的一个重要性质,本文例谈它的应用. 相似文献
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妙用向量不等式a→·b→≤|a→|·|b→|(当a→、b→ 为非零向量时,当且仅当a→、b→同向时取等号) 解题,往往可以拓宽解题思路,有益于培养学 生分析问题、解决问题的能力,下面举例说明. 相似文献
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我们知道不等式|a+b|≤|a|+|b|是高中代数下册中25页的一个定理,它在解有关绝对值问题中有着重要的应用.我们现对这个不等式取舍等号的条件进行分析,不难得到两条重要的推论:1.|a+b|=|a|+|b|ab≥0;2.|a+b|<|a|+|b|ab<0.这两个基本的互逆关系,显示了数学协调美的内力,充分体现了数学问题的相互转化的作用,标志着它们必有优美的应用.下面举例说明.例1 (上海市1984年中学数学竞赛题)方程|2x-1|+|x-2|=|x+1|的实数解为.解 原方程可化为|2x-… 相似文献
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由向量的数量积公式:(a|→)·(b|→)=|(a|→)|·|(b|→)|·cosθ,(其中θ为非零向量(a|→)与(b|→)的夹角),我们容易得到结论:-|(a|→)|·|(b|→)|≤(a|→)·(b|→)≤|(a|→)|·|(b|→)|.当(a|→)与(b|→)共线且方向相同时,(a|→)·(b|→)取得最大值|(a|→)|·|(b|→)|;当(a|→)与(b|→)共线且方向相反时,(a|→)·(b|→)取得最小值-|(a|→)|·|(b|→)|.应用它求多元函数的最值,解题过程简捷,解题方法新颖. 相似文献
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“|a| - |b|≤ |a±b|≤ |a| + |b|”是高中数学新教材第二册 (上 )第 2 0页的一个重要不等式定理 ,它是处理含有绝对值问题的一个重要工具 ,课本限于篇幅 ,主要介绍它在证明不等式中的应用 ,而其它方面很少涉及 ,且何时取等号也未指明 ,本文对此加以补充并例谈其应用 .1 定理的补注1)等号成立的条件|a +b| =|a| + |b|当且仅当ab≥ 0 ;|a -b| =|a| + |b|当且仅当ab≤ 0 ;|a| - |b| =|a +b|当且仅当 (a +b)b≤ 0 ;|a| - |b| =|a -b|当且仅当 (a -b)b≥ 0 .2 )不等号成立的条件|a +b| <|a| + |b|当且仅当ab <0 ;|a -b| <|a| + |b|当且仅当ab … 相似文献
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1问题提出
题目《普通高中课程标准试验教科书数学必修4》(苏教版)中给出关于向量投影的链接:设a,b是两个非零向量,θ为a,b的夹角,则|b|cosθ叫做向量b在a方向上的投影,它是数量.试根据上述的内容回答下列问题: 相似文献
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对于任意两个向量 a,b,有不等式 a.b≤|a|. |b|当且仅当向量 a与 b同向时为等式 .此不等式结构简单 ,形式隽永 ,内涵丰富 .运用它处理某些与不等式相关的代数问题简捷明快 ,颇具特色 .1 求函数的最值例 1 求函数 f(x) =3x +2 +44- x2 的最大值 .解 令 a =(3,4 ) ,b =(x,4 - x2 ) ,则 f(x) =a . b +2 ,|a|=5 ,|b|=2 .故 f(x)≤ |a|. |b|+2 =12 ,当且仅当 a与 b同向 ,即 3x=44 - x2 >0时取等式 .解之 x =65 .故当 x =65 时 ,f(x) m ax =12 .例 2 求实数 x,y的值 ,使得 f(x,y) =(1- y) 2 +(x +y - 3) 2 +(2 x +y - 6 ) 2取得最小值 . (… 相似文献
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1 重、难点分析1)不等式的基本性质是学习的重点 .运用不等式的基本性质解决不等式问题时 ,应注意不等式成立的条件 ,否则会出现错误 .2 )下面是有关基本不等式的重要结论 :若a ,b ,c∈R+ ,则 21a + 1b≤ab≤ a +b2 ≤a2 +b2 (当且仅当a =b时取等号 ) .31a + 1b + 1c≤ 3 abc ≤ a +b +c3≤a2 +b2 +c23(当且仅当a =b =c时取等号 ) .另外由基本不等式可得到下列结论 :① 4ab≤ (a +b) 2 ≤ 2 (a2 +b2 ) (a ,b∈R ,当且仅当a =b时取等号 ) ;② 3(ab+bc +ca)≤ (a +b +c) 2 ≤ 3(a2 +b2 +c2 ) (a ,b ,c∈R ,当且仅当a =b =c时取等号 ) ;③ a… 相似文献
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1)两向量的数量积是个数量 ,而不是向量 .它的值为两向量的模与其夹角余弦的乘积 ,其符号是由夹角θ(0≤θ≤π)决定的 .θ为锐角 ,数量积为π ;θ为钝角 ,数量积为负 ;θ为直角 ,数量积为零 ;θ =0 ,a·b =|a| |b| ,a·a =|a| 2 ,(a±b) 2 =a2 ± 2a·b +b2 =|a| 2 ±2 |a| |b| + |b| 2 ,(a +b)·(a -b) =a2 -b2 =|a| 2 -|b| 2 ;θ =π ,a·b =- |a| |b| .2 )对于实数a ,b ,当a≠ 0时 ,由a·b =0可推出b =0 .而对向量a ,b ,当a≠ 0时 ,由a·b =0不能推出b =0 .这是因为任一与a垂直的非零向量b ,都有a·b =0成立 .3)已知非零实数a ,b ,c,则… 相似文献
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0被“双规”以后的话题 总被引:1,自引:1,他引:0
高中数学新教材 [1 ]第一册 (下 )第五章“平面向量”在给出定义“长度为 0的向量叫做零向量 ,记作 0”后 ,先后对它作了下面两个“规定”(本文简称“双规”) :“0与任一向量平行”(第 95页 )以及“零向量与任一向量的数量积为 0”(第 1 1 6页 ) ,并且接着在给出“a⊥b a·b=0”的前面明确指出“a、b都是非零向量”(第 1 1 7页 ) .这也就是说 ,新教材把平面向量集内的零元——— 0与其他元素的关系只归入共线而回避垂直 :当a·b=0时当且仅当a、b都不是零向量时 ,有a⊥b ;若a或b中有零向量时 ,未说a⊥b是否成立 .两向量的共线和垂直是两向量… 相似文献
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教材中某些含有乘积之和或者乘方之和的不等式 ,可根据向量数量积的坐标表达式的结构特征构造向量证明 ,下面试举几例 ,供同学们学习时参考 .例 1 如果a ,b∈R ,求证 :a2 +b2 ≥ 2ab(当且仅当a =b时取“ =”号 ) .证明 构造向量 p =(a ,b) ,q =(b ,a)由 p·q≤ |p||q|有2ab≤a2 +b2 .当且仅当 p ,q同向时 ,取“ =”号 .注意到 |p|=|q|,由 p ,q同向有p =q ,即 a =b .故当且仅当a =b时 ,取“ =”号 .例 2 求证 :a +b22 ≤ a2 +b22 .证明 构造向量p =12 ,12 ,q =(a ,b) ,由 ( p ,q) 2 ≤ |p|2 |q|2 ,有 a +b22 ≤a2 +b22 .例 3 已知a … 相似文献
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定理如果a,b是正数,那么a+b/2≥√ab(当且仅当a=b时取“=”).这个定理适用的范围:a,b∈R^+;我们称a+b/2为a,b的算术平均数,称√ab为a,b的几何平均数。即:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.此不等式常称为均值不等式. 相似文献
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有这样一道题:设a>0,且a≠1,P=loga(a3-1),Q=loga(a2-1),比较P、Q的大小关系.甲给出如下解法:∵ (a3-1)-(a2-1)=a3-a2=a2(a-1),∴ 当a>1时, a3-1>a2-1,从而 loga(a3-1)>loga(a2-1),即P>Q;当0loga(a2-1),即P>Q.因此 P>Q.乙给出如下解法:P-Q=loga(a3-1)-loga(a2-1)=logaa3-1a2-1=logaa2+a+1a+1=loga(1+a2a+1),∵ 1+a2a+1>1,∴ 当a>1时,loga(1+a2a+1)>0,∴ P>Q;当00a2-1>0a>0且a≠1 即a>1,于是,将两人的解法适当修改,则可得如下的正确解法.解法1 ∵ (a3-1)-(a2-1)=a2(a-1),又 a3-1>0a2-1>0a-1>0且a≠1 即a>1... 相似文献
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两条异面直线所成角的一个定理和两个推论 总被引:2,自引:1,他引:1
本文用向量的数量积与减法来巧妙、简捷地推导关于两条异面直线所成角的一个定理 ,并顺畅拾遗两个推论 ,然后例谈其实用价值 .定理 如图 1 ,如果AM是△ABC所在平面的一条斜线段 ,那么两条异面直线AM与BC所成的角θ满足cosθ=|AB·cos∠MAB -AC·cos∠MAC|BC证明 依题意知两向量AM与BC的夹角是θ或π-θ(其中O° <θ<90°) ,则AM· BC =|AM|·|BC|· (±cosθ) .取模得 |AM· BC| =|AM|·|BC|·cosθ=AM·BC·cosθ.又因为 |AM·BC|=|AM· (AC … 相似文献
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平面向量数量积是高考重点内容之一,大部分学生都能熟练掌握平面向量数量积的两个计算公式:1 a·b=|a|·|b|cosθ;2若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a·b=x1x2+y1·y2. 相似文献
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《中学生数学》2021,(8)
<正>众所周知,不等式a2+b2+b2≥2ab在求最值时经常用到,而这个重要不等式的两边如果都加上2ab,便得(a+b)2≥2ab在求最值时经常用到,而这个重要不等式的两边如果都加上2ab,便得(a+b)2≥4ab,当且仅当a=b时取等号.由于该不等式直接反映了两个数的和及其乘积之间的不等关系,所以它在很多竞赛题中求有关取值范围时有着广泛的应用.我们还知道,如果已知两数和与两数积,根据韦达定理的逆定理,常常可以构造一个一元二次方程,通过判别式大于等于零来解决相关问题.但笔者通过研究发现:利用(a+b)2≥4ab,当且仅当a=b时取等号.由于该不等式直接反映了两个数的和及其乘积之间的不等关系,所以它在很多竞赛题中求有关取值范围时有着广泛的应用.我们还知道,如果已知两数和与两数积,根据韦达定理的逆定理,常常可以构造一个一元二次方程,通过判别式大于等于零来解决相关问题.但笔者通过研究发现:利用(a+b)2≥4ab, 相似文献
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二元柯西不等式已知a,b,c,d∈R,求证(a2+b2)·(c2+d2)≥(ac+bd)2(当且仅当ad=bc时取等号). 二元柯西不等式的类似已知a,b,c,d∈R,求证(a2-b2)(c2-d2)≤(ac-bd)2(当且仅当ad=bc时取等号).读者用分析法容易证得它们,下面给出后者的运用. 相似文献
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