数学解题中的化圆术

圆是几何图形中最规范,也是最简单的一种,初中数学教学中对圆的几何性质做了仔细的研究,并积累了大量性质.高中数学教学中对圆的研究主要在解析几何中,用代数的方法加以研究.其实,许多数学问题与圆密切相关,解题中我们若能巧妙的造圆,可以收到避繁就简的效果.下面从几个方面来谈一谈,数学解题中的化圆术.     

挖掘基本图形 突破中考压轴题

本文从不同角度出发,对2022年贵阳市中考数学第16题的解法进行深入研究.通过挖掘基本图形,建立起已知条件与所求量之间的逻辑关系,给出问题的三种求解思路,得到五种基本解法.一是构造全等三角形,利用全等三角形的性质求解;二是挖掘相似三角形和直角三角形,利用勾股定理列方程求解;三是构造辅助圆,借助圆的性质求解.最后,得出与本题有关的两个基本结论.     

谈谈圆中的最值问题

圆是数学中优美的图形,具有丰富的性质.与圆有关的最值问题是各类考试的一个热点,其题型丰富多采.本文将就与圆的有关的最值问题进行归纳分析,与大家分享.     

圆中倒角

<正>在数学中,倒角指的是几何图形中角的转换.在教学过程中为了方便,一些老师常常将其称为“倒角”,有“对调、转移、更换、改换”的意思.倒角本质的思想是转化与化归,将未知转化为已知,复杂转化为简单.圆是几何学的基本概念之一,圆中的角与性质异常广泛且深刻;不仅包括了基本的弧度、圆心角、切线角等概念,还涉及到许多有趣且重要的性质和定理.圆中倒角,顾名思义就是利用圆来转化角度.接下来我们通过几道例题一起来探讨一下圆中倒角如何有效解决数学问题.     

高考题的破解之圆

<正>圆是优美的图形,倍受命题者和解题者的青睐.在处理某些数学问题时,我们可以从问题的结构特征入手,充分挖掘出问题的圆背景,再通过构圆,建立起问题的圆模型,利用圆的性质,使问题获解.兹举几道2018年高考题,以飨读者.例1 (2018年高考北京理科数学第7题)在平面直角坐标系中,记d为点P(cosθ,sinθ)到直线x-my-2=0的距离,当θ,m变化时,     

单位圆在三角不等式中的应用

单位圆是数学中研究问题与解决问题的一个重要工具。通过单位圆所表示的三角函数线段能将比较抽象的三角函数量,表示成形象的有向线段,从而能将非几何的问题转化成几何问题来解决。本文拟就单位圆在三角不等式中的应用谈谈几点想法. 一、用单位圆解三角不等式某些三角不等式,利用单位圆来解,比较形象直观,并且可以加深学生对三角函数定义和性质的理解、     

熟悉圆的性质用好基本辅助线

初中数学当中,圆是最优美的图形.它内涵丰富、性质多样.圆的性质定理有:圆的基本性质、垂径定理、圆周角性质定理、圆的对称性、圆的切线的性质等.它们对应了圆中的条基本辅助线.     

北京数学奥林匹克学校课堂实录

课题 圆的基本性质适用年级 初中三年级学期2004～2005学年度第一学期训练目的 1.熟练掌握垂径定理及圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系,圆周角的有关定理,圆内接四边形性质定理等圆的一些基本性质. 2.培养学生灵活的数学思维和分析问题的能力.     

圆系方程及运用技巧

具有某种共同性质的圆的集合叫做圆系.利用圆系知识来求解与圆有关的问题,往往简捷明快,事半功倍.下面就常见的几种圆系方程及其技巧归纳如下.     

“隐圆”巧发现 壁垒妙破除

数学解题的关键是善于挖掘已知条件的内涵,并由此突破解题壁垒.在一些解析几何问题中,虽然从表面来看似乎与圆无关,但从定义、方程与性质的角度深挖下去,圆便会“浮出水面”.发现“隐圆”往往能帮助我们打开解题思路,成功到达彼岸.     

巧解初中几何问题——以构造辅助圆为例

<正>圆是初中数学平面几何中非常重要的一个知识点,与初中数学中其他几何问题有着紧密的联系.所以在解决几何问题时,一些无法利用常规思路求解的综合问题可以尝试通过构造辅助圆的方式来解决.因此,在初中数学几何问题解题教学中,教会学生如何正确使用辅助圆来巧解几何问题是教师需要重点研究的问题.     

借助等差中项，妙解三角函数

对称结构是数学中一个极具美感的特征结构,对称思维是数学中一个非常优秀的思想方法.结合三角函数及其相关问题中对应要素的对称关系,合理借助等差中项的性质构建对应的等差数列,利用等差数列加以转化,实现三角函数问题的创新与求解.     

以圆的视角看问题

<正>对于某些看起来似乎与圆毫无相关的数学问题,如果在我们的解题思维中,具备了较强的"圆"的意识,就会善于以圆的视角看问题,从而挖掘隐含在题中的"圆"的蛛丝马迹,借助圆的丰富几何与代数性质,简洁明快地破解问题.本文拟从三个方面,通过实例分析来对此进行归纳,以资同学们借鉴.     

谈谈圆中的最值问题

<正>圆是数学中优美的图形,具有丰富的性质.与圆有关的最值问题是各类考试的一个热点,其题型丰富多采.本文将就与圆的有关的最值问题进行归纳分析,与大家分享.一、圆上动点到定点(或定直线)的距离的最小值例1平面上有两点A(-1,0),B(1,0),P为     

巧连辅助线解决圆的有关问题

圆是初中数学中非常重要的内容,在与圆的有关计算与证明中,巧妙添加辅助线是解决此类问题的关键与突破口.一、求圆的半径常连接圆的半径半(直)径是圆中重要的线段,在分析问题时,利用圆的半     

当圆与四边形相遇时

新课程要求学生经历图形抽象与分类的过程,参与探讨图形的性质、运动与位置关系,从而掌握几何图形的基本性质及研究图形的基本方法.圆与四边形都是初中阶段数学研究的重要图形,有关问题都要转化为三角形的问题解决,当圆与四边形相遇时,包括平行四边形、矩形、菱形、正方形、正多边形,我们该如何解决问题呢?     

圆的几何性质在解析几何问题中的应用

<正>数形结合是贯穿高中数学课程的重要思想方法,在解析几何中运用平面几何的性质,常常能起到化繁为简的效果.在平面几何中,主要会用到圆的定义,对称性、圆心角定理、切线长定理、圆与圆的位置关系等,灵活运用这些几何性质,将有助于优化思路、简化计算.本文以高考试题为例说明圆的五种常见的几何性质在解析几何问题中的运用.解析几何是代数与几何的完美结合,是综合考查数形结合、转化与化归等思想以及数学     

辅助圆应用五例

在解析几何中,一些从表象上看与圆无关的问题,若充分利用有圆特性的有关条件,巧妙引入辅助圆,利用圆丰富优美的几何性质解决它,真可谓锦上添花.1.求解点的坐标     

也读利用圆的定义引设辅助圆

<正>《中学生数学》2013年9月(下)刊登了张万录老师的《利用圆的定义引设辅助圆》一文,读后感觉方法新颖,开阔视野.本人发现还有一种类型题也可通过引设辅助圆求得解决.当题目条件中有且只有一个定端点的定长线段时,可考虑以定端点为圆心,定长为半径作辅助圆,利用圆的有关性质解题,下面举例说明.     

串点连线，一题多变——以“圆”的综合复习为例

<正>圆是常见的几何图形之一,是进一步学习数学以及其他学科的重要基础.小学阶段初步学习了圆的概念,初中阶段系统地学习圆的概念和性质,高中阶段将继续学习圆的方程.由此可见圆在几何学习中的重要性.圆的有关性质是进一步研究圆与其他图形关系的主要依据,是学习圆的基础.近年来,圆的基本性质成为了广东省中考选择题、填空题或是解答题第24题的高频考点,也成了日常教学的重难点.1 教学目标本节课的教学任务是巩固圆中弧与角的关系,