立几中一个不等式的加强

设四面体的体积为V,六条棱的乘积为P,则有不等式 P≥72V~2 (1)当且仅当四面体为正四面体时,(1)中的等号成立。 (1)是立几中一个著名的不等式,张景中、杨路两位老师在中国科技学报1981年11卷2期上给出了一种证明。本文将对不等式(1)予以加强,并给出一种简捷证明。     

Weisenbck不等式在三维空间中的推广

设△ABC的三边分别为a、b、c,面积为S,则 a~2 b~2 c~2≥4(3~(1/2)S)当且仅当a=b=c时等号成立,这就是著名的Weisenbock不等式。对此不等式,本文将其推广到三维空间中的四面体,六面体,八面体,十二面体和二十面体中去。定理1 若S_1,S_2,S_3,S_4,V分别表示四面体ABCD的四个面的面积和体积,则     

不等式tgA/2 tgB/2 tgC/2≥3~(1/2)及其应用

设△ABC的三边为a、b、c,f=1/2(a b c),面积为s,外接圆、内切圆的半径分别为R、r。上述这些元素间存在着许多基本不等式,各不等式间有什么内在联系?能否用一个基本等式推导出其它不等式?这就是本文讨论的问题。一、不等式tgA/2 tgB/2 tgC/2≥3~(1/2)的证明及推论在△ABC中,求证tgA/2 tgB/2 tgC/2≥3~1/2(当且仅当A=B=C时等号成立)。证明 ∵     

均值不等式的几何证法

如果a、b∈R+ ,那么a +b2 ≥ab .(当且仅当a =b时取“ =”号 ) .这是高中数学课本中的一个重要不等式 ,很容易用综合法证明 .如果稍加研究 ,这个不等式还有巧妙的几何证法 .图 1证法 1　如图 1所示 ,SABCD≥ 4SAA1 B2 D1 (a+b) 2 ≥ 4ab a +b2 ≥ab .(a =b SA2 B2 C2 D2=0 a+b2 =ab)证法 2　如图 2所图 2示 ,设DA =a ,AB =b ,则有OC =a +b2 ,AC =ab a +b2 ≥ab .(a=b AC与OC重合 a +b2 =ab)图 3　　证法 3　如图 3所示 ,设AB =a ,AC=b ,则有AO =AB+BC2 =a +b -a2 =a +b2 ,AT =ab ,AO≥AT a +b2 ≥ab .(a =b …     

幂不等式及其应用

定理:设p、q、x、y是正数,则px qy≥(p q)xp pqyp qq,当且仅当x=y时等号成立.证明:因为lgx是上凸函数,由琴生不等式得lgppx qqy≥plgpx qqlgy,整理即可得证.推广:设ai,xi∈R (i=1,2,…,n),s=∑ni=1ai,则∑ni=1aixi≥s∏ni=1xisai,当且仅当xi=xj时等号成立.一、证明轮换无理对称不等式1.设a,b是正数,求证:a a3b b b3a≥1证明:设a a3b≥kana nbn(k>0),则(1-k2)a2n 2(ab)n b2n≥3k2ba2n-1(1)由幂不等式,上式的左边≥(4-k2)a2n(41--kk22)(ab)42-nk2b42-nk2=(4-k2)a2n4(2--k2k2)b44-nk2(2)令(1)(2)式的右边相等,解得k=1n=43,所以a a3b≥a43a 4…     

一个不等式的加强

法国LouisPasteur大学的MohammedAassila教授 ,在 1 998年 9月的CruxMathematicorumWithMathematicalMayhem杂志P30 4 上提出了一个初等的不等式 :设a、b、c>0 ,则 :1a( 1 +b) + 1b( 1 +c) + 1c( 1 +a) ≥ 31 +abc. ( 1 )笔者在仔细研读后 ,觉得不等式 ( 1 )虽然形式简洁 ,但左右两边不是齐次的 ,其实该不等式可以进一步加强为 :设a、b、c>0 ,则 :1a( 1 +b) + 1b( 1 +c) + 1c( 1 +a) ≥33 abc 1 + 3 abc . ( 2 )证明　设 3 abc=k(k >0 ) ,则abc=k3,故可设a=k·a2a1,b=k·a3a2,C=k·a1 a3(a1 、a2 、a3>0 )代入 ( 2 ) ,则只须证 :1k·a2…     

四面体中的两个不等式

本文将用初等方法研究四面体中的几个不等式。定理1 设P是四面体ABCD内任意一点,AP交平面BCD于A＇,BP交平面ACD于B＇,CP交平面ABD于C＇,DP交平面ABC于D＇。则 AP·BP·CP·DP/AA＇·BB＇·CC＇·DD＇≤(3/4)~4 (1)当且仅当P为四面体ABCD的重心时,等号成立。     

先决条件不可忽视

小华和小明正在做一道“应用不等式求最值”的习题:已知a,b,c均为正数,且a+b+c=1,求ab~2c~3的最大值。小华解:∵a+b+c=a+ b/2+b/2+c/3+c/3+c/3≥6((a(b/2)~2(c/3)~3)~(1/6)) ∴1≥6((ab~2c~3)~(1/6))/108)),即ab~2~3≤1/432. ∴ab~2c~3的最大值为1/432。小明解:根据a+b+b+c+c+c≥6((ab~2c~3)~(1/6)),当且仅当a=b=c时取等号,右式最大。又∵a+b+c=1,∴a=b=c=1/3。得ab~2c~3=1/729,既ab~2c~3的最大值为两1/729。小华看着小明的结果,诧异地说:“我们都为都是应用正数的算术平均≥几何平均’,结果怎么不同呢?”小     

两个数学问题的统一

《数学通报》2 0 0 3年第 5期、第 9期数学问题栏中第 1 4 35题、1 4 54题分别是 :( 1 ) a、b∈ R ,求证aa 3b bb 3a≥ 1 1( 2 ) a、b >0 ,求证aa2 3b2 bb2 3a2 ≥ 1 2将 2式的结论变形为a2a2 3b2 b2b2 3a2 ≥ 1 3观察不等式 1、3的结构特征 ,可将这两个不等式作出统一的指数推广 .推广　 n∈ N,a、b∈ R ,则　 anan 3bn bnbn 3an ≥ 1 4证明　∵　 ( a3 n4 b3 n4) 2 - ( a3 n4) 2=b3 n2 2 a3 n4b3 n4=b3 n4( b3 n4 a3 n4 a3 n4)≥ b3 n4. 33 a3 n4. a3 n4. b3 n4=3an2 . bn4. b3 n4=3an2 bn.∴　 ( a3 n4 …     

一个不等式的推广

本刊文[1]给出如下姊妹不等式:若a,b,c是正数,且a b c=1,则有1b c-ac 1a-ba 1b-c≥673(1)当且仅当a=b=c=31时取等号.1b c ac 1a ba1 b c≥1613(2)当且仅当a=b=c=31时取等号.不等式(1)可改写为:11-a-a1-1b-b1-1c-c≥673(3)当且仅当a=b=c=31时取等号.本文将把不等式(3)推广为:命题设xi>0(i=1,2,…,n),∑ni=1xi=1,则∏ni=1(1-1xi-xi)≥(n-n1-1n)n(4)当且仅当x1=x2=…=xn=1n时等号成立.引理设f″(x)>0,则1n∑ni=1f(xi)≥f(1ni∑=n1xi)(5)此即著名的Jesen不等式.下面给出(4)式的证明.证设y=f(x)=ln(1-1x-x)(0相似文献   

一个不等式的证明及引伸推广

贵刊 2 0 0 2年第 2期数学问题第 3题是 :设a、b、c ∈R ,且abc =1,求证 :a3(c b) (a c) b3(b c) (b a) c3(c a) (a b) ≥ 34( 1)一、关于不等式 ( 1)的证明原证明是在假定a≥b≥c的前提下运用排序不等式给出的 ,但由于不等式 ( 1)的左端不是关于a、b、c的对称式 ,故原证明有不妥之处 ,下面我们给出不等式 ( 1)的一个证明 .证明 :记不等式 ( 1)的左端为M ,由平均值不等式得a3(c b) (a c) c b8 a c8≥ 33 a364 =3a4,即 a3(c b) (a c) ≥ 5a -b-2c8.同理 ,b3(b c) (b a) ≥ 5b -c-2a8,c3(c a) (a b) ≥ 5c-2a -b8,以上三个不等式…     

一个不等式的推广

《数学通报》2 0 0 3年 5月号“数学问题”14 35 [1] 给出一个优美的对称不等式 :若a ,b >0 ,则　　　 aa 3b bb 3a ≥ 1. (1)9月号问题 14 5 4[2 ] 给出了一个与 (1)形式略有不同的等价不等式 .今给出这个不等式的另一等价形式 ,并对不等式进行逐步推广 .1　与不等式 (1)等价的不等式命题 1　若x ,y>0 ,且xy =1,则　　　 11 3x 11 3y ≥ 1. (2 )证　由条件 ,要证不等式 (2 ) ,只要证 11 3x 11 3y2 ≥ 1,只要证 (1 3x) (1 3y) ≥ 4 ,只要证x y≥ 2 .最后一个不等式显然成立 ,故不等式 (2 )成立 ,当且仅当x=y =1时等号成立 .2　对…     

代数替换证不等式

证不等式,技巧性很强。用三角代换法者屡见不鲜。但若另辟蹊径,巧用本文中的代数代换,又可别开生面,另有一番情趣。例1 已知a,b∈R求证a~2+ab+b~2-3a-3b+3≥0 证明令x=1/2(a+b), y=1/2(a-b), 则a=x+y, b=x-y,于是原式左边=(x+y)~2+(x~2-y~2)十(x-y)~2 -3〔(x+y)+(x-y)〕+3=3x~2+y~2-6x+3=3(x-1)~2+y~2≥0。例2 已知a,b∈R~+,求证(当且仅当c=b时,取等号)。证明:令x=1/2(a+b),y=1/2(a-b),则a=x     

不等式研究成果集锦(11)

131在△ ABC中 ,三边长为 a,b,c,当max( A,B,C)≤ (π - crccosk)时 ,有　 ∑ a2b2 c2 ≤ 2 k2 5k 52 k 3,( 12 ≤ k <1 )当△ ABC为顶角为 (π - arccosk)的等腰三角形时取等号 .(褚小光 .2 0 0 0 ,2 )1 32　在△ ABC中 ,三边长为 a、b、c,则i) ∑ a3b3 c3<389;ii) ∑ a4b4 c4<1 381 7.猜想 ,当 n≥ 2时 ,有∑ anbn cn <2 n-1 22 n 1 .(褚小光 .2 0 0 0 ,2 )1 33　设△ ABC三边长为 a,b,c,则∑( - a b ca ) λ ≥ 3,其中λ≥ p =log2 3- 1 =0 .584 96 2 5… ,且 p是使不等式成立的最小正数 .猜想　设 0≤ xi <1 (…     

IMO试题与欧拉不等式

1　欧拉不等式设△ ABC外接圆半径为 R,内切圆半径为 r,则有　 R≥ 2 r ( 1 )下面寻找该不等式的几种等价形式 .记△为△ ABC的面积 ,s为半周长 ,则△ =rs=abc4R,∴　 4R△ =abc,8△2s =8r△ ,从而 R≥ 2 r等价于 abc≥ 8△2s,由海伦公式 ,又可得欧拉不等式的另一等价形式abc≥ 8( s- a) ( s- b) ( s- c) ( 2 )式 ( 2 )又等价于abc≥ ( b c- a) ( c a- b) ( a b- c) ( 3)对式 ( 3)简证如下 :a2≥ a2 - ( b - c) 2=( a b - c) ( c a - b) ,b2 ≥ b2 - ( c- a) 2=( b c- a) ( a b - c) ,c2 ≥ c2 - ( a - b) 2=( c a - b) (…     

均值不等式的四个使用技巧

均值不等式的使用是一个学习难点 ,这里介绍 4个小技巧 ,帮助同学们熟悉并掌握其简单使用 .均值不等式中最常用的是a+b2 ≥ab(a ,b∈R+ ) ,下面以此不等式的应用为例说明 .1　简单累加累乘无需分组 ,对原有各组分别使用均值不等式 ,再做累加累乘即可 ,这应是优先考虑的情况 .例 1　已知a ,b,c >0 ,则a(b2 +c2 ) +b(c2 +a2 ) +c(a2 +b2 )≥ 6abc .解　左边≥a·2bc +b·2ca +c·2ab =6abc.其中等号成立当且仅当a =b =c时成立 .(下面各例等号成立均为a =b =c,为简便计 ,均省略 )例 2　已知a ,b >0 ,则　　 1a+1b1a2 +1b2 (a3+b3)≥ 8.解　左…     

不等式的性质与证明

1　重、难点分析1)不等式的基本性质是学习的重点 .运用不等式的基本性质解决不等式问题时 ,应注意不等式成立的条件 ,否则会出现错误 .2 )下面是有关基本不等式的重要结论 :若a ,b ,c∈R+ ,则 21a + 1b≤ab≤ a +b2 ≤a2 +b2 (当且仅当a =b时取等号 ) .31a + 1b + 1c≤ 3 abc ≤ a +b +c3≤a2 +b2 +c23(当且仅当a =b =c时取等号 ) .另外由基本不等式可得到下列结论 :① 4ab≤ (a +b) 2 ≤ 2 (a2 +b2 ) (a ,b∈R ,当且仅当a =b时取等号 ) ;② 3(ab+bc +ca)≤ (a +b +c) 2 ≤ 3(a2 +b2 +c2 ) (a ,b ,c∈R ,当且仅当a =b =c时取等号 ) ;③ a…     

关于圆外切闭折线的几个不等式

设△ABC的边长为a ,b,c,其内切圆为⊙ (I,r)即“圆心为I,半径为r” ,则有下面的不等式成立 (证略 ) :AI2 +BI2 +CI2 ≥ 14(a2 +b2 +c2 ) + 3r2( 1 )文献 [1 ]中还有以下不等式 :AI+BI+CI≥ 6r ( 2 )( 1 )、( 2 )中等号成立当且仅当a=b=c.本文将推广这两个不等式 ,证明关于圆外切闭折线的几个不等式 .定理 1　设平面闭折线A1 A2 A3…AnA1 的内切圆为⊙ (I,r) ,其边长为 ｜AiAi+1 ｜=ai(i=1 ,2 ,… ,n ,且An+1 为A1 ) ,则有∑ni=1AiI2 ≥ 14∑ni=1a2 i+nr2 ( 3)当且仅当a1 =a2 =… =an 时取等号 .证明　设已知闭折线的边AiAi- 1 …     

几类特殊四面体的外接球问题

我们知道,每个四面体都有外接球,球心就是各条棱的中垂面的交点,这个点到各个顶点的距离都相等.给出一个四面体求它的外接球半径,是一类常见的问题.下面以近几年的高考题为例来说明几类特殊四面体的外接球半径的求法.1等腰四面体的外接球三对对棱分别相等的四面体叫做等腰四面体,从长方体的一个顶点出发的三条面对角线,以及另三个端点连成的三条面对角线可以构成一个等腰四面体.设等腰四面体的三条棱长分别是a,b,c,通过构造长方体,可以求得它的外接球半径为R=24a2 b2 c2.特别地,当a=b=c时,棱长为a的正四面体的外接球半径为R=46a.例1(2003年…     

用均值不等式等号成立条件解题

在高中《代数》下册(必修本)P.8介绍了不等式的定理1及其推论: 定理1 如果a,6∈R,那么a~2 b~2≥2ab,(当且仅当a=6时取“=”号)。 推论 如果a,6∈R~ ,那么a b/2≥ab~(1/2)(当且仅当a=b时取“=”