tg(A/2)+tg(B/2)+tg(C/2)≥3~(1/2)新证

众所周知,在△ABC中,有不等式 tgA/2+tgB/2+tgc/2≥3~(1/2) (1) 当且仅当△ABC为正三角形时取等号。本文介绍不等式(1)的一种新证法。证明∵tgC/2=(1-tgA/2tgB/2)/tgA/2+tgB/2)     

再谈tgA tgB tgC=tgAtgBtgC

这是高中代数上册一道习题:在△ABC中,求证:tgA tgB tgC=tgAtgBtgC成立。不少文章介绍了它应用。本文再列举几例。例1 求证海伦公式 S△ABC=(p(p-a)(p-b)(p-c))~(1/2) 其中,a,b,c是△ABC的三条边长,p=(a b c)/2。     

一类条件式的几何“背景”及其应用

我们知道,对任意△ABC,有恒等式tgA/2tgB/2 tgB/2tgC/2 tgC/2tgA/2=1,ctgActgB ctgBctgC ctgCctgA=1。 上述两式都呈现出xy yz zx=1型的结构,反之,对条件式xy yz zx=1,则有下述几何“背景”:     

三角形中Σ1/a~2的改进形式

文 [1]给出了关于三角形三边的不等式 :设△ABC的三边长分别为a、b、c ,外接圆半径为R ,内切圆半径为r,半周长为s,面积为△ ,则1a2 1b2 1c2 ≤ 3 3R8rΔ ( 1)本文将证明上述不等式的一个改进为 (符号意义同上 ) :1a2 1b2 1c2 ≤ 14r2 ( 2 )1a2 1b2 1c2 ≥ 12Rr ( 3 )证明 :在△ABC中 ,可设a =y z,b =x z,c =x y ,则 1a2 1b2 1c2 =1(y z) 2 1(x z) 2 1(x y) 2 =1(y-z) 2 4yz 1(x-z) 2 4xz 1(x -y) 2 4xy≤ 14 ( 1yz 1xz 1xy) (当且仅当(转封三 )(接 48页 )x =y=z时取“ =”号 ) =14 ·x y zxyz将三角形中的恒等式 :x y z=…     

一道三角不等式的简证

1996年，湖北周永良在全国第三届初等数学研究学术交流会论文集中提出了一对十分有趣的不等式：在锐角上△ABC中，有等号成立当且仅当△ABC为正三角形．1997年，江西辛秋生对（1）式又给出了一种漂亮的证法[1]．受其启发，笔者发现了（2）式的一个简单的证明．兹介绍于下．证明因在关于正数x、y、z的常见不等式（等号成立当且仅当x＝y＝z）中取x＝tgB＋tgC，y＝tgC＋tgA，z＝tgA＋tgB，即知（3）式成立．从而，（2）式成立．一道三角不等式的简证@宋庆$江西省永修一中!3303041辛秋生．一道三角不等式的新证法．中学数学（湖北），1997…     

构造方程解三角题

数学中有些问题,虽不是方程问题,但用题设条件及所给的数量关系,可构想出一个方程,使所给问题在这一方程下实现转化,通过方程知识使问题获得解决.这种解决问题的方法我们称为“构造方程法”,下面仅谈一谈这一方法在解决某些三角问题中的应用。例1 在△ABC中,求证: tgA/2tgB/2+tgB/2tgC/2+tgC/2tgA/2=1。证明:作方程     

IMO试题与欧拉不等式

1　欧拉不等式设△ ABC外接圆半径为 R,内切圆半径为 r,则有　 R≥ 2 r ( 1 )下面寻找该不等式的几种等价形式 .记△为△ ABC的面积 ,s为半周长 ,则△ =rs=abc4R,∴　 4R△ =abc,8△2s =8r△ ,从而 R≥ 2 r等价于 abc≥ 8△2s,由海伦公式 ,又可得欧拉不等式的另一等价形式abc≥ 8( s- a) ( s- b) ( s- c) ( 2 )式 ( 2 )又等价于abc≥ ( b c- a) ( c a- b) ( a b- c) ( 3)对式 ( 3)简证如下 :a2≥ a2 - ( b - c) 2=( a b - c) ( c a - b) ,b2 ≥ b2 - ( c- a) 2=( b c- a) ( a b - c) ,c2 ≥ c2 - ( a - b) 2=( c a - b) (…     

一个涉及Fermat点的不等式的推广

设△ ABC的三边和面积分别为 a,b,c及△ .F是△ ABC内的 Fermat点 ,AF、BF、CF的延长线分别交对边于 A′、B′、C′.记 AA′=fa,BB′=fb,CC′=fc.文 [1]建立了如下不等式 :f2a f2b f2c≥ 3 3△ (1)等号当且仅当△ ABC为正三角形时成立 .本文将把 (1)式推广为 :若 t≥ 2或 t<0 ,则　 fta ftb ftc≥ 3(3△ ) t2 (2 )等号当且仅当△ ABC为正三角形时成立 .为证明 (2 )式 ,先给出一个引理 .引理　设 a1 ,a2 ,… ,an ∈ R ,k≥ 1或k <0 ,则　　∑ni=1aki ≥ n(1n∑ni=1ai) k (3)此结果见文 [2 ].下面证明 (2 )式 .证明　由 t≥ 2…     

加权Weitzenbck不等式的两个证明

设△ABC的三边与面积分别为a,b,c与△,则 a~2 b~2 c~2≥4 3~(1/2)△, (1)等号当且仅当△ABC为正三角形时成立。不等式(1)称为不等式。众所周知,它有以下加权推广(见[1]): 定理设△ABC的边长与面积分别为a,b,c,△,又x,y,z中至少有两个正数,且yz zx xy>0,则 xa~2 yb~2 zc~2≥4(yz zx xy△)~(1/2), (2)等号当且仅当a~2:b~2:c~2=(y z);(z x):(x y)时成立。关于不等式(1)的证明,已经有了很多证法。不等式(2)的证明却较少见,[1]中采用了解析法,但未完整地给出等号成立的确定过程。[2]中采用配方法证明了,对任意实数x,y,z有:     

伴内心三角形的一组优美不等式

定理　设△ ABC与其伴内心△ A′B′C′的边长分别为 a,b,c与 a′,b′,c′;外接圆半径分别为 R与 R′;内切圆半径分别为 r与 r′;半周长分别为 s与 s′;面积分别为△与△′.则有　△′≤ 14△　 ( 1 )　　　 R′≥ 14R ( 2 )　 s′≥ 12 s ( 3) r′≤ 12 r ( 4)等式成立当且仅当△ ABC是正三角形 .笔者在文 [1 ]中建立了不等式 ( 1 ) ( 2 ) ,今另辟蹊径建立了不等式 ( 3) ( 4) ,先介绍 :引理　 (第二届友谊杯国际数学邀请赛试题 )设 a,b,c都是正数 ,则a2b c b2c a c2a b≥ a b c2 . ( 5)证明　由伴内心定义 ,AC′C′B=ab…     

不等式研究成果集锦(11)

131在△ ABC中 ,三边长为 a,b,c,当max( A,B,C)≤ (π - crccosk)时 ,有　 ∑ a2b2 c2 ≤ 2 k2 5k 52 k 3,( 12 ≤ k <1 )当△ ABC为顶角为 (π - arccosk)的等腰三角形时取等号 .(褚小光 .2 0 0 0 ,2 )1 32　在△ ABC中 ,三边长为 a、b、c,则i) ∑ a3b3 c3<389;ii) ∑ a4b4 c4<1 381 7.猜想 ,当 n≥ 2时 ,有∑ anbn cn <2 n-1 22 n 1 .(褚小光 .2 0 0 0 ,2 )1 33　设△ ABC三边长为 a,b,c,则∑( - a b ca ) λ ≥ 3,其中λ≥ p =log2 3- 1 =0 .584 96 2 5… ,且 p是使不等式成立的最小正数 .猜想　设 0≤ xi <1 (…     

一类三角形不等式的统一证明

本文通过一个不等式 ,给出一类三角形不等式的统一证明 .定理　△ ABC中 ,BC =a,CA =b,AB= c,记 T1=a b c,T2 =ab bc ca,T3 =abc,则有　　 T3 1- 4 T1T2 9T3 ≥ 0 (1 )　　 T3 1- 4 T1T2 8T3 <0 (2 )证明　在△ ABC中 ,由两边之和大于第三边 ,同时注意到T3 1- 4 T1T2 8T3 =- (a b - c) (b c- a) (c a - b) .则　 T3 1- 4 T1T2 9T3 =- (a b- c) (b c - a) (c a - b) abc.于是　 T3 1- 4 T1T2 8T3 <0 ,此即 (2 )式 .而　 (a b- c) (b c- a) (c a- b)≤ abc,因而　 T3 1- 4 T1T2 9T3 ≥ 0 ,此即 (1 )式 ,于是定…     

用 a+b/2≥a~(1/2)证明 a+b+c/3bc~(1/3)

高中代数教材在证明平均值不等式a+b/2≥ab~(1/2)和a+b+c/3≥(abc)~(1/3)时,各自采用了独立的证法。我们为强调基础知识的作用,采用二元平均不等式证明三元平均不等式的方法。设a,b,c∈R~+,求证a~3+b~3+c~3≥3abc.     

关于∑(a/(b c))~(1/2)的上界

设△ ABC的三边长为 a、b、c,则有∑ ab c>2 ,其中 2是最佳的 .本文将讨论 ∑ ab c的最佳上界 .定理　在△ ABC中 ,有∑ ab c<2 33 1 ,( * )且 2 33 1是最佳的 .证明　 ( * )式关于 a、b、c完全对称式不等式 ,故设 c =1 ,a≥ b≥ 1 ,a 相似文献   

Cordon不等式的逆向不等式

设a,b,c分别为△ABC的三条边长,ha,hb,hc分别为三边a,b,c上的高,ta,tb,tc分别为△ABC三个内角的平分线长,R,r分别为△ABC的外接圆半径、内切圆半径,p为△ABC的半周长,表示对a、b、c循环求和.文[1]介绍了1967年,V.O.Cordon建立的不等式:a2hb2 hc2≥2.本文建立Cordon不等式的逆向不等式:a2hb2 hc2≤Rr.当且仅当△ABC为正三角形时等号成立.证明　在△ABC中,ha=c.sinB,hb=a.sinC,hc=a.sinB.∴hb2 hc2=a2sin2C a2sin2B=a24R2(b2 c2)∴hb2 hc2a2=14R2(b2 c2),a2hb2 hc2=4R2b2 c2.∴a2hb2 hc2=4R21b2 c2≤4R212bc=4R2abca2=4R2pabc…     

一个几何不等式的简证

文 [1 ]证明了 ∑ a2t2b t2c≤ Rr(当且仅当△ ABC为正三角形时等号成立 ) .下面我们给出上述不等式的简单证明 .证明　∑ a2t2b t2c≤ ∑ a2h2b h2c≤ ∑ a22 hbhc　 =∑ a2 bc8Δ2 =abc4Δ∑ a2Δ=R .1r =Rr.由上述证明过程可知 ,我们得到了比∑ a2t2b t2c≤ Rr更强的不等式 ∑ a2h2b h2c≤Rr(当且仅当△ ABC为正三角形时等号成立 )故有不等式链 :2≤ ∑ a2t2b t2c≤ ∑ a2h2b h2c≤ Rr一个几何不等式的简证!528219$广东省南海市南庄高中@郝迎利1　张才元,陶兴模.一个猜想的否定.中学数学,1999,8…     

关于三角形中线的一个不等式

文 [1 ]给出了关于三角形中线乘积的一个不等式 :mambmc≥ 18R∑b2 c2 ( 1 )本文将给出中线乘积的一个上界 ,以下恒用 a,b,c,ma,mb,mc,s,R,r和△分别表示△ ABC的三边边长、中线、半周长、外接圆半径、内切圆半径和面积 .并用 ∑ 表示循环和 ,Π表示循环积 .定理　在△ ABC中 ,有mambmc≤ R8(∑a) 2 (2 )当且仅当△ ABC为正三角形时等号成立 .证明　由中线公式 4 m2a =2 b2 2 c2 - a2 ,知64m2am2bm2c =Π( 2 b2 2 c2 - a2 )=- 4( ∑a2 ) 3 1 8∑a2 ∑b2 c2 - 2 7Πa2故 ( 2 )式等价于- 4( ∑a2 ) 3 1 8∑a2 .∑b2 c2 -2 7Πa2 …     

费一哈不等式的一组等价命题及应用

设△ABC的三边为a、b、c,面积为S,则a~2+b~2+c~2≥4(3～(2/1))(当且仅当a=b=c时取等号) 这一不等式称为费恩斯列尔——哈德维格尔不等式。笔者发现它有一组等价命题和有很多重要应用。     

关于r_a、r_b、r_c的若干不等式

在△ABC中,设a、b、c为其三边;p=1/2(a b c);r_a、r_b、r_c为其三个旁切圆的半径;r、R分别为其内切圆、外接圆半径;t_a、t_b、t_c为其三条内角平分线;h_a、h_b、h_c分别为其三边上的高;△为其面积。本文证明了关于r_a、r_b、r_c的下述不等式(为节省篇幅,以下命题只写结论)。 1°9r≤3~(1/2)p≤r_a r_b r_c≤(9/2)R (1) 证易证r_a r_b r_c=4R r,以及r_ar_b r_br_c r_cr_a=p~2,由欧拉不等式R≥2r,得右边不等式。另方面,由代数不等式χ y z≥(3(χy yz zχ))~(1/2)及不等式p≥3(3~(1/2))r得r_a r_b r_c≥3~(1/2)p≥9r ∴ (1)式成立 2°27r~3≤r_ar_br_c≤(3~(1/2))/9p~3≤(27/8)R~3 (2) 证易证r_ar_br_c=rp~2,p≥3 3~(1/2)r,得r_ar_br_c≥27r~3另方面。r_ar_br_c=(r_ar_b·r_br_c·r_cr_a)~(1/2)≤     

关于圆外切闭折线的几个不等式

设△ABC的边长为a ,b,c,其内切圆为⊙ (I,r)即“圆心为I,半径为r” ,则有下面的不等式成立 (证略 ) :AI2 +BI2 +CI2 ≥ 14(a2 +b2 +c2 ) + 3r2( 1 )文献 [1 ]中还有以下不等式 :AI+BI+CI≥ 6r ( 2 )( 1 )、( 2 )中等号成立当且仅当a=b=c.本文将推广这两个不等式 ,证明关于圆外切闭折线的几个不等式 .定理 1　设平面闭折线A1 A2 A3…AnA1 的内切圆为⊙ (I,r) ,其边长为 ｜AiAi+1 ｜=ai(i=1 ,2 ,… ,n ,且An+1 为A1 ) ,则有∑ni=1AiI2 ≥ 14∑ni=1a2 i+nr2 ( 3)当且仅当a1 =a2 =… =an 时取等号 .证明　设已知闭折线的边AiAi- 1 …