随机图中[k,k+1]-因子的存在性

设G=G(n,p)是一个随机图,其顶点数为n,任两个顶点之间有边相关联的概率为p=p(n),k是一个正整数满足knp-2(nplogn)~(1/2).图G的—个支撑子图F称作是图G的—个[k,k+1卜因子,如果对任一个x∈V(G),都有k≤dF(x)≤k+1.我们证明任意满足p≥n~(-2/3)的随机图G(n,p)几乎一定包含[k,k+1]-因子.     

实数p~(1/2)+(p+k)~(1/2)是无理数的证明

<正>定理若p为半偶数,k为奇数,则槡p^(1/2)+(p+k)(1/2)+(p+k)^(1/2)是无理数.先给出半偶数的概念:能被2整除但不能被4整除的偶数称为半偶数.如2,6,10,14等.注意,定理中的半偶数的条件是必要的,否则定理不真.如4(1/2)是无理数.先给出半偶数的概念:能被2整除但不能被4整除的偶数称为半偶数.如2,6,10,14等.注意,定理中的半偶数的条件是必要的,否则定理不真.如4^(1/2)(4+5)(1/2)(4+5)^(1/2)不是无理数,原因为4不是半偶数.下面证明定理.     

p阶临界2-边连通图的最大边数

设G=(V,E)是2-边连通图,若对每个点v∈V,G-v不是2-边连通图,则称G是临界2-边连通图. 本文证明了p阶临界2-边连通图的最大边数是 7, P=6; (1/8)(P~2+4p) p=0(mod 4); f(p)= (1/8)(P~2+2p+13) p=1(mod 4); (1/8)(P~2+28) p=(2mod 4),p≠6 (1/8)(P~2+2p+9) p=3(mod 4)。并且给出了达到最大边数的极值图.     

在1/2Z~+中的(F-Z_1)-可流拟阵(M-Z_1)/Z_2

研究在1/2Z⁺中的F-可流拟阵的幼阵的可流性.首先给出F-可流拟阵的充要条件及在1/2Z+中的F-可流拟阵的幼阵的可流性.首先给出F-可流拟阵的充要条件及在1/2Z⁺中是F-可流拟阵的定义.证明了辅助命题:若拟阵是无环元的,则它的每个元素都恰在k个余极小圈之中;对满足一定的条件的极小圈集合,成立最小极小圈集合的等式.设映射p′在幼阵中满足1/2Z+中是F-可流拟阵的定义.证明了辅助命题:若拟阵是无环元的,则它的每个元素都恰在k个余极小圈之中;对满足一定的条件的极小圈集合,成立最小极小圈集合的等式.设映射p′在幼阵中满足1/2Z⁺中(F-Z_1)-可流拟阵的不等式,由p′定义p.证明p在拟阵中满足同样的不等式.由映射Φ满足是12/Z+中(F-Z_1)-可流拟阵的不等式,由p′定义p.证明p在拟阵中满足同样的不等式.由映射Φ满足是12/Z⁺中F-可流拟阵的等式,可找到最小属于幼阵的极小圈,定义Φ′(C′)则可证明Φ′满足在1/2Z+中F-可流拟阵的等式,可找到最小属于幼阵的极小圈,定义Φ′(C′)则可证明Φ′满足在1/2Z⁺中是(F-Z_1)-可流的等式.即由在1/2Z+中是(F-Z_1)-可流的等式.即由在1/2Z⁺中F-可流拟阵的充要条件,证明了幼阵在1/2Z+中F-可流拟阵的充要条件,证明了幼阵在1/2Z⁺中是(F-Z_1)-可流的.     

2011年高中数学联赛(B卷)第8、9题解法探究

第8题抛物线y2=2p(x-p/2)(p>0)上动点A到点B(3,0)的距离的最小值记为d(p),求满足d(p)=2的所有实数p的和.解法一设抛物线上动点A(x,y),有y2=2p(x-p/2),则|AB|2=(x-3)2+y2=(x-3)2+2p(x-p/2)=x2+2(p-3)x+(9-p/2)=(x+p-3)2-2p2+6p,(x≥p/2)     

退化弱(L1,L2)-BLD映射的正则性

本文给出空间退化的弱(L1,L2)-BLD映射的定义.利用Hodge分解,弱逆Holder不等式等工具,证明了其正则性结果对任意满足0＜L2lnl/2l2n+l×100n2[23l/2.(24l+n+1)](l-q1)＜1的q1,都存在可积指数p1=p1(n,l,q1,L1,L2)＞l,使得对任意退化的弱(L1,L2)-BLD映射f∈W1,q1 loc(Ω,Rn),都有f∈W1,p1 loc (Ω,Rn),即f为通常意义下的退化的(L1,L2)-BLD映射.     

数形结合 另解一道数学竞赛题

<正>2017年全国初中数学邀请赛第11题:已知二次函数y=x²+2mx-3m+1,自变量x及实数p、q满足4p2+2mx-3m+1,自变量x及实数p、q满足4p²+9q2+9q²=2,1/2x+3pq=1,且y的最小值为1.求m的值.解由1/2x+3pq=1可得x+6pq=2,即2p×3q=2-x.∵4p2=2,1/2x+3pq=1,且y的最小值为1.求m的值.解由1/2x+3pq=1可得x+6pq=2,即2p×3q=2-x.∵4p²+9q2+9q²=2,∴4p2=2,∴4p²+2×2p×3q+9q2+2×2p×3q+9q²=2+2×(2-x)=6-2x,即(2p+3q)2=2+2×(2-x)=6-2x,即(2p+3q)²=6-2x.     

一类修正Gross-Pitaevskii方程基态解的存在性

该文利用伸缩变换结合重排不等式等技巧得到了修正Gross-Pitaevskii方程对应极小化问题极小元的存在性与非线性项指数p的依赖关系.当2 p 2+4/N时,对任意c 0,极小化问题存在极小元.若p=2+4/N且c≤‖φ‖_2或者c(3/2)~(N/4)‖φ‖_2(‖φ‖_2的定义见第一节)或p 2+4/N,问题不存在极小解.而对于p=2+4/N且‖φ‖_2 c(3/2)~(N/4)‖φ‖_2,不知道是否存在极小解.     

实二次域Q(√p)(p≡3(mod4))类数的上界

设p是适合p≡3(mod4)的奇素数,h,分别是实二次域Q(√p)的类数和基本单位.本文运用初等方法证明了:εh<(p+a+2)a+2/4(a+2)!,其中a=[(√p+1)/2].     

实二次域Q(P(1/2))(p≡3(mod 4))类数的上界

设p是适合p≡3（Pod4）的奇素数,h,ε分别是实二次域Q的类数和基本单位．本文运用初等方法证明了：εh＜（p+a+2)a+2/4(a+2)!,其中     

Blaschke张量的行列式为常数的2维子流形的研究

本文研究了S^(2+p)中2维子流形的莫比乌斯刚性问题.设M^(2)是^(2+p)维单位球S^(2+p)中的无脐子流形,M^(2)在S^(2+p)的莫比乌斯变换群下的四个莫比乌斯基本量为莫比乌斯度量g,Blaschke张量A,莫比乌斯形式Φ以及莫比乌斯第二基本形式B,利用不等式估计,证明了下列刚性定理:设x:M^(2)→S^(2+p)是^(2+p)维单位球S^(2+p)中莫比乌斯形式消失的2维紧致子流形,Blaschke张量A的行列式Det A=c(const)>0,若tr A≥1/4,那么x(M^(2))莫比乌斯等价于S^(2+p)中常曲率极小子流形或者S^(3)(1/√1+c^(2))中环面S^(1)(r)×S^(1)(√1/1+c^(2)-r^(2)),其中r^(2)=2-√1-64c/4(1+c^(2)).本文的证明补充了文献[3]中2维子流形情形.     

球面稳定同伦群的两个新元素h0(b1)3(γ)s和(b1)3g0(γ)s

本文证明了当p(＞-)11,3(<-)s＜p-3时,h0(b1)3∈Ext7,3p2q+qA(H*V(2),Zp),(b1)3g0∈Ext8,3p2q+pq+2q(H*V(2),Zp)在Adams谱序列中分别收敛到π*V(2)的非零元,h0(b1)3(γ)s∈Ext7+s,(s+3)p2q+(s-1)pq+(s-3)A(Zp,Zp)在Adams谱序列中分别收敛到π*S的非零p阶元.     

有限非链环Fq+vFq上的2维斜常循环码

令R=F_q+vF_q是一个有限非链环,其中q是一个奇素数的方幂,v²=v.文章利用二元斜多项式环R[x,y;ρ,θ]来研究环R上的2维斜常循环码的代数结构和相关性质,其中ρ和θ是环R上的两个自同构映射.基于中国剩余定理,文章确定了环R上2维(α₁+β₁v,α₂+β₂v)-斜常循环码的生成元结构并且考虑了它们的Gray象,其中α₁+β₁v和α₂+β₂v都是环R上的可逆元.此外,文章研究了环R上2维(α₁+β₁v,α₂+β₂v)-斜常循环码的对偶码并且确定了对偶码子码的生成元结构.     

关于Littlewood的一个问题

本文证明了: (1)如果{a_n}_n~N=1是非负不减序列,p>0,q>0,0≤r≤1,且p(q+r)≥q+p,则sum from n=1 to N(a_n~pA_n~q)(sum from m=n to N(a_n~(1+p/q)~r≤1·sum from n=1 to N(a_n~pA_n~q)~(1+p/q),其中A_n=sum from m=n to n (a_m).上述不等式在0≤r≤1时完全解决了H.Alzer~([4])在1996年提出的一个问题,且1是最佳常数; (2)如果{a_n}_n~N=1是非负序列,p,p≥1,r>0,r(p-1)≤2(q-1),令α=((p-1)(q+r)+p~2+1)/(p+1) β=(2p+2r+p-1)/(q+1),σ=(q+r-1)/(p+q+r)则sum from n=1 to N (a_n~p)sum from i=1 to n (a_i~qA_i~r)≤2~σsum from n=1 to N(a_n~αA_n~β)(0.2)(0.2)式改进了G.Be(?)et~([2,3])在1987年对Littlewood一个问题的结果,常数因子的3/2降为2~(3/2)=1.2598…     

Diffeomorphism classification of smooth weighted complete intersections

Xn(d1, . . . , dr-1, dr; w) and Xn(e1, . . . , er-1, dr; w) are two complex odd-dimensional smooth weighted complete intersections defined in a smooth weighted hypersurface Xn+r-1(dr; w). We prove that they are diffeomorphic if and only if they have the same total degree d, the Pontrjagin classes and the Euler characteristic, under the following assumptions: the weights w = (ω0, . . . , ωn+r) are pairwise relatively prime and odd, νp(d/dr) ≥ 2n+1/ 2(p-1) + 1 for all primes p with p(p-1) ≤ n + 1, where νp(d/dr) satisfies d/dr =Ⅱp prime pνp (d/dr).     

函数F(α)=的最优单调区间

设p≥0且A,B是Hilbert空间上两个正算子,Furuta给出若A≥B＞0,那么对任意r≥0,F(α)=(ArBαAr)p+2r/α+2r是关于α≥p单调递减的,但是他指出这个结果在0≤α≤p和r≥0的条件下并不一定成立.本文给出(1)如果-1/2＜r＜0且p＜-2r,那么F(α)在[-p-4r,+∞)及(-∞,p]上单调递减,并且这两个区间不能扩大;(2)如果-1/2＜r＜0且p＞-2r,那么F(α)在(-∞,-p-4r]及[p,+∞)上单调递增,并且这两个区间不能扩大;(3)如果r＞0,p＞0,那么[p,+∞)也是F(α)的最佳单调区间.     

形如1/3(2~p+1)的孤立数

设p是奇素数.X_p=1/3(2~p+1),证明了:X_p都是孤立数.     

Mordell方程y~3=x~2+2p~4的正整数解

设p是奇素数.对于非负整数r,设U_(2r+1)=(α~(2r+1)+β~(2r+1))/2~(1/2),V_(2r+1)=(α~(2r+1)-β~(2r+1))/6~(1/2),其中α=(1+3~(1/2))/2~(1/2),β=(1-3~(1/2))/2~(1/2).运用初等数论方法证明了:方程y~3=x~2+2p~4有适合gcd(x,y)=1的正整数解(x,y)的充要条件是p=U_(2m+1),其中m是正整数.当上述条件成立时,方程仅有正整数解(x,y)=(V(2m+1)(V_(2m+1)~2-6),V_(2m+1)~2+2)适合gcd(x,y)=1.由此可知:当p10000时,方程仅有正整数解(p,x,y)=(5,9,11),(19,1265,123),(71,68675,1683)和(3691,9677201305,4541163)适合gcd(x,y)=1.     

HUA’S THEOREM WITH FIVE ALMOST EQUAL PRIME VARIABLES

It is proved that each sufficiently large integer N=5(mod24) can be written as N=p1^2+p2^2+p3^2+p4^2+p5^2 with|pj=√N/5|&#177;、≤U=N^1/2-1/35+e,where pj ae primes.This result,which is obtained by an iterative method and a hybrid estimate for Dirichlet polynomial, improves the previous results in this direction.     

Mordell-Weil groups and Selmer groups of twin- prime elliptic curves

Let E = Eσ : y2 = x(x + σp)(x + σq) be elliptic curves, where σ = ±1, p and q are primenumbers with p+2 = q. (i) Selmer groups S(2)(E/Q), S(φ)(E/Q), and S(φ)(E/Q) are explicitly determined,e.g. S(2)(E+1/Q)= (Z/2Z)2, (Z/2Z)3, and (Z/2Z)4 when p ≡ 5, 1 (or 3), and 7(mod 8), respectively. (ii)When p ≡ 5 (3, 5 for σ = -1) (mod 8), it is proved that the Mordell-Weil group E(Q) ≌ Z/2Z Z/2Z,symbol, the torsion subgroup E(K)tors for any number field K, etc. are also obtained.