有限域上一类不可约多项式（英文）

设F_q为q元有限域,其中q是素数p的幂,设n是一个正整数.F_q上一个n次首一多项式f(x)的迹定义为x~(n-1)的系数.令N_q(n,t)表示F_q上迹为t∈F_q的n次首一不可约多项式的个数.基于给定多项式的普通分解与其线性化q-相伴式的符号分解之间的关系,本文给出了一种计算N_q(n,t)的新途径.     

x~N ±a在有限域上的完全分解

设F_q为一个阶为q的有限域,其中q为奇素数的幂.本文主要利用多项式分解相关理论得到几类多项式的完全分解,给出了当N=2~mp~n时x~N±a∈F_q[x]在F_q上的完全分解,其中m,n均为正整数,p为q-1的素因子,且p≠2.结果表明当a取作F_q中元素β的某些特殊方幂时,x~N±a在F_q上不可约因式都是二项式或三项式.     

x~(2~ap~br~c)-1在有限域上的完全分解

F_q是阶为奇素数幂q的有限域.本文给出了x~(2~ap~br~c)-1在Fq中完全分解式,其中a,b,c均为正整数,p,r为q-1的两个不同的奇素数因子.结果表明x~(2~ap~br~c)-1在F_q上的所有不可约因子均为二项式或三项式.对一般情况,如果用v_p(m)表示正整数m的标准分解中素因子p的次数,假设m的每个素因子都整除q-1,那么:(1)当v_p(m)≤v_p(q-1)对任意素数p|q-1成立时,x~m-1在F_q上的不可约因子都是二项式;(2)当q≡3(mod 4)时,x~m-1在F_q上的不可约因子都是二项式或者三项式.     

有限几何与不完全区组设计的构作(VI)利用有限域上向量空间的子空间而构作的多个结合类的结合方案

1.引言设F_q是q个元素的有限域,q是一个素数的幂。以v_n(F_q)表由所有n维行向量的全体所组成的F_q上的n维向量空间。v_n(F_q)上作用着n级一般线性群GL_n(F_q),它由F_q上所有n×n 非奇异矩阵组成。v_n(F_q)的一个m维子空间P可用一个秩为m的m×n矩阵来表示,只要这个矩阵的m个行向量组成P的一组基。我们常用同一字母P来代表表示一个子空间P的矩阵。当然同一子空间可用不同的矩阵P和Q表示,只要有     

自共轭互反多项式的推广

文章给出有限域F_(q~2)上x~(q~(n+1))-λ的分解和首一不可约λ-自共轭互反多项式的计数公式,其中q是素数方幂,λ∈F_q~*.进一步,得到了F_(q~2)上x~n+1的自共轭互反多项式因子的计数公式.将此公式应用在负循环码上,F_(q~2)上厄米特互补对偶负循环码的个数也被确定.     

有限几何与不完全区组设计的构作(Ⅳ)特征≠2的有限域上的正交几何中的计数定理

<正> §1.V_n(F_q)的子空间对于正交群 O_n(F_q)的分类.以 F_q 表 q 个元素的有限域,而 q 是一个奇素数的冪.我们知道,F_q 上 n 阶可逆对称矩阵,当n为偶数时,必合同于■其中■是定号方阵,即     

有限几何与不完全区组设计的构作(Ⅰ)——有限域士辛几何中的若干计数定理

<正> §1.引言以 F_q 表 q 个元素的有限域,q 是一个素数的冪.考察 F_q 上所有 n 数组(x_1,x_2,…,x_n),x_i∈F_q,i=1,2,…,n,所组成的 n 维向量空间 V_n(F_q).V_n(F_q)的任—m 维子空间 P(1≤m≤n)都可以用一个秩为 m 的 m×n 矩阵来代表,只要这个矩阵的 m 个行向量组成 P 的一组基.我们把代表这个子空间 P 的矩阵仍记作 P.自然两个秩为 m 的m×n 矩阵 P 和 Q 代表同一子空间,当且仅当有 m×m 非奇异矩阵 A 存在使得 P=AQ.以下设 n=2ν是偶数,并考察 F_q 上的2ν×2ν的非奇异交错矩阵     

利用辛几何中2维非迷向子空间构作PBIB设计

设F_q是q个元素的有限域n=2v为偶数,v≥2。在本文中,我们利用F_q上2v维辛几何中2维非迷向子空间作处理构作q+2个结合类的结合方案和PBIB设计,并计算了它们的参数。     

两个新高斯系数恒等式的证明

设F_q是q个元素的有限域,其中q是素数的幂,利用有限域F_q上n维向量空间F_q~((n))中子空间的几何意义及其计数公式证明了两个新的高斯系数恒等式.     

偶特征有限域上对称矩阵结合方案

设S(n,q)是偶特征有限域F_q上n×n对称矩阵所成的集合.令R_i={(X,Y)|X,Y∈S(n,q),rank(Y-X)=2i-1,2i},0≤i≤[(n+1)/2]采用矩阵方法,证明了Sym(n,q)={s(n,q),{R_i}_(0≤i≤)[(n+1)/2]}是[(n+1)/2]个结合类的P—多项式对称结合方案,而Sym(n,q)的结合关系的图Γ~((1))是正则的,并且它同构于交错矩阵结合方案.此外,又给出Sym(n,q)的自同构形式.     

p-adic 超几何函数与 Dwork超曲面上的有理点

p-adic超几何函数是经典的Gauss超几何函数在有限域上的模拟，与许多数论问题都有联系.设F_q是q元有限域，λ∈F_q，n为正整数.本文研究了Dwork超曲面D_λⁿ：x₁ⁿ+x₂ⁿ+…+x_nⁿ=nλx₁x₂…x_n及其推广形式上的F_q-有理点，并在n与q（q-1）互素时给出了由p-adic超几何函数表示的各种F_q-有理点个数的公式，从而修正和改进了Barman与Goodson等人的结论.     

达到渐近GV界的一种线性映射族构造方法——生成Shannon好码渐近序列的新进展

给定有限域F_q(q≥2)、任意正整数n和k(n>k),F_q上的线性映射序列(代数族){σ_i}(σ_i:F_q^k→F_qⁿ(i→∞))的构造方法已经成为信息科学中编码理论的一个中心问题,一般称为实现Shannon理想的代数族途径.迄今为止,发现这种代数族{σ_i}的更好结构,并由它导出Shannon好码渐近序列{[n_i,k_i,d_i]}仍是一个尚未彻底解决的挑战性难题和持续不断的努力目标.衡量这种代数族的好坏,除了看{σ_i}的构造是否有利于通信工程实现(构造简明,执行复杂度低)之外,最重要的一个基本标准是看{σ_i}导出的序列{[n_i,k_i,d_i]}诸参数的渐近极限结果是否不至于衰减到渐近GilbertVarshamov(GV)界之下,该问题吸引了许多数学工作者的关注.本文从矩阵映射的观点给出一种生成任意有限域F_q上代数族{σ_i}的新方法,并表明由{σ_i}导出的渐近码序列{[n_i,k_i,d_i]}可达渐近GV界之上.这种新的代数族生成途径对于信息编码理论及其工程应用都具有很重要的意义.     

Polynomials with palindromic and unimodal coefficients

Let f(q) = ar qr+ ··· + as qs, with ar = 0 and as = 0, be a real polynomial. It is a palindromic polynomial of darga n if r + s = n and ar+i = as-i for all i. Polynomials of darga n form a linear subspace Pn(q) of R(q)n+1 of dimension n2 + 1. We give transition matrices between two bases qj(1 + q + ··· + qn-2j), qj(1 + q)n-2j and the standard basis qj(1 + qn-2j)of Pn(q).We present some characterizations and sufficient conditions for palindromic polynomials that can be expressed in terms of these two bases with nonnegative coefficients. We also point out the link between such polynomials and rank-generating functions of posets.     

有关广义中心三项式系数的3个超同余式

设b,c为整数,定义广义中心三项式系数T_n(b,c)=[xⁿx²+bx+c]ⁿ=[π/2]∑k=0(n 2k)(2k n)b^n-2kck(n∈N={0,1...}),这里[xn]P(x)表示多项式P(x)中xn项的系数.特别地,中心Delannoy多项式Dn(x)=T_n(2x+1,x2+x)(n∈N),中心三项式系数T_n=T_n(1,1)(n∈N).本文研究了孙智伟在[南京大学学报:数学半年刊,2019,36(1):1-99]中提出的猜想,即完全证明了两个关于Dn(x)和的超同余式和一个关于中心三项式系数的超同余式的特殊情形.例如,设p为素数,r,m为正整数满足p■m条件.则对于任何p-adic整数x,有1/m²p^3r-3(p^rm-1∑k=0(2k+1)Dk(x)²-P²p^r-1m-1∑k=0(2k+1)Dk(x)²)=0(mod p³).     

全矩阵环上理想包含图的自同构群

设R是一个环,其上的理想包含图,记为Γ_I(R),是一个有向图,它以R的非平凡左理想为顶点,从R的左理想I_1到I_2有一条有向边当且仅当I_1真包含于I_2.环R上的理想关系图,记为Γ_i(R),也是一个有向图,它以R为顶点集,从R中元素A到B有一条有向边当且仅当A生成的左理想真包含于B生成的左理想.设F_q为有限域,其上n阶全矩阵环记为M_n(F_q),本文刻画了环M_n(F_q)上的理想包含图以及理想关系图的任意自同构.     

函数域常值域扩张的类数整除性

设K/F_q是亏格大于0的整体函数域,K_n:=KF_(q~n)是K上的n次常值域扩张.利用整体函数域zeta函数的整系数多项式的有理表达式,结合函数域常值域扩张的基本性质,对于满足特定条件的素数l,本文讨论了使得除子类群Pic~0(K_n)的Sylow-l子群为非平凡群的常值域扩张K_n的存在性.     

环Fq+uFq+vFq上的循环码和量子码

本文研究了环R=F_q+uF_q+vF_q(u²=u,v²=v,uv=vu=0)上的循环码构造量子码的方法.利用环R上循环码的分解与生成多项式,给出了R上一个循环码可以构造量子码的一个充要条件.作为这类循环码的应用,得到了新的非二元量子码.     

一类积分方程组正解的对称性和单调性

本文讨论积分方程组（？）解的性质,其中G_α是α阶贝塞尔位势核,0≤β〈α（n-α＋β）/n,1/（q＋1）＋1/（r＋1）〉（n-α＋β）/n,1/（r＋1）＋1/（p＋1）〉（n-α＋β）/n.我们用积分形式的移动平面法证明上述积分方程组的正解是径向对称且单调的.     

Uniform Asymptotics for Orthogonal Polynomials with Exponential Weights—the Riemann–Hilbert Approach

Let   Q ( x ) = q _{2 m} x ^{2 m} + q _{2 m −1} x ^{2 m −1}+⋯  be a polynomial of degree 2 m with   q _{2 m} > 0  , and let  {π _n ( x )} _{n ≥1}  be the sequence of monic polynomials orthogonal with respect to the weight   w ( x ) = e ^{− Q ( x )}  on     . Furthermore, let  α _n   and  β _n   denote the Mhaskar–Rakhmanov–Saff (MRS) numbers associated with Q ( x ). By using the Riemann–Hilbert approach, an asymptotic expansion is constructed for  π _n ( c_nz + d_n )  , which holds uniformly for all z bounded away from  (−∞, −1)  , where     and     .     

函数域的双重根式扩域及素除子的密度

设K/F_q是整体函数域,l是与q互素的素数,ξ_1是K的固定代数闭包中的本原l次单位根.对于a,b∈K~*-(K~*)~l,本文主要讨论了根式扩域K(a~(1/2))与K(a~(1/l),(b~(1/l))的性质,利用Kummer理论给出了K(a~(1/l))/K与K(a~(1/l),b~(1/l))/K不是几何扩张的充要条件.当a,b是l-无关时,对于K的素除子P及对应的离散赋值环θ_P,利用这两类扩张的性质,通过分析a,b生成循环群(θ_P/P)~*的充要条件,本文明确给出了满足使得a,b生成循环群(θ_P/P)~*的全体素除子集合M_(a,b)的Dirichlet密度公式.