直线与二次曲线位置关系的判别式及其应用

要判断直线与二次曲线的位置关系,通常将直线方程代入二次曲线方程,整理成一元二次方程,由该一元二次方程的判别式来判断．这样作运算量大,计算烦杂,易出错,更难用于解决其它与此有关问题．是否能用二次曲线方程和直线方程的常数直接作出直线与二次曲线位置关系的判...     

与双曲线仅有一个公共点的直线有几条

与双曲线仅有一个公共点的直线有几条湖南邵阳教育学院王正第研究直线与二次曲线的位置关系是平面解析几何的主要内容之一．其中过已知点与给定二次曲线只有一个公共点的直线有几条？对于圆、椭圆和抛物线来说较为简单．但对双曲线来说稍为复杂，学生对此往往感到困惑．例...     

过双曲线的焦点且长度为m的弦有几条

过双曲线的焦点且长度为ｍ的弦有几条向本清（湖南城步一中）研究直线与二次曲线的位置关系是平面解析几何的主要内容之一，也是近年来高考解析几何命题的热点之一．过二次曲线的焦点且长度为ｍ的弦有几条？这一问题对于椭圆与抛物线来说较为简单，但是对双曲线来说稍为复...     

抛物线的开口向量

抛物线的开口向量高适（江苏如皋市如城三中２２６５００）在原坐标系中，根据方程直接确定二次曲线的位置，对于有心二次曲线来说，是容易做到的；对于抛物线，那就比较困难了，一般要通过坐标变换，才能确定其位置．本文给出一个新的方法，像处理有心二次曲线那样，在原...     

慎用二次方程根的判别式

在求直线和圆锥曲线的交点时，二次方程根的判别式有着十分重要的作用．根据判别式△的符号，我们可以判定直线和圆锥曲线交点的个数，进而可以判定直线和二次曲线的位置关系．有些同学便将这种方法迁移到求圆锥曲线和圆锥曲线的交点，并试图运用它来判定曲线之间的一些特殊关系．下面是一位同学给出的一道习题的解答．     

确定抛物线位置的简捷方法

所见书刊都是先用坐标变换等理论,将一般二次曲线方程化简为标准方程,从而确定曲线形状和位置的,如文[1]是用“基本不变量”化简方程确定曲线的位置;而文[2]是用二次曲线的直径方程研     

解析几何总复习

一、两条曲线间的位置关系(一) 直线与二次曲线的位置关系例1 已知实数A、B、C满足A~2+V~2=2C~2≠0,求证直线Ax+By+C=0与圆x~2+y~2=1交于不同的两点P,Q,并求弦P的的长。分析:证明的一般思路是:列方程组,消元,证明△>0,这是对于证明一般二次曲线与直线相交的通用方法.对于圆,还有其特殊的几何方法:证明圆心到直线的距离小于圆半径。     

慎用二次方程根的判别式

在求直线和圆锥曲线的交点时,二次方程根的判别式有着十分重要的作用.根据判别式△的符号,我们可以判定直线和圆锥曲线交点的个数,进而可以判定直线和二次曲线的位置     

用直线参数方程化简二次曲线方程

(一) 对于有心二次曲线,若已知中心位置,长、短半轴(或实、虚半轴),通过中心的对称轴方程,那么这二次曲线的标准方程就可以完全确定。 有心二次曲线有如下特点: (1) 任何经过中心的弦被中心所平分。     

利用特征根研究二次曲线的切线问题

根据二次曲线依其特征根所作的分类,分别讨论各类二次曲线的特征根与其切线方程一般式各系数之间的具体关系,从而获得任意一条直线是否为二次曲线切线的充要条件。     

利用配方法讨论有心二次曲线

根据二次曲线的一般方程,确定二次曲线的形状、大小和位置,一般的方法是通过笛氏直角坐标变换,使在新坐标系下,曲线的方程能成为标准方程,根据标准方程就能确定曲线的形状和大小,且根据坐标变换确定曲线的对称轴     

用配方法确定无心二次曲线的位置

设二元二次方程a_(11)x~2+2a_(12)xy+a_(22)y~2+2b_1x+2b_2y+c=0表示无心二次曲线(即I_2=0),如何确定它的位置? 当方程(1)表示无心二次曲线(即I_2=I_3=0)时,只要对方程(1)配方,便可直接得到它所表示的两条直线(两条平行的实直线、两条重合     

波利亚“对称”思想在解析几何中的应用

波利亚“对称”思想在解析几何中的应用祁平（江苏省南菁中学２１４４００）一、问题的提出涉及直线与二次曲线位置关系的问题是解析几何中的重要研究内容，由此引起的许多问题类型繁多，问题之间似乎也不存在什么联系（如１９９１，１９９２，１９９４，１９９６年高考压...     

二次曲线方程的分类与化简

通过对二次曲线方程配方变形,利用直线与二次曲线相交时参数t的几何意义,以及仿射变换的性质,得到了二次曲线方程分类与化简的一种新方法,从而解决了二次曲线方程通过坐标系的平移、旋转进行分类、化简运算复杂,通过不变量进行化简,无法画出图形的具体位置等问题.     

二次曲线局部与整体的关系

用射影几何知识讨论欧氏平面上二次曲线局部与整体的关系,讨论如何通过二次曲线的一些已知点与切线判断它的类型,作出它的对称轴,渐近线,焦点与准线.     

点与二次曲线相对位置的判定条件

本文在研究点与二次曲线相对位置时,把文〔1〕对于二次曲线的结论用初等方法进行证明,还要进一步提出并证明命题:“点M_1(x_1,y_1)和M_2(x_2,y_2)在以二次曲线P(x,y)=0为公共边界的两个相邻区域内的充要条件是P(x_1,y_1)·P(x_2。y_2)<0”,从而将判断方法再行简化。一般来说,二元二次多项式P(x,y)=Ax~2。+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F所对应的二次曲线P(x,y)=0把平面分成两个或者三个区域。就区域而言,“其内每个点连同它的某个邻域都属于这个     

二次曲线方程的化简与坐标变换

中学教材的二次曲线部分增添了坐标轴旋转的内容。坐标轴的平移与旋转的主要作用之一,就是为了将二次曲线的一般方程化为最简方程。现就有关内容作些补充与说明,便于学习这一段教材时参考,弄懂在化简过程时如何作和为什么要这样作。一、有关二次曲线的三个命题     

对一道高中数学联赛题的探究——二次曲线切点弦的一个性质

笔者在研究2011年全国高中数学联赛四川省预赛第15题时,得到关于二次曲线切点弦的一个性质,现把探究过程整理如下.一、问题的分析问题:抛物线y=x2与过点P(-1,-1)的直线l交于P1,P2两点.(1)求直线l的斜率k的取值范围.(2)求在线段P1P2上满足条件1/PP1+1/PP2=2/PQ的点Q的轨迹方程.问题(1)是常见的直线与抛物线的位置关系问题,直线l的     

一类两圆锥曲线有唯一公共点的充要条件

一类两圆锥曲线有唯一公共点的充要条件浙江永康一中胡望杰《数学通报》１９９１年第６期刊登了赵善基同志《与二次曲线相切于顶点的“最大圆”的不等式求法》（下称文［１］）．１９９２年第１２期又刊登了曾令伶，朱曼茹同志《点和线位置关系的几个结论在解题中的应用》...     

浅议数学试题中的＂组合曲线＂

最近笔者通过研究发现,随着新课标对直线与圆锥曲线的位置关系要求的相对降低,各类考试的解析几何问题中有关“组合曲线”的考题呈现日益增多的趋势,地位则显得更加重要,也将是新高考中解析几何内容考查的重点之一．所谓“组合曲线”问题指的是题目中的曲线是分别由两条二次曲线的部分组合而成的问题．下文笔者将就此问题进行例析．