利用“垂线段最短”巧解三类代数式的最值

<正>"直线外一点与直线上任一点的连线段中,垂线段最短"这是大家都公认的一个几何事实,它不仅在解决一些生活实际问题和几何问题时有重要的作用,还能利用数形结合思想解决一些特殊代数式的最值问题,本文着重介绍它在解决三类特殊代数式最值问题中的妙用,这会带给我们"柳暗花明又一村"般的欣喜.     

非肯定型工程问题的 Petri 网方法

一项工程一般都包含着多道工序.如果知道了各工序的工期以及工序之间的衔接关系,就可以画出工程的流程图.从工序流程图可以求出完成这项工程的最短时间和每个工序的最晚必须开工时间,并确定主工序线.这样便于统筹安排,提高施工效率.这就是统筹方法.我们提出解决这类工程问题的另一种方法:Petri 网方法.在[2]中我们定义了一类含时间因素的 Petri 网,并用这种网及其可达标识图对肯定型工程问题进行了分析和讨论.本文作为[2]的续篇,我们用 Petri 网方法讨论和分析非肯定型工程问题.     

分层作图轻松解答集合参数问题

<正>对于集合的交集、并集和补集的求解及求参问题,数形结合是一种最常用、最有效、也最原始的方法,不过仍有一些同学在使用时会发生这样或那样的错误.这里提出了一种"分层作图"的策略和同学们分享.例1设集合S={x|x<-1或x>5},T     

自主招生中的组含最值试题解法赏析

<正>组合最值问题,即求解组合中的"最大值"或"最小值"的问题.这是自主招生考试中的热点问题,由于其解答的思路与数学竞赛较为贴近,这类问题往往会具有较大的难度,是考生在自招考试中冲击高分的关键.若要完整地解决一道组合最值问题,我们一般要做好"构造"与"论证"这两件事:构造一种特定情况,说明题目中所求的最值的确是可以取到的;对一般情况,证明其取值的确比组     

一道最值问题的不同视角

<正>试题已知点P(x,y)到原点的距离为1,则m=(x+y-2)/(x-y+2)=的最大值为_______.这是笔者所在中学高三复习模拟测试中的一道试题,命题者匠心独运,研究与x和y这两个变量有关的二元函数最值问题.这类问题能全面考查学生的数学素养和思维能力,也是高考的热点问题,不少学生处理这类问题不知如何下手,找不到解决问题的突破口.处理多元变量最值问题的基本思路是"减元"思想,而"减元"主要有"代入消元"和"集中变元"两种方式,笔者从函数与方程和解析几何两个视角,利用     

有“型”可循的三角函数最值问题

三角函数的最值问题都具备一定的形式特点,即有一定的"型",而"型"最值问题都有相应的应对策略,因此只要我们识别了相应的"型",然后按照相应的策略,便可轻松求出最值.题型一y=asinx+b(或y=acosx+b)型应对策略:此类题型的特点是只含有sinx(或cosx)的一次式,处理方式是通过引入新元     

投票悖论概率计算的基本定理

多数偏好规则是求解群体最优化问题最重要和应用最广泛的规则之一.但是,在使用这一规则对给定的群体最优化问题寻求最优解中,有时会发生群体偏好循环排序的"投票悖论"现象,从而发生"投票悖论"现象的概率计算,便成为群体最优化中一个基本的研究课题.为此,引进群体在方案集上的"投票悖论排序剖面"和"投票悖论选型剖面"的概念.借助于这两个概念,建立了群体中每一个体对所有方案的偏好排序都可各具不同概率分布的一般情况下,群体对问题进行方案择优时,发生"投票悖论"概率计算的基本定理.于是,解决了求解群体最优化时发生"投票悖论"的概率计算研究中,长期未能得到彻底解决的基本问题.     

例析数学解题中几种消元策略

<正>高中数学中多变量最值、范围等问题,一直以来都是高考、竞赛的热点问题,这类问题由于变量多且变量之间存在纷繁复杂的约束关系,处理起来往往是顾此失彼,学生找不到解题的切入点而束手无策.如果我们能恰当地运用一些"消元"的思想和策略,这不仅给我们解题带来了柳暗花明的效果,而且对培养学生的数学素养也大有裨益!下面结合一些例题,阐述数学解题中几种"消元"的策略,供同学们     

运用游戏教学,提高思维能力

在希腊语中,游戏与教育这两个词的词根是一样的,都是指儿童的活动,这预示着对这两者的研究从来没有被教育研究者漠视过.柏拉图是第一个研究两者关系问题的,他言称的教育包括游戏成分,以游戏帮助教育.杜威认为:"没有一些游戏和工作,就不可能有正常的有效的学习".苏霍姆林斯基指出:     

例析函数解题错误及防范

函数是中学数学的重点内容,函数概念贯穿中学数学的始终,利用函数知识、思想可以处理、解决很多数学问题.因此,近几年来的高考数学试题,都贯穿着函数及其性质这条主线,显现出"函数热"居高不下的趋势.但在知识复习训练中我们时常发现学生出一些差错,有些是逻辑思维上的错误,有些是解题习惯上的错误,这些都或多或少制约着学生的有效得分,现笔者例举二三,提请同学注意.     

专辑序言

"试验设计与分析"是关于如何有效地安排试验和系统准确地分析试验数据的一个统计学分支.它由现代统计学的奠基人R.A.Fisher创立,是统计学中发展最早、应用最广的分支之一,也是现代生命科学和工程技术试验研究中必不可少的统计工具.因此,这一统计学分支的研究对于我们这个制造业大国具有很强的现实意义.     

创设有效情境 激活课堂教学

1问题的提出 数学家波利亚指出“学习任何知识的最佳途径都是由自己去发现的．因为这种发现,理解最深刻,也最容易掌握其中的规律、性质和联系”．这就要求教师在课堂教学中,要积极创设有效的教学情境,激发学生主动参与学习的热情,     

向量数量积的最值问题

<正>平面向量是沟通代数与几何的桥梁,也是解决数学问题的重要工具,其中考查频率比较高,比较热的问题就当数向量的数量积了,比如今年的全国卷Ⅰ理科第13题,全国卷Ⅱ理科第12题,山东卷理科第12题,天津卷理科13题,浙江卷理科第10题,都直接或间接的考查向量的数量积.而处理这类问题最有效的策略就是"三化"即坐标化、基底化、几何化.     

向量法解截距型线性规划问题

在线性约束条件下,对于形如"z=ax+b(a,b∈R)"的目标函数的最值问题,"课程标准"中的例题和"教材"都是介绍平移法.该解法运用函数平移的思想,思路简单,但步骤较     

浅谈中考数学试卷中的地区性、时政性题材

近年来的各地中考数学试卷,在继承与创新中风格多姿,个性十足.最值得关注的是越来越多的试卷都渗透了地区性和时政性问题,这些问题的情境亲切自然,增强了考题叙述的明确性和设问的亲和度,体现了命题者对考生的人文关怀.如:发生在考生身边的参与度较高的"人口普查"、"上海世博";为玉树地震灾区     

“以退求进”的教学思考

笛卡儿说,遇到任何一个"真理"都不能轻易接受,除非它可以分解为许多个小的、令我深信无疑的事实;波利亚说,如果我们想不起别的,可以试验这个不熟悉的论断的某个特例.这其中都蕴涵着一个重要的思维策略:以退求进.华罗庚教授更是明确指出,善于"退",足够地"退",退到最原始而不失去重要性的地方,是学好数学的一个诀窍.     

用导数法证明不等式的思维策略——例谈2007年高考试题中不等式证明问题

纵观2007年全国各省、市的高考试题,用"导数法"证明不等式依然是考试的热点、重点和难点.应用导数证明不等式是导数的一个重要应用,思路虽然简单,但在实际操作中,需要构造函数这一创造性的思维,因此如何更有效、更快捷、更合理地构造函数是使不等式获证的关键,而有效的思维策略会使得在解决这类问题时更有方向感.笔者结合2007年高考试题中的不等式证明问题,谈谈解决此类问题的思维策略.……     

有效教学理念下数学教师的课堂行动研究

1 问题的提出 随着基础教育改革的不断深入,人们在大胆进行教学方式改革的同时,也在时时追问教学效果.如"什么样的教学情境是有效的","什么样的提问是有效的","什么样的合作学习是有效的"等等,在对这些问题的研究中,一线教师迫切需要学习、吸纳有效教学的理论知识,需要教研人员的引领与帮助,对教学行为进行不断深入的跟进研究.有效教学理论指导下的课堂行动研究无疑是解决这一问题的有效手段.     

一道难题的两个简解

问题设m＋n=3,求m·3m＋n·3n的最小值.这是《数学通讯》2013年第11、12期P65张乃贵老师提到的一道条件最值问题.由于条件和目标函数都成对称性,容易猜测最值为9槡3,但不易证明.通过探究,下面给出两种新颖简洁的解法,     

对数学探究过程中学习“增值”的思考

一、问题提出数学教学中通过结合具体的学习内容,设计有效的学习探究活动,可使学生经历数学知识的发生发展过程,积累更多有效的数学活动经验,但是有的课上虽然有活动、有探究,但从学习的过程来看,并没有见到学习的有效"增值".那么,如何在探究学习中获得更大增值呢?这是一个值得关注的问题.下面以苏科版八年级下册"9.3平行四边形"中"平行四边形的性质"的教学为例予以说明.文中所的说"增值"指的是学习前与学习后的