三角函数中一类常见的错题

如果一个数学命题,它的题设独立条件有两个或两个以上者,那么这若干个条件必须是互无矛盾的,或者说是相容的、和谐的．否则,就是错题．三角公式的多变性和数学命题条件的制约性,往往容易导致出现题设条件互相矛盾的三角错题,今择数例加以剖析．例１　已知ｓｉｎα＝５７,ｃｏｓ（α＋β）＝１１１４,且α、β为锐角,求ｃｏｓβ的值．部析　这是一道在中学教材中沿用多年的三角习题（全日制十年制高中课本《数学》第一册第１６４页第６题）,然而却是一道错题．事实上,∵　ｃｏｓα＝１－ｓｉｎ２α＝２６７＝４６１４＜１１１４,…     

一道三角题多解的辨析

有这样一道三角题：已知ｓｉｎ２α＝ｍ,ｃｏｓ２α＝ｎ,求ｔｇ（α＋π４）的值．集众多书刊的解法如下．解法１ｔｇ（α＋π４）＝１＋ｔｇα１－ｔｇα＝１＋ｓｉｎ２α１＋ｃｏｓ２α１－ｓｉｎ２α１＋ｃｏｓ２α＝１＋ｍ＋ｎ１－ｍ＋ｎ．解法２ｔｇ（α＋π４）＝...     

课外答疑也应注意启发

教学点滴 一天上晚自习时,有部分学生问我（老师）这样一道题：求ｓｉｎ １８°、ｃｏｓ ３６°的值． 我没有急于给出这道题的解法,而是启发学生思考． 老师：这道题是求非特殊角的三角函数数值,对于求非特殊角的三角函数值,我们学过了哪些方法？ 学生甲：将非特殊角转化成特殊角或者将非特殊角消掉（加、减）或约去（乘、除）． 老师：但这一道题我们无法将１８°、３６°转化成特殊角或将其消（约）去,我们以前学过的方法行不通了． （学生们展开了讨论,一时没有找到解法．这时,学生们将求知的目的光投向了老师）我没有将解法急于…     

一例错解的剖析

一例错解的剖析２３８３００安徽无为职业中学周邦云有这样一题：这是一道关于ｘ的有理三角函数分式，求此类函数的值域，常规方法有两种：方法１原式去分母并整理变形，化成ｓｉｎ（ｘ＋θ）＝ｆ（ｙ）形，由｜ｆ（ｙ）｜≤１，求出ｙ的取值范围．方法２对原式作万能代换...     

代入亦可产生增解

代入亦可产生增解１６５０３６黑龙江大兴安岭呼中二中南东明我们在三角复习中遇到这样一道题：已知：ｓｉｎα＝ｓｉｎβ，ｃｏｓα＝ｃｏｓβ，求α—β之值．学生普遍应用Ｓα－β或Ｃα－β解答，得出两种不同的答案，请看：学生甲：解由公式Ｓα－β，把已知代入得ｓ...     

利用单位圆求解三角题

利用单位圆求解三角题２２４ｚ００江苏射阳县中学生朱胜强根据｜ｓｉｎα｜≤１，｜ｃｏｓα｜≤１的特征，我们常可利用单位回来求解某些三角题．例１已知０≤α＜β＜γ＜２π，ｃｏｓα＋ｃｏｓβ＋ｃｏｓγ＝０．ｓｉｎａ＋ｓｉｎβ＋ｓｉｎγ＝０，求β—ａ，γ－γ...     

一道反三角函数恒等式的教学

一道反三角函数恒等式的教学４３００７７湖北财经高等专科学校龙艳４３３０００湖北仙桃中学朱达坤反三角函数恒等式ａｒｃｓｉｎ（ｓｉｎｘ）＝ｘ，是重要三角恒等式之一，而且常因理解不深而出错．笔者在教学中为加深学生的印象，作如下处理：师：请大家计算下列各题：...     

用正余弦定理求三角函数式的值

用正余弦定理求三角函数式的值４３３２０２湖北洪湖峰口镇一中徐本银这是一道全国高中教学联赛题求的值笔者从数形结合角度用正余弦定理作解先将原式转化显然此时可以构造△ＡＢＣ（如图）并设其外接圆直径为１．由正弦定理得ａ＝ｓｉｎ８０°，ｂ＝ｓｉｎ４０°，ｃ＝ｓ...     

用复数的三角式解三角题

用复数的三角式解三角题苏万春（吉林省永吉三中１３２２２７）由棣莫佛定理，设ｚ＝ｒ（ｃｏｓθ＋ｉｓｉｎθ），当ｒ＝１时，ｚｎ＝ｃｏｓｎθ＋ｉｓｉｎｎθ且由此二式，可得由上面的公式．将三角问题化为复数问题解决，对沟通学科分支之间的联系．拓宽解题思路是大有...     

一道三角问题的解法思路

一道三角问题的解法思路顾立佳（江苏滨海县八巨中学）许多数学书刊都载有下面的一则问题．已知ｎ为非１的自然数，试求ｓｉｎ乍看上去，很难下手，用常规解法即进行积化和差，也难以求得结果．为此，可以采取构造法，即构造出一个几何图形，使其中出现；从而可以间接地求...     

构造解几模型求三角最值

构造解几模型求三角最值侯守一刘文博（天津市津南区咸水沽一中３００３５０）有些三角最值问题，如果用常规方法，求解过程往往比较繁杂，若能根据所给条件．设计解几模型，求三角最值，新颖而巧妙．１构造点到直线的距离模型例１求证：（ｓｉｎ２α－２）２＋（ｃｏｓ２...     

争鸣

问题147 下面是一道常见的三角函数题： 若函数y=tanwx（w〉0）满足当自变量x在任意两个连续整数间（包括两个整数本身）取值时，函数y至少两次失去意义，求w的取值范围．     

一类三角求值问题浅探

一类三角求值问题浅探甘肃武威六中蔡国瑛，赵多彪一、问题的提出“求ｓｉｎ２１０°＋ｃｏｓ２４０°＋ｓｉｎ１０°ｃｏｓ４Ｕ°的值”是高中课本上的一道普通例题（《代数》（必修）上册Ｐ１９３例４），各种研究文章时有所见，但大多是探讨解法和教学价值（如文［１］...     

一道联赛题的多解探究

2010年全国高中联赛江西省预赛题第3题：函数f（x）=（1-2x）~（1/2）/（x＋2）的值域是.这是一道求无理函数值域的题目,看上去并不复杂,但其中蕴含着诸多的数学思想方法,本文给出几种解法,敬请各位读者指正.思路一三角代换法分析由于函数解析式中含有（1-x2）~（1/2）,让人联想到三角公式,于是可采用三角换元...     

一道竞赛题的多种解法

原题来自第二届“南方杯”数学邀请赛最后一道压轴题： 原题设a、b是两个给定的正实数,实数x、y满足ax^2-bxy＋ay2=1,试求f=x2＋y2的取值范围（值域）．     

从一道高考题看求解的转化策略

求解超越方程（指数、对数、三角、反三角方程），特别是合参数的方程，一般用等价转化的思想和方法，转化为代数方程求解．下面拟通过一道例题来探讨有关转化策略．例已知关于x的方程lg（ax）=2lg（x—1），（1）求a为何值时方程有解；（2）求出方程的解．（1986年广东省高考题改编）分析（1）即求方程有解的充分条件；（2）即求在（1）中条件下的解．原方程等价于即其中①、②两式成立，则ax＞0必成立．故③式可舍．这样原问题等价于：（1）求a的范围使厂～、T＿“”（。）”IxlM0成立；（2）求出（。）式中方程的解．说明上面通过把原…     

新题征展(19)

Ａ．题组新编 １．（１）以六棱柱的顶点为顶点的五棱锥共有 个; （２）以五棱柱的顶点为顶点的四棱锥最多有 个; （３）以四棱柱的顶点为顶点的三棱锥有 个;．（曹大方 供题） ２．已知△ＡＢＣ的三内角Ａ、Ｂ、Ｃ的对边分别为ａｂ、ｃ （Ｉ）若ａ、ｂ、ｃ成等差数列时．不等式,ｍ＋ｓｍ２Ｂ＜恒成立．求实数。ｍ的 取值范围． （Ⅱ）若 ａ、ｂ、ｃ成等比数列时,不等式 ｍ ＋ ｓｉｎ２Ｂ ＜ 恒成立,求实数ｍ的 取值范围． （Ⅲ）若ａ、ｂ、ｃ的倒数成等差数列时,不等式ｍ＋ ｓｍ２Ｂ＜—ｃｏｓ（Ａ＋Ｃ）＋恒成立,求实数ｍ的取值范…     

对一道课本习题的探究

对一道课本习题的探究赵振洪（山东高青县一中２５６３００）高中课本《平面解析几何》的总复习考题中有一道题：“已知椭圆方程是，求椭圆内接正方形的面积．”若要严谨地解这道题，必须用：（一）定理１椭圆有且仅有两条对称轴ｘ＝０和ｙ＝０．（二）定理二椭圆内接矩形...     

剖析一类常见的三角错题

如果一个命题的题设独立条件有两个或两个以上 ,那么这若干个条件必须互无矛盾 ,或者说是相容的 ,和谐的 ,否则就是错题 .三角公式的多变性和数学命题条件之间的制约性 ,往往容易导致题设条件自相矛盾的三角错题的出现 .现择数例加以剖析 .例 1　已知ｓｉｎα =57,ｃｏｓ(α β) =1114,且α ,β为锐角 ,求ｃｏｓβ的值 .剖析　这是一道在教材中沿用多年的三角习题(全日制十年制高中课本《数学》第一册第 16 4页第6题 ) ,然而却是一道错题 .事实上 ,ｃｏｓα =1-ｓｉｎ2 α=2 67=4 614<1114,∴ｃｏｓ(α β) >ｃｏｓα (1)又α ,β是锐角 ,…     

一类范围问题的稳妥求法

一类范围问题的稳妥求法５５０００１贵阳市第六中学邢益民一次习题课上．我出了一道多元线性函数范围的问题：题已知２＜ａ＋ｂ＜４．１＜ａ－ｂ＜２．求４ａ—２ｂ的范围．多数学生给出了如下的解法：解法１由２≤ａ＋ｂ≤４（１）１≤ａ－ｂ≤２（２）（１）＋（２）得...