有心圆锥曲线中类西摩松线方程

二次曲线沿某一非渐近方向的平行弦的中点都在一条直线上,这条直线叫二次曲线共轭于该非渐近方向的直径~[1].对于有心圆锥曲线L,沿某一非渐近方向的共轭直径经过曲线L的中心.也就是说,某一条直线是否与有心圆锥曲线相交,是否经过有心圆锥曲线的中心,只要这条直线沿非渐近方向,就可以通过简单的几何作图作出唯一确定的共轭直径与之对应.     

二次曲线束及其应用

二次曲线束是指具有某种共同性质的二次曲线的集合。二次曲线束方程的形式通常表现为含有一个或几个独立参数的二元二次方程。最为熟悉的例子如以a,b为参数的二次曲线束方程 x~2/a~2+y~2/b~2=1,(a>b>0)就是长短轴在坐标轴上,焦点位于x轴的一族椭圆。又如以λ为参数的方程 x~2/36-y~2/64=λ(λ≠0)     

椭圆中一个常见命题的推广

椭圆中的一个常见命题[1]:设A、B是椭圆xa22 yb22=1长轴的两个端点,CD是与AB垂直的弦,则直线AD与直线BC交点的轨迹方程是xa22-by22=1.把椭圆的一对特殊的共轭直径x轴与y轴演变为任意的一对共轭直径,有定理1设A(m,n),B(-m,-n)是椭圆ax22 by22=1一条直径的两个端点,CD是与AB的共轭直径平行的弦,设直线AD与直线BC交点M,则点M的轨迹方程为(b2m2-a2n2)(b2x2-a2y2) 4a2b2mnxy-a4b4=0.证明设M(x0,y0),则直线PA、PB的方程是y=n xy00--nm(x-m),y=-n xy00 mn(x m)由直线PA、PB生成的二次曲线[y-n-xy00--mn(x-m)]·[y n-xy00 mn(x m)]=0…     

二次曲线直径方程新的推导方法

二次曲线平行弦中点的轨迹叫做这二次曲线的直径。关于二次曲线直径方程有传统的推导方法。这种方法是将动弦的参数方程代入二次曲线的方程,得到关于x的二次方程,由根与系数的关系,消去参数,得到二次曲线直径的方程。本文介绍一种新的推导方法,此方法比传统方法有更多的优越性。先从一个简单的例子谈起。求椭圆(x~2)/(a~2)+(y~2)/(b~2)=1的斜率为k的弦的中点轨迹。设椭圆斜率为k的弦的中点为P(x,y),端点为A(x_1,y_1)、B(x_2,y_2),于是有方程组     

确定抛物线位置的简捷方法

所见书刊都是先用坐标变换等理论,将一般二次曲线方程化简为标准方程,从而确定曲线形状和位置的,如文[1]是用“基本不变量”化简方程确定曲线的位置;而文[2]是用二次曲线的直径方程研     

二次曲线系Ax~2 Bxy Cy~2 Dx Ey λ=0

二次曲线系Ax~2 Bxy cy~2 Dx Ey λ=0(其中A、B、C不全为零,λ是参变数,下同)有一些重要性质,值得研究。定理1 二次曲线系Ax~2 Bxy Cy~2 Dx Ey λ=0……(1)中的非退化二次曲线是下列三种情形之 1°当B~2-4AC<0时,是一簇同轴(指对称轴)位似椭圆; 2°当B~2-4AC>0时,是一簇共渐近线双曲线; 3°当B~2-4AC=0时,是一簇同轴(指对称轴)同p(焦点到准线的距离)抛物线。证明1°当B~2-4AC<0时,曲线系(1)中的所有非退化二次曲线均是椭圆,它们经过适当的坐标变换,总可以化成最简椭圆方程;又因为经过坐标变换得到的新方程的二次项系数和一次项系数只与原方程的二次     

利用曲线系(x~2/a~2)-(y~2/b~2)=λ求曲线方程

中学教材介绍的曲线方程的求法有两种。一是轨迹法,二是标准式法。利用曲线系求曲线方程又是标准式法一种特殊形式。这里以双曲线系方程为例,说明这种方法的应用。方程x~2/a~2-y~2/b~2=λ(Ⅰ)表示中心在原点,对称轴合于坐标轴的双曲线系。λ>0时,焦点在x轴上,λ<0 时,焦点在y轴上,不管λ为何值,这些双曲线都以x~2/a~2-y~2/b~2=0为渐近线(特别地,λ=0时,曲线就是渐近线)。因此,双曲线系(Ⅰ)又称共渐双曲线系。当研究的双曲线与渐近线有关时,运用双曲线系(Ⅰ)解题很方便。     

二次曲线切线通解方程的初等形式

《二次曲线切线方程的进一步讨论》 (I)一文中,运用高等数学知识,导出了从平面上一点作二次曲线切线的通解方程。在数学实践中,曾用中学生所熟悉的定比分点及二次方程判别式的原理导出二次曲线通解方程的初等形式。在推导过程中,既能灵活地运用基础知识,又能拓宽学生的思路,在知识方面也形成了一个比较完整的体系。现简介如下。如图,过二次曲线Ax~2+Bxy+Cy~2+Dx+Ey+F=0 (1)外一点P(x_θ,y_θ)作直线PT,T的坐标为(x_T,y_T),那么分线段PT所成的比为λ的点Q的坐标为[(x_θ+λx_T)/(1+λ),(y_θ+λy_T)/(1+λ)]。若Q     

关于二次曲线的一个命题及应用

众所周知,顶点在坐标原点,对称轴为ｘ轴的二次曲线方程为Ａｘ２＋Ｃｙ２＋Ｄｘ＝０（Ａ,Ｃ,Ｄ为常数,Ａ,Ｃ不全为零）．今给出这个统一的二次曲线方程的一个命题,并介绍其多方面的应用．命题设ＯＰ,ＯＱ为二次曲线Ａｘ２＋Ｃｙ２＋Ｄｘ＝０的弦,ＯＰ,ＯＱ的斜率...     

有心二次曲线的直径式方程

我们知道：若A(x1,y1)和B(x2,y2)为圆的直径两端点,则圆c的直径式方程为(x-x1)(x-x2) (y-y1)(y-y2)=0.由此我们是否可自然地提出如下一个问题：若AB为椭圆或双曲线的直径,即线段AB为过有心二次曲线的中心的弦,那么曲线的直径式方程是否存在？又是什么形式？     

一类变尺度算法的若干性质

Huang类变尺度算法包含3个独立参数。在Huang类基础上引进2个参数,由此得到一新算法类(有4个独立参数),并获得了:(1)新算法对目标函数F(x)的某种形式非线性变换L(F(x))具有不变性;(2)当F(x)为2次凸函数时,对适当范围的参数值,新算法用于L(F(x))仍是共轭方向法。另一方面,把Huang类扩大成有n 1个独立参数的新算法类,它用于2次凸函数F(x)时仍是共轭方向法。然而该类新算法一般不具有对L(F(x))的不变性;当F(x)为2次凸时用于L(F(x))一般也不是共轭方向法。     

中点弦性质与共轭二次曲线

文 [1 ]介绍了“同轴相似二次曲线”有关中点弦的一组性质 ;文 [2 ]用“位似变换”的高观点解释“相似” ,并用射影几何配极原理再次证实了该结论 ;特别是 ,还指出命题条件应严格表述为“同轴相似有心曲线或同轴同焦参数抛物线” .为什么抛物线特殊 ?此外文 [1 ]还介绍了“同轴相似共轭双曲线”的“外分弦定理” ,它能否与上述性质统一起来 ?都值得进一步研究 .　本文引入一般“共轭二次曲线”的概念 ,不仅给出上述诸性质的统一解释 ,并且得出更一般的结论 .其方法也易为一般中学生理解 .设一般二次曲线ｓ的方程为Ｆ(ｘ ,ｙ) =ａ1 1 ｘ2 2…     

一种新的二次曲线系方程及其应用

确定一个二次曲线：Ａｘ２＋Ｂｘｙ＋Ｃｙ２＋Ｄｘ＋Ｅｙ＋Ｆ＝０一般需五个独立条件,因此,经过四点的二次曲线一般情况下有无数条,它们组成一个二次曲线系;本文以定理形式介绍一种新的二次曲线系,并举例说明其应用,并以此引伸出一种新的解题方法;１．定理的证明定理　若直线ＡＢ的方程为Ｆ１（ｘ,ｙ）＝０;直线ＢＣ的方程为Ｆ２（ｘ,ｙ）＝０;直线ＣＤ的方程为Ｆ３（ｘ,ｙ）＝０;直线ＤＡ的方程为Ｆ４（ｘ,ｙ）＝０;则方程Ｆ１（ｘ,ｙ）·Ｆ３（ｘ,ｙ）＋λＦ２（ｘ,ｙ）·Ｆ４（ｘ,ｙ）＝０表示过Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四点的…     

利用特征根研究二次曲线的切线问题

根据二次曲线依其特征根所作的分类,分别讨论各类二次曲线的特征根与其切线方程一般式各系数之间的具体关系,从而获得任意一条直线是否为二次曲线切线的充要条件。     

用直线参数方程化简二次曲线方程

(一) 对于有心二次曲线,若已知中心位置,长、短半轴(或实、虚半轴),通过中心的对称轴方程,那么这二次曲线的标准方程就可以完全确定。 有心二次曲线有如下特点: (1) 任何经过中心的弦被中心所平分。     

已知数列通项公式求其递推式的定理及应用

先分析两个递推式:(1)Sn=an bn=(a b)Sn-1-abSn-2;(2)Sn=an bn cn=(a b c)Sn-1-(ab bc ca)Sn-2 abcSn-3.将(1)变形为Sn-(a b)Sn-1 abSn-2=0,则发现其系数与方程x2-(a b)x ab=0的系数相同,而方程的两根就是a,b.(2)也有同样的情形,是巧合还是必然结果呢?再经过归纳发现这么一个事实,即定理若数列{an}的通项公式an=c11λn c2λ2n … ckλkn,且1λ,λ2,…,kλ是方程xk B1xk-1 B2xk-2 … Bk=0(Bk≠0)不相等的根,则数列{an}有递推式an B1an-1 B2an-2 … Bkan-k=0(n>k),其中B1,B2,…,Bk由初始条件或韦达定理确定.证因为λ1,2λ,…,kλ是方…     

求圆锥曲线对称轴的一种方法

形如Ax~2 Bxy Cy~2 Dx Ey F-0的二次曲线的对称轴的求法,一般地需要通过旋转变换、平行变换等大量繁琐的计算。本文给出一种方法,不进行坐标变换便可较为简捷地求出。这种方法的步骤为 1°利用二元二次方程的判别式B~2-4AC判断出二次曲线的类型,并根据 ctg2θ=(A-C)/B求出一条对称轴与x轴正向交角θ的正切; 2°设出垂直于一条对称铀的直线系方程; 3°把直线系方程代入二次曲线方程得出曲线上两对称点坐标所满足的方程; 4°根据中点公式和韦达定理求出两对称点连线的中点坐标所满足的参数方程; 5°消去参数得出曲线上两对称点连线的中点的轨迹方程。由于此轨迹就是对称轴,因此所求得的轨迹方程就是对称轴方程。     

一般二次曲线为抛物线时位置的确定

从二次曲线的一般方程 ax~2+2hxy+by~2+2gx+2fy+c=0 (1)直接确定曲线相对于坐标轴的位置,即不经过坐标变换,直接得到标准坐标系下的标准方程,并直接确定标准坐标系在原坐标系中的位置,当(1)表示中心型曲线时,这个问题已经解决了(例如见[2]第五章§4)。本文讨论(1)为抛物线时位置的直接确定问题。按一般教科书(例如[1])中的记号,基本不变量记为当I_2=0,I_2(?)0时,(1)表示抛物线,我们已经知道可以利用不变量直接写出化简后的方程([1]中称之并且还可以求出对称轴(x~*轴)的方向,但[2]中说     

多项式方程矩阵解的形式

设ai(i=0,1,…,n)是任意复数,矩阵方程anAn an-1An-1 … a1A a0I=0的所有解都具有形式PJP-1.其中P是可逆矩阵,J为以Jordan块Jj(j=1,2,…k)为元素的主对角分块矩阵,而Jj主对角线上的元素皆为一元n次方程anλn an-1λn-1 … a1λ1 a0=0的根λj,且Jj的阶rj不超过λj作为方程解的重数.     

圆锥曲面截线类型的判别与简单论证

关于圆锥曲面的平面截线是二次曲线(包括退化的二次曲线)的命题,常常仅以几何教具加以演示说明,本文试图用简要方法研究这一问题。为简便计,我们只取半个圆锥曲面,作图如左。先假定截面不过顶点,再考察过点的。已知圆锥曲面(半个)的轴 SH 与母线夹角为 a,平面 POP′截圆锥