关于三角方程的教学

本文拟谈三个问题:1.对统编教材高中数学第一册“简单的三角方程”这一单元内容安排的分析;2.在用不同方法解三角方程时,可能得出不同形式的答案,如何判别它们是等价的;3.有关增根、失根的问题。 1.课本首先总结了最基本的三角方程:sin x=a;cos x=a;tg x=a的解集。当a为具体数值时,这些方程的解集,已经在第二章“任意角的三角函数”中,通过已知三角函数值求角的问题解决了,并且也给出了一般解,只是朱用反三角函数表示。在这     

函数的周期性在解三角方程中的应用

三角方程是中学三角課的内容之一。它是研究三角函数的性貭的一个方面,即从自变量(角)的值来研究三角函数式的值。三角方程解的一个最重要的特性是,如果三角方程有解,那末它的解是无限多个。其所以如此,是由于三角函数的周期性所致,因此,从函数的周期性来研究方程的解,可以突出三角方程的特性,加深对三角方程的认識。尤其是对三角方程变形时所产生的增根与遺根的检驗及不同形式的根的等效性等問題,利用函数的周期性来讲解既簡单又明确。一、方程的周期在用三角函数的周期性来研究三角方程前,我們先引用方程的周期的概念。定义。当方程f_1(x)=f_2(z)化为形如 F(x)=0     

谈反三角方程的解

众所周知含有未知数的等式叫做方程,含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程,同样地,我们把含有未知数的反三角函数的方程叫做反三角方程,解方程就是要求出适合方程中未知数的一切值或指出它无解;本文就一些简单反三角方程的解谈一些看法;一、最简单反三角方程即方程ａｒｃｓｉｎｘ＝ａ,ａｒｃｃｏｓｘ＝ｂ,ａｒｃｔｇｘ＝ｃ和ａｒｃｃｔｇｘ＝ｄ,其中ｘ为未知数,它们也是最基本的反三角方程;根据反三角函数的定义可知,当ａ∈－π２,π２或［－９０°,９０°］,ｂ∈［０,π］或［０°,１８０°］,ｃ∈－π２,π２或（－…     

反三角函数在解斜三角形中的一种应用

反三角函数是三角函数的反函数,在初等数学里,一般只在主值区間內研究它。研究它的目的,主要是为三角方程服务,利用它,不查三角函数表就可以表示三角方程的通解。代数几何中有时也要用它来表示角。除了以上的应用外,另外还有一种特殊的用途,它可以帮助我們解斜三角形,体現出一种較为特別的解題方法。这种方法是以前不被重視的,因而应用极少,但是利用反三角函数的知識解斜三角形,不仅使反三角函数有了更多的应用,并且使反三角函数的理論与实践的結合更加密切。另一方面,反三角函数的計算和反三角函数恆等式的証明是較为棘手的,如果把反三角函数应用到斜三角形的解法中去,通过这样的运用,然后再来看这些問題,就不感到生疏了。特别是某些斜三角形問題,如果应用反三角函数的知識来处理,     

三角函数

1．本单元知识点 三角函数是数学中常见的一类关于角度的函数,是属于初等函数中的超越函数的一类函数,它们的本质是任何角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射．三角函数将直角三角形的内角和它的两个边的比值相关联,也可以等价地用与单位圆有关的各种线段的长度来定义．三角函数在研究三角形和圆等几何形状的性质时有重要作用,也是研究周期性现象的基础数学工具．     

在三角方程解的通值教学上的一些经验

数学教学大纲指示:“不必强记反三角函数的通值公式.”“要求出方程的一切解(不强求把一切解的通值再加综合).”在教反三角函数时,是从图象和单位圆使学生了解反三角函数的多值性,并根据图象和单位圆得出通值,不归纳成公式.在这一基础上,本学期又研究了数学教学大纲和柏拉斯基著的中学数学教学法;在教三角方程这一单元时,学生写出三角方程的一切解是依靠单位圆,做到不强记通值公式.因为解三角方程写出通值之前,先要求得基本三角方程;因此只就解基本三角方程为例,介绍写出解的通值的这一点做法.     

多变量三角函数极值问题的初等解法

借助于求导的方法单变量函数的极值问题可以得到比较圆满的解决,然而要用统一的方法来处理多变量函数极值问题还需要更为深入的微分学知识,因此谋求这类问题的初等解法还是很有价值的。本文只局限于讨论三角函数,其实所论及的方法同样运用于其他初等函数。多变量三角函数极值问题的处理大约有两条途径可循:一是将多变量问题转化为单变量问题,一般称之为“降维法”;二是直接在多变量意义下抓住各变量间所存在的某种内在联系,用初等方法予以解快。不妨称之为“多元法”。尽管处理问题的基本途径大抵是这样两条,然而由于问题本身各异,所使用的具体方法也各具待点。下面以“降维法”“多元法”这     

三元一次方程組解的討論及其几何意义

三元一次方程組的一般形式为在現行中学代数中只研究了当系数行列式有唯一一組解的情形。而当系数行列式D=0,方程組(*)(以下簡称(*))是无解还是有解,有多少解等等情况是比較复杂的。下面我們仍采用初等的方法将(*)的解的一切可能情形加以討論,并指明其相应的几何意义。 (*)的初等解法是指中学代数中习慣用的消去法,在(*)中可以假設至少有一个未知量的系数不为     

因式分解的教学

因式分解这一章是初中代数的一个重要內容。学生以后学习分式时,要先学会約分和通分;而約分和通分都要用到因式分解。不但如此,它可以用来簡化数字計算。例如根据給定的字母的值計算某些多項式的值时,先把原式分解因式,再求它們的值,就可以使計算簡便。在解二次或二次以上的方程和不等式时,也常要利用因式分解。在高中数学里,某些超越方程(指数方程、对数方程、三角方程等)的特殊解法也需要利用因式分解。有时利用因式分解,还可以把某些式子化为适于对数計算的形式。总之,教会学生掌握因式分解的一些常用方法,对今后的学习有着重要的作用。 現行課本首先說明因式分解的意义。接着提出四种主要的因式分解方法(提取公因式法、分組分解法、应用公式法和十字相乘法)。在学生熟习了这些方法的基础上,再提出因式分解的一般步驟,并讲解上面四种方法的綜合应用。最后讲利用因式分解求最高公因式和最低公倍式。     

在三角函数教学中运用黑山小学教学改革經驗的作法和体会

根据总路綫的精神,我們提前結束了高中一年級的数学課以后,根据我們自编的过渡性数学教学大綱草案,吸取了黑山教学改革的經驗,进行了三角教学改革的試驗,取得了良好的效果。在試驗中我們进一步体会到只要认真体会黑山經驗的精神实质,結合学生实际,結合教学內容、特点,黑山小学的經驗是可以成功地运用于中学的。我們把三角的全部內容分为五节: 1.三角函数。以三角函数的坐标定义为基础,系統地研究同角各三角函数間的关系,特殊角三角函数,三角函数的符号和誘导公式。 2.加法定理。以和角的正弦、余弦的公式为基     

对“做作业的点滴体会”一文的意見

看到数学通报1964年12月号上王菅生同学写的“做作业的点滴体会”一文后,对我很有启发。作者通过一系列例子说明了不少问题,颇能发人深思。但是,我对该文的某些地方也还有一些不同的意见,现在提出来和王菅生同学商榷,并请大家指正。一.关于三角方程sin~2x-cos~2x=cosx的解法作者提出了两种解法。第一种解法是把原方程变形为:2cos~2x+cosx-1=0,然后再把左端因式分解;第二种解法是先把原方程变形为2sin~2x=1+cosx,然后再用半角的三角函数的公式把上述方程继续变形     

平面三角复习

三角内容一般分四个单元:三角函数,三角函数式的恒等变形,反三角函数及三角方程,解三角形。一三角函数内容包括:任意角的概念及其度量,任意角的三角函数的定义,三角函数的符号、图象、性质,同角三角函数关系式,诱导公式等。在复习基本概念和公式时,教师可通过例题着重     

“四位数学用表”的教学体会

“四位数学用表”(以下簡称“数表”)是高中数学教材內容之一。但在中学数学教学大綱里未能对这一內容作出詳尽的安排;有关这一內容的教学問題也缺乏足够的参考资料。关于“数表”的教学問題在中学教师中,尚未一致。茲拟提出一些看法和做法,以达到共同研究的目的。 (甲)关于学习数表的作用問題,可从列三个方面来考虑: ①作为进行超越运算的工具,必須掌握它們。对数尾数表、反对数表、三角函数表和三角函数对数表等都是进行对数計算和三角計算的必要工具。沒有它們,代数、三角、几何和物理課中的某些习題是解决不了的。它們实际上是代数和三角教材的一个部分,并     

函数方程的另一种初等解法——递推法

《数学通报》87年第8期发表了《函数方程的一种初等解法——代换法》,本文给出这类问题的另一种初等解法——递推法。 用递推法解决函数方程问题的一般思路是:先由题给条件中寻找或建立函数值间的递推关系式,然后加以恰当地运用,最终使问题归     

中学数学課程中的函数教学

一、中学数学課程中加强函数教学的重要意义关于在中学数学課程中加强函数教学的重要意义,近来已經討論得不少了,我不想在这里重复,不过我还想着重指出以下几点:(1)从中学数学課程的內容看,函数的內容占着很大的部分,其它例如方程、不等式等內容也与函数內容有密切的关系,学好函数內容对于学好中学数学課程无疑地将会起着很重要的作用。(2)函数概念所反映出来的运动变化相互联系的辯証观点,对于培养学生辯証思想,以及用这样的观点去处理一些数学內容都有很大的帮助。我們知道中学数学课程內有一部分是常量数学,它們一般是用孤立、静止的观点研究事物,因此它們是有局限性的,一些問题例如圓的面积、圆的周长、圓柱体积、无限循环小数     

“αsinx＋bcosx＝c”型三角方程的别解

“αｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓｘ＝ｃ”。型三角方程的别解２７７７００山东苍山职业中学李玉国对于“αｓｉｎｘ＋ｂｃｏｓ＝ｃ”型的三角方程，教材及几乎所有的教学参考书上都是采取这样的解法：先在方程的两边同时除以其实这种类型的方程也可以利用倍角公式及，将方程化为齐...     

一类三角方程有解条件的应用

三角方程是高中数学的重要内容之一,掌握三角方程的解法是十分必要的。但是学生对三角方程的认识往往只停留在求解的方法上,不善于运用一些三角方程的有解条件去解决一些具体的问题,甚至对三角方程是否有解也不加讨论,生     

最简三角方程教学的三部曲

最简三角方程教学的困难在于:对方程f(x)=a(f代表正弦、余弦、正切、余切之一,下同)的求解公式的推导,学生好象明白而往往不尽明白:对其求解公式学生容易记混记错;对方程f〔(?)(x)〕=a常常因周期处理不当而造成增解和失解。为了克服上述困难,帮助学生深刻理解最简三角方程的求解公式和熟练地掌握解三角方程的技巧,我们对最简三角方程的教学采取了下面三部曲: 一、方程f(x)=f(a) 为了减缓最简三角方程教学的难度,我们专门用了一个课时,首先介绍同名等值型三角方程f(x)==f(a)的求解公式,具体做法是: 1.复习三角函数的定义、周期(可结合三角函数图象进行复习)。 2.已知f(x)=f(a),让学生求x、a所满足的关系。给出下表,学生根据函数的图象,在表中填写适     

談数学分析的学习方法(一)

数学分析是自然科学的一门首要的业务基础課程;不仅它的基本內容而且它的基本訓练都是数学、力学、物理、化学等学科所必需的;而且它的部分內容和方法还有助于对其它自然学科(以至于哲学和經济学等)的学习和研究。数学分析是算术与初等代数的发展?也是初等代数与几何的綜合;物理和化学中的許多基本概念与主要理論都要运用数学分析才能严格地描述确切与分析透彻,所以中学教师对于数学分析的深入研究很有利于教学貭量的提高。数学分析的学习,可以按照它各部分內容的特点,把基本理論的学习与基本训练的过程紧密地結合起来,以便很好地掌握。     

中学教材里的一次方程组

一次方程组在中学教材里占有重要地位.有关一次方程组理论的系统叙述,都已见于一般的高等代数书中,这里不必重复,至于解一次方程组的一些技巧,因为并不算难,所以也不用多说,本文只打算围绕中学教材,而且在用很少一点算术知识的基础上,谈一淡用初等解法解一次方程组的理论,以便使中学教科书上解一次方程组的法则,能够找到一个根据,供教师参考.