数学百花园

说谎者悖论: “我正在说的这句话是谎话.”公元前四世纪的希腊数学家欧几里德提出的这个悖论,至今还在困扰着数学家和逻辑学家.这就是著名的说慌者悖论.类似的悖论最早是在公元前六世纪.出现的,当时克里特岛哲学家爱皮梅尼特曾说:“所有的克里特岛人都说谎.”在中国古代《墨经》中,也有     

圓錐曲綫小史

人民教育出版社出版的《平面解析几何》引言上說:“解析几何产生在17世紀初期。由于当时生产的发展,各种科学和生产技术都有了很大进步,这就迫切需要解决随着发生的許多数学上的問題。……因而有关圓錐曲线的計算就成为迫切需要。解析几何就是由于这种需要而产生的”。本文就圓錐曲线发展的历史,略作介紹。不足之处在所难免,尚希讀者指正。 (一) 圓錐曲綫研究的起源 圓錐曲线的研究,起源于希腊。它与几何三大問題中的二倍立方問題有关。几何三人问題曾轰传一时,研究者很多,曾研究过二倍立方問題的希腊学者計有:阿契塔(Archytas,約公元前428-347),拍拉图(Plato,約公元前427-347),欧多克斯(Eudoxus,約公元前408-355)及蒙爱启瑪斯(Meneachmus,約公元前375-325)等。蒙爱启瑪斯是欧多克斯的門徒,可能受到阿契塔及欧多克斯的启发;他的解法也可能是希腊学者研究的总汇。取三个正圆錐,一为直角,一为銳角,另一个是鈍角的,各作一平面垂直于一条母线,并与圓錐相截;称截线为“直角圓錐截线”、“銳角圓錐截线”、“鈍角圓錐截綫”;(即今之抛     

两点意见

(Ⅰ)莫绍揆先生在[1]中指出:‘据说有一个克利特岛人说:“凡克利特岛人都说谎”。结果无论这句话是真是假,都引起矛盾’。继之又在[2]中第34页写道:‘古希腊时代一个克利特岛上的人说:“克利特岛上的人是说谎者”。如果这句话真,则他自己(是克利特岛人)便说谎,从而这句话假。如果这句话假,则克利特岛人不说谎,而这句话可为真。人们认为,如果那个克利特岛人的话进一步改为:“我这句话是假的”。那末悖论便更明显了’。实际上,如上两次提及的原始命题是公元前六世纪克里特哲学家Epimenides所提出,但很     

十进小数发展簡史

十进小数的出现,是数学史上的一件大事。美国数学史家卡约利(F.Cajori)就会认为十进小数是近代数学史上关于计算基础方面的三大发明之一,他说:“近代计算的异常势力是由于三大发明:印度计数法、十进分数和对数。”因此介绍一下十进小数的发展历史是有益处的。在西洋数学史上常常把十进小数的发明归功于欧洲人,特别归功于斯古文(S.Stevin,1548-1620)等人,这是不正确的。实际上,中国、印度和中亚都在欧洲人之前使用了十进小数。我国是使用十进小数最早的国家,我们从“九章算术”的刘徽注文中找到十进小数的思想。刘徽是我国第三世纪时最杰出的数学家,他于公元263年注解“九章算术”。当时对于奇另小数的记法,主要的是(1)化成分数,(2)或用十进制的数名法。刘徽在长度的记法中采用数名:丈、尺、寸、分、厘、毫、秒、忽,“忽”是最小数名,忽以下就没有专名,在计算中他把忽做为单位,以下那些没有专名的数就是小数。当时刘徽或者把它舍去,或者化成简单的分数,或者用十进小数表达。刘徽在“九章算术”注中有三个地方用到十进小数(以十进分数思想出现)。     

“A=X Y Z”的故事

据说,一个爱说空话而不爱用功的年轻人,整天缠着大科学家爱因斯坦,要他们公开成功的秘诀,爱因斯坦同意了,写下了这个公式:A=X Y Z,爱因斯坦对这位年轻人解释道:“A代表成功,X代表艰苦的劳动,Y代表正确的方法,……”,“ Z代表什么呢?”年轻人迫切地追     

简易逻辑中的“p或q”

在高一数学新教材中引进了简易逻辑这一节,许多同学对“p或q”这张真值表提出了质疑. 质疑1 p:1是有理数;q;1是无理数.这里p真q假,按照真值表:“p或q”为真,可“p或q;1是有理数或1是无理数”是真命题确实让人费解. 质疑2 p:同一平面内不重合的两直线平行;q:同一平面内不重合的两直线相交.这里p假q假,按照真值表:“p或q”为假,可“p或q:同一平面内不重合的两直线平行或相交”     

数理统计学小史 11.回归与相关:发现与早期发展(下)

埃其渥斯（ＦＹＥｄｇｅｗｏｒｔｈ１８４５—１９２６）在概率统计中的知名度，主要是来自他所创立的一种分布展开式——埃其渥斯展开，其实他在统计学上的主要贡献是在相关回归领域。统计史学家斯蒂格勒认为，高尔登、埃其渥斯与皮尔逊３人联手在统计学中掀起了一场革命，在这当中高尔登是思想家，但他拙于数学且不善于从自己的创造性思想中提取出全部果实，留下了许多迷雾。而埃其渥斯是一个思想周密的理论家，在高尔登的听众中他几乎是唯一的一个从高尔登的语言迷雾中看清楚事情的实质所在，并有在数学上清晰表达的可能，以致最终可…     

野猪是谁打死的?

张龙、赵虎和王豹是村里的三名猎手,枪法数张龙好,命中率是80%,赵虎命中率是60%,王豹命中率是40%。有一天,他们三人一起去打猎,在林子里遇到一头野猪,三人一齐开了枪,野猪被打死于.仔细检查的结果;野猪是被一发子弹击中头部而打死的,由于三个人用的枪和子弹型号一样,因此无法断定这一发子弹是谁打的.于是三人争执开了,都认为野猪是自己打死的。 张龙说:“我枪法比你们俩好,野猪当然是我打死的。” “你枪法虽然好,但也不是百发百中,谁能证明这一发子弹是你打中的呢?”赵虎反驳道。 王豹也不服气:“我枪法是差一点,但也经常打着野物,没准这打…     

关于Epimenides悖论

古昔相传下来的Epimenides悖论是: Epimenides(克里特岛人)说:凡克里特岛人都说谎。 人们很快便发现从这句话并不能严格地推出矛盾,于是便作种种修改。最有名的是: (1)现在我说一句假话(Eubulides)。 (2)(再添附下列“事实”):而克里特岛人其余的活的确都是谎话(Russell)。     

如家“融合计划”

2012年3月4日,如家酒店集团（以下简称“如家”）CFO吴亦泓转任新的岗位——首席战略官。显然,这是一个更富挑战性的工作。这位爱旅行、敢拼搏的“女侠”,在职业历程中也是乘风破浪、运筹帷幄。在她任职如家CFO期间,如家成功实现了对莫泰168国际控股公司（以下简称“莫泰”）的并购,并在进行着有序整合。     

介紹網絡問題

所謂网絡問題,首先是由哈立斯(T.Harris)提出的,原来的問題是: “在a,b两个城市之間,有若干个中間站,用鉄路网連通一气,在每两站之間的铁路线上,都給予一个数,作为这段线路的通过能力,现在在一切固定的条件下要求从a到b的极大运輸量。”自从这个問題提出之后,在1955、56、57、58这几年里,有很多人做了很多研究工作,不但大体上解决了原提的問題,而且把研究所得反轉來用到綫性图上,导出一些結果。这个問題的求解,     

从一道奥数题谈起

友人电告:北京青年报4月4日的一篇报道中提到一道奥数题是“怪题”.一道试题受到媒体如此关心,使我很好奇!找来报纸一读,将有关段落节录如下:“请看这道奥数题:有6个人都生于4月11日,都属猴.某年他们岁数的连乘积为17597125,这年他们岁数之和是多少?人们不禁要问:且不说这道题     

数学教育要突出思想方法

<正> 人类越来越清楚地认识到:教育也是生产力。人们予料21世纪人才培养的关键性教育之一是数学教育。数学教育现代化的重要标志至少应是[1]: 1.“教”与“学”这两个侧面人的现代化; 2.数学的思想、方法、语言要现代化;     

数字趣味

一、父亲养驴17头,临终遗言:“我死后,这些牲口,一半给大儿子,三分之一给二儿子,九分之一给小儿子。”问弟兄三人怎么分这几头驴? 答案用“最小公倍数”法求之:     

管仲购鹿取楚

要问春秋时期齐国最有名的人是谁,问十个人有九个会告诉你是“管仲”,第十个人因为太崇拜太激动了,一想到“管仲”这两个字就晕过去了。     

“黄金数”与《幸运52》

两千多年前 ,古希腊数学家欧多克斯发现 ,如果将一条线段ＡＢ分割成大小两段 (ＡＰ>ＰＢ) ,小段与大段的长度之比恰好等于大段的长度与全长之比的话 ,多么这一比值近似等于 0 .6 1 8,用式子表示就是 ＰＢＡＰ=ＡＰＡＢ≈ 0 .6 1 8,这个点Ｐ称为黄金分割点 .大画家达·芬奇把0 .6 1 8称为“黄金数” .有趣的是这个数字在自然界和人们生活中到处可见 :人们的肚脐是人体总长的黄金分割点 ,人的膝盖是肚脐到脚跟的黄金分割点 .大多数门窗的宽长之比是 0 .6 1 8,有些植物茎上 ,两张相邻叶柄的夹角是 1 3 7°3 8′ ,这恰好是把圆周分成 1∶0 .6 1 …     

优美的黄金图形

古希腊学者欧多克斯最早提出黄金分割问题:把一条线段AB分成两条线段,使其中较长的线段AC是原线段AB与较短线段BC的比例中项,这叫把这条线段黄金分割,点C常说成是线段AB的一个黄金分割点.     

证明关联命题的“齐次向量法”

在几何学中,常常把“点在直线上”,“直线通过点”等等关系叫做“关联性”,并且把与“共线点”,“共点线”等有关的命题叫做关联命题。有些关联命题常常决定某种几何的结构。比如,在仿射几何和射影几何中,笛沙格定理、巴帕斯定理就是这种极为重要的关联命题。关联命题的证明方法是多种多样的,大致说来,既可用综合法,又可用解析法。本刊1981年1、2期刊登的     

談談我对“用線段表示三角函数”这一节的教法

凡学过三角的人,誰都知道“用線段去表示三角函数”这节教材的重要性。但有的教师在教学过程中講的不深不透,容易造成学生的死記硬背現象;此如有的学生問:“正切線为什么一定画在單位圓的右边而不能画在它的左边”?有的教师回答“这是一个規定”!这样的回答当然不会使学生滿意的,甚至有的教师認     

从一道数学诡辩题引发的讨论

文 [1 ]十分有意思 .其实这道诡辩题不仅有趣 ,而且也很有用 .从该题可以引发一些有益的讨论 .大家都可能遇到这样的情景 ,在交通拥挤时 ,汽车上的乘客已经满了 ,这时又来了一个急于上车的人 ,为了能上车 ,他总是振振有辞地说 :“让我上吧 ,哪里就不能挤下我一个人 !”撇开其他因素不谈 ,仅从数学推理的角度来说 ,此人的立论是错误的 ,也是一种诡辩 .试想 ,假如此人的立论是正确的 ,也就是说 ,“不管车上有多少人 ,总能再上一个人”,那么按此“立论”,汽车岂不是能将全世界的人都装下 ,甚至所装的人数是无限多 .再如 ,有人说 :穿新鞋只走一…