正项级数比值审敛法的推广

在正项级数审敛法中,比值审敛法是一种既直观又简单的方法,但比值审敛法有一个缺点,即当limn→∞un 1un=p=1时,审敛法失效.本文对比值审敛法作一推广,可判定比值审敛法中p=1时,一些级数的敛散性.引理　对于正项级数∑∞n=1un,若limn→∞un 1un=p(p为有限数或 ∞),则(1)当0≤p<1时,limn→∞(unun 1)n= ∞;(2)当p>1或为 ∞时,limn→∞(unun 1)n=0.引理的成立是明显的.设limn→∞(unun 1)n=r,则r=limn→∞(unun 1)n=elimn→∞nlnun 1un∴当0≤p1或为 ∞时,r=0 ∞.定理　(广义比值法)　对于正项级数∑∞n=1un,若limn→∞(unun 1…     

无穷小的阶在判断级数敛散性中的应用

在正项级数审敛法中有一个极限形式比较法,当达兰贝尔比值法失效时就常应用此审敛法.定理　设∑∞n=1un和∑∞n=1vn,其中un>0,vn>0,如果limn→∞unvn=λ(0<λ< ∞)则级数∑∞n=1un和∑∞n=1vn同时收敛,或同时发散.上述审敛法叫做正项级数的极限形式比较审敛法,因为un→0(当n→∞时)(否则∑∞n=1un发散),所以上述审敛法的实质是寻求无穷小un(n→∞时)的同阶无穷小vn,且∑∞n=1vn的敛散性或已知或容易判断.于是问题的实质将由un去寻求其同阶无穷小vn并转而确定un为1n(n→∞时)的几阶无穷小.一、无穷小阶的求法下面给出无穷小阶的三种常见求法:…     

Taylor公式在级数判敛中的应用

利用Taylor公式把一些级数的通项un近似表示成幂函数1/n^α和（-1）^n/n^β的线性组合，误差为高阶无穷小。根据级数∞∑n=1 1/n^α和∞∑n=1 （-1）^n/n^β的收敛情况比较容易地判别级数∞∑n=1 un的敛散性。     

伪单调数列与带误差的凸组合迭代的收敛性

一 伪单调数列 定义1 设非负数列{ε_n}具有如下性质:“满足 a_(n+1)≤a_n+ε_n,n=1,2,… (1)且有下界的任意数列{a_n}必收敛”,则称数列{ε_n}具有“性质M”。 定理1 非负数列{ε_n}具有性质M的充要条件是级数sum from n=1 to ∞(ε_n)收敛。证 必要性:设非负数列{ε_n}具有性质M,取数列{a_(1n)}为     

级数绝对收敛与条件收敛的审敛法研究

由正项级数∞∑n=1 ｜un｜发散一般不能推出级数∞∑n=1 un发散。但是如果正项级数∞∑n=1 ｜un｜的发散性是由比值审敛法或根值审敛法所确定，则原级数∞∑n=1 un必然发散．     

根值审敛法的几个推论

本文对正项级数收敛性的根值判别法进行了讨论 ,所得推论在判别某些正项级数的收敛性时更为方便。1 .根值审敛法根值审敛法 (柯西定理 )　设 ∑∞n=1un 为正项级数 ,如果它的一般项 un 的 n次根的极限等于 ρ,即limn→∞n un=ρ。则ρ<1时 ,级数收敛 ;ρ>1 (或 limn→∞n un=+∞ )级数发散 ;ρ=1级数可能收敛也可能发散。例　用根值审敛法判别级数 ∑∞n=1( 13 n -1 ) 2 n- 1的收敛性。解　n un =( 13 n -1 ) 2 n- 1n =( 13 n -1 ) 2 ( 3 n -1 ) 1n因为 limx→ +∞ ( 3 x -1 ) 1x =e　 limn→ +∞ln(3x-1)x =e　 limn→ +∞33x-1=e0 =1 ,所…     

级数敛散性的一个判别法则及其应用

给出级数敛散性的一条判别法则．即若{an}单调递减,an〉0（n=1,2,……）,且 lim n→∞ n^m-1 m^n^m-n amn^m/am^n=ρ（其中自然数m≥2）, 则当ρ〈1/m时,∑an收敛,当ρ〉1/m时,∑an发散,由此可推得∞∑n=2 1/nlnn发散.     

数列x_(n_m)~r_(n_m+p)审敛原理

“数列xnm~rnm+p审敛原理”,是数列柯西审敛原理的等价命题.采用“数列xnm~rnm+p审敛原理”判别数列(或数项级数)的敛散性比采用柯西审敛原理更便捷;“数列xnm~rnm+p审敛原理”推广了已有的判别数列(或数项级数)敛散性法则,扩大了已有的判别数列(或数项级数)敛散性法则的应用范围.     

我为高考设计题目

题342在数列{a_n}中,若对任意的n∈N^*,都有a_n≤M(实常数)成立,且对任意的aa,则称数列{a_n}具有性质P(M).(1)设等比数列{b_n}(n∈N^*)的前n项和为Tn,若b_3²+b_4=0,b²-2b_3=0;证明:数列{T_n}具有性质P(2);(2)数列{a_n}的前n项和S_n满足:nS_m+n-(m+n)S_n+3(m+n)mn=0(m,n∈N^*);若数列{S_n}具有性质P(884),求a_1的取值集合.     

求数列前n项和的三种方法

<正>在我校一次质量检测试卷中,有一道数列题,原题如下:在等差数列{a_n}中,a_2=5,a_1+a_3+a_4=19.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{b_n}前n项和为S_n,且S_n+a_n-1/2ⁿ=λ(λ为常数),令c_n=b_(n+1()n∈Nn=λ(λ为常数),令c_n=b_(n+1()n∈N⁺).求数列{c_n}的前n项和T_n.     

关于正项级数Cauchy判别法的一个推广

<正> 在正项级数收敛性的判别法中,Raabe 和 Gauss 判别法是比较细致的.但由于它们是建立在{a_n}单调(至多当 n 充分大以后),且当 n→∞时 a_n/a_(n+1)有一定的渐近式的基础之上,所以稍微破坏了这种较强的单调性状,就不适用了.例如,用这两个方法,都不能判断级数sum from n=2 to ∞[1-α/π(n)]~n 的敛散性,其中π(n)为不超过 n 的素数个数.事实上,当 n 充分大以后,因为     

一道数列问题解法分析

<正>某省2017年高中毕业生复习统一检测文科数学试题第17题和所给问题(1)的参考解答如下:题目"已知数列{a_n}中,a_n²+2a_n-n2+2a_n-n²+2n=0(n∈N+),(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{a_n}的前n项和".(1)的参考解答"由a_n2+2n=0(n∈N+),(1)求数列{an}的通项公式;(2)求数列{a_n}的前n项和".(1)的参考解答"由a_n²+2a_n-n2+2a_n-n²+2n=0,得(a_n-n+2)(a_n+n)=0.∴a_n=n-2或a_n=-n.     

正余弦数列及其子列的敛散性

利用数列{sinn}与{cosn}在区间[-1,1]上的稠密性,及三函数的构造法证明了一些重要的结果,并在这些结果的基础上,对{sin an}k,sin ank{+b}与cos(ank{+b)}的发散性进行了证明.为完全解决{sin pk(n)}与cos pk{(n)}的敛散性提供了许多创新性的思路和方法,也为更加透彻分析{sinn}与{cosn}的分布规律奠定了基础.     

正项级数的比值审敛法与根值审敛法的比较

设正项级数sum from n=1 (un)(其中un>0,n=1,2,…)1.比值审敛法设(?)(un 1)/un=ρ则当ρ<1时,sum from n=1 to ∞(un)收敛; ρ>1时,sum from n=1 to ∞(un)发散; ρ=1时, 此法失效.     

对“M类数列”解法的探究

2010年3月襄樊市高三调研统一测试有这样一道题目:题1对于给定数列{cn},如果存在实数p,q,使得cn+1=pcn+q对于任意n∈N*都成立,我们称数列{cn}是M类数列.(1)若an=2n,数列{an}是否为M类数列?若是,指出它对应的实常数p,q;若不是,请说明理由;(2)数列{an}满足a1=2,an+an+1=3.2n(n∈N*),若数列{an}是M类数列,求数列{an}的     

扰动压缩条件的点列收敛性问题

研究完备度量空间X中满足ρ(xn,xn+1)≤Lρ(xn-1,xn)+εn的点列{xn}收敛性问题,其中L∈(0,1)为常数,εn非负是无穷小量称为扰动.文中的主要结论是:点列{xn}的收敛性由扰动εn决定,即当幂级数sum from n=1 to ∞εnxn的收敛半径R>1/L时,点列{xn}收敛.特别地,当R>1时,点列收敛;而R=1时,{xn}敛散性不能确定.     

从一个案例看问题解决的三条基本途径

案例 数列{an}满足a1+8/7a2+(8/7)2·a3+…+(8/7)n-1·an=n(n+1), (Ⅰ)求数列{an}的通项.     

关于学生数学分析理解思考能力的一次测试试题

1 λ =supA且λ A ,则以下正确的是 :(A)存在单调增加数列an∈A使得limn→∞an=λ ;　 (B)存在数列an=λ -1n ∈A使得limn→∞an=λ ;(C)存在单调减少数列an∈A使得limn→∞an=λ ;　 (D)存在数列an=λ+1n ∈A使得limn→∞an=λ。2 数列 {an}满足 :对任意正数N ,存在正数ε,当n N时有 |an-a| ε,那么(A)数列 {an}收敛 ;　　　　　　　　　 (B)数列 {an}恒为常数 ;(C)数列 {an}当n充分大时恒为常数 ;(D)数列 {an}有界。3 limn→∞1nn !=0的证明 :(1 )对任意正数ε,limn→∞1n !εn=0 ;(2 )所以 ,存在N ,当n N时 ,1n !εn 1 ;(3 …     

一道数学开放题

题目已知:两函数f(x)=kx b(k≠1)和g(x)=x,数列{xn}当n≥2时满足xn=f(xn-1),且x1=α.由此可得出哪些结论? 本题参考答案 (1)函数f(x)=kx b(k≠1)和g(x)=x的图象有交点(b/1-k,b/1-k); (2)数列{xn}满足递推式xn-kxn-1=b; (3)数列{xn}的通项公式是: (4)数列{xn}前n项和: (5)当-1相似文献   

利用构造法巧解一道高考题

(1998年全国理科试题)已知数列{bn}是等差数列,b1=1,b1 b2 … b10=145. (1)求数列{bn}的通项bn;(2)设数列{bn}的通项an=loga(1 1/b)(其中a>0,且a≠1),记Sn是数列{an}的前n项和.试比较Sn与1/3logabn 1的大小,并证明你的结论. 解(1)易求得bn=3n-2. (2)由(1)可得