对一道例题的讨论

刊登于陕西师大主办的《中学数学教学参考》1996年第12期第27页的例10提出的问题是：已知数列｛an｝是首项a1＞0，公比q＞-1且q≠0的等比数列，设数列{bn}的通项bn＝an＋1-kan＋2（n=1，2，3，...），数列｛an｝、｛bn｝的前n项和分别是Sn、Tn，如果Tn＞ksn对一切自然数n都成立，求实数k的取值范围．我们先来看原文的讲解：当q＞0时，QI＞0，"．Q．＞O，故S。＞0；当一IMqMO时，QIM0，1一qM0，1一q"M0，S＝q！．－J－－－－－uMMO．故当q＞一1，且q＃0时，S。＞0总成立，q-kq'＞k，巨rk（1＋q'）＜q，则kMMMM具一合．～1十q'"Zq…     

等差数列中一定包含等比子数列吗

最近在一本《高考数学模拟题》中见到这样一道题：题1当a、d∈N时，等差数列｛a＋（n－1）d｝（n∈N）中，是否含有无穷的等比数列？试加以证明．原书的解答是这样的：设｛bm｝为等比数列，今b1＝a1＝a，b2＝a＋ad＝a（1＋d），…，bn＝a（1＋d）(m－1)．令an＝a＋（n－1）d，利用数学归纳法，只需证明bm∈｛an｝．当m＝1时b1＝a∈｛an｝，设m＝k时命题成立，即bk∈E｛an｝，则h一a（1＋d）‘－‘一a十id（tEN），当m—k－I－1时，h＋l一a（1十的‘一。（1十N‘－‘（1十山一（a＋id）（1＋d）一a＋（a－f－－l＋id）d一a＋pd．其中P—a…     

矩阵损失下多元统计中期望向量的线性Minimax估计

设yi，y2，…，yn，i．i．d，Ey1＝β，Cov（y1）＝∑，这里ε∈RP和∑＞0未知，我们估计β，估计类为L＝｛Liyi：Li为p阶常数方阵，i＝1，2，…，n｝，损失函数为其中V1，V2＞0已知，我们研究β的一个线性估计在L中的Minimax性．主要结果是1．当V2＝kV1，k＞0时，β的唯一的Ⅰ-型线性Minimax估计为Y／（1＋），其中Y＝＝2．当V2＝kV1对所有k＞0不成立，但V1V2＝V2V1时，β的Ⅰ-型线性Minimax估计不存在．3．当V1V2＝V2V1时，β的Ⅱ-型线性Minimax估计为，这个估计在V1，V2满足条件V1V2＝V2V1下变化时，构成了集合｛AY：A对称，A的特征根均在（0，1）中｝．4．对于一般的V1，V2；Y仍是β的Ⅱ-型线性Minimnax估计，这个估计在V1，V2任意变化时，构成了集会｛AY:A的特征根是实的，特征根全在（0，1）中，且A只具有线性初等因子｝．     

污染数据回归分析中估计的强相合性

考虑简单回归模型（Ⅰ）yi＝α＋xiβ＋εi，i＝1，2，…，n，与半参数回归模型（Ⅱ）yi＝xiβ＋g（ti）－εi，i＝1，2，…，n，其中Eεi＝0，Eεi2＝σ12．假定y1，y2，…，yn受到另一独立同分布随机变量序列μ1，μ2，…，μn的污染，且仅能观察到污染数据，｛μi｝与｛yi｝独立．对文[1]，[2]中给出的α，β，g（·）及污染参数v的估计，本文在适当的条件下，证明了它们的强相合性．     

Sierpinski gasket上Brown运动k重时的Hausdorff维数

设k≥2是正整数｛X（t），t≥0｝是SierpinskigasketG上的Brown运动，本文研究了｛X（t），t≥0｝k重时的Hausdorff维数，证明了：其中Mk＝｛（t1，t2…，tk）｝∈Rk：t1，t2，…，tk互不相同，使得X（t1）＝X（t2）＝…＝X（tk）｝，     

一个数列单调性的另一证明

设ξn满足∫20 sinn x d x ＝π2 sinnξn （0＜ξn ＜π2）,利用H?lder不等式,可证数列｛ξn｝的严格单调性。     

与单形外接球心有关的一个不等式

若n维单形A＝A1A2…An r的外接球心O位于其内部，单形A与单形Ai＝A1A2…Ai-1OAi 1…An 1的外接球半径分别为R与Ri(i=1,2,…,n 1），本文证明了：n 1↑П↑i=1Ri≥(nR/2)^n 1，而等号成立的充分必要条件为单形A正则。     

多重整体谱范数最小摄动问题的可解性

1．引言Golub和VanLoan等人［1-8]均研究了TLS问题或多重整体最小二乘问题（简称MTLS问题）：的可解性，其中AECm×n，BECm×d．我们在［6，7］中给出了该问题可解的充要条件如下：定理．设（A，B）H（A，B）＝Cdiag（Al，AZ，…，人十d）C”，其中》1＞入2＞…＞人＞人十1＝…一入。＋1＝…一人t＞人在十1三…三入n＋d；s5fi＜t5fi＋d，CHC一人十d．记则MTLS问题（1．1）可解的充要条件是存在T的子集T’＝｛if，iZ，…，i。n｝使rank（屯…，c：。；cL；…；ex＋。）＝d·（1·2）有趣的是，我们发现存在矩阵对（人B）（见…     

二维渗流最低水平开穿透的宽度

在二维渗流中,设rn是矩形[O,n]2的最低水平开穿透,令ξn=max｛y：（xy）∈rn｝．本文证明了在临界状态p＝pc时,存在常数0＜C1＜C2＜1,当n充分大时有存在,而在上临界状态p＞pc时,有存在］＝0.     

初等算子的正规性

设初等算子E（X）＝n↑∑↑i=1AiXBi，定义E^*(X)=n↑∑↑i=1Ai^*XBi^*我们证明了EE^*＝E^*E当县仅当｛Ai｝和｛Bi｝都是交换的正规算子族，从而回答了由D.Keckic提出的关于初等算子正规性的开问题。我们还给出了E＝E^*的充分必要条件。     

容斥原理的组合证法

容斥原理 设Xi（i=1，2，…，n）为有限集，则有：Card（U1≤i≤n Xi）=∑1≤i≤n Card（Xi）-∑1≤i≤j≤n Card（Xi∩Xj）＋∑1≤i≤j≤n Card （Xi ∩ Xj ∩ Xk）＋…＋（-1）^n-1 Card （∩1≤i≤n Xj）.     

湖北省黄冈中学等七校98届高三联考数学(理)试题及参考答案

选择题（1——10题每小题4分，11——15题每小题5分）1．设全集I=｛0，1，2，3，4｝，A=｛0，1，2，3｝，B=（2，3，4），则AUB等于（）．（A）｛0｝（B）｛0，1｝（C）（，1，4｝（D）｛0，1，2，3，4｝2．不等式Jxz－－sx＋6＞X一1的解集为（）．（A）（。，l）（B）（1，＋co）（C）FI．M）（D）co，5）3．下列函数中，最小王周期是。的函数为（）．4．直线a、b是不互相垂直的异面直线，平面a、q满足：aMa、bM凡且a上见这样的a、q（）．（A）不存在（B）只有一对（C）有有限对（D）有无数对5．函数y—Zsin‘x—sinAs，xE［0…     

运用S_(m n)公式解高考题

设数列｛an}的前n项和为Sn则Sm＋n＝Sn＋（am＋1＋…＋an＋n）．（1）若数列如｛an}是公差为d的等差数列，则Sm＋n＝Sm＋Sn＋mnd（1）特别地，sn＋1=a1＋Sn＋nd．推论等差数列的前n项和为A，次n项和为B，后n项和为C，则（2）若数列｛an｝是公比为q的等比数列，则am＋1＋…＋am＋n特别地，Sn 1=a1＋qSn(2)推论对等比数列有SS＋Sg。一战（SZ。＋Ss。）．在处理某些等差（或等比）数列的“和”问题时，运用上述公式可简捷求解．例1已知k。）是等比数列，若。1＋。2＋a。218，a；＋a3＋a。—一人且入一al＋a。＋…＋a。，那么tims＂的值…     

星形函数族的一个子族的极值点与支撑点

设Ｆ（｛ｎ｝）＝｛ｆ（ｚ）：ｆ（ｚ）在｜ｚ｜＜１内解析，ｆ（ｚ）＝ｚ－∞ｎ＝１ａｎｚｎ，ａｎ≥０，＋∞ｎ＝２ｎａｎ≤１｝，则Ｆ（｛ｎ｝）是星形函数族的一个子族．许多学者研究了这个函数族．设Ｍ＝｛ｆ（ｚ）：ｆ（ｚ）在｜ｚ｜＜１内解析，ｆ（ｚ）＝ｚ－∞ｎ＝１ａｎｚｎ，ａｎ≥ａｎ＋１≥０，＋∞ｎ＝２ｎａｎ≤１｝．在本文中我们找出了函数族Ｍ的极值点与支撑点．     

一类多维马尔可夫链的性质

设d－维Markov链P是由d个不可约Markov链P（k），k＝1，2，…，d按照方式（1）所产生．本文证明了P与｛P（k）｝两者的正常返等价，得到了P的平稳分布的乘积形式，讨论了P与｛P（k）｝之间的常返关系．     

多边形中一个不等式的改进

设Bi是凸n边形A1A2…An的边凡；Ai-1Ai上的内点，mi表示△AiBiBi 1的周长，i=1，2，…，n并约定A0=An，Bn 1＝B1，记n边形B1B2…Bn的周长为m，则文[1]给出；当k>0时有注意上式等价于：诸mi的-k次幂的平均本文将其改进为：诸mi的几何平均（由平均不等式易知（2）的两边都优于（1》上当n边形山人·人的内角相等时，有更强萨故有ABi十AB＋1＜BB＋IC8“百，则由M＝HB，＋HB．．＋l＋B，Bi＋1可得所以（2）式成立．当诸内角A相等时，易知即（3）式成立．证毕．由（3）式易将文［1］定理推广到等角n边多边形中一个不等式的改进@简超$…     

几何分布的统计特征

本文证明了如下命题（１）若存在ｋ，２＜ｋｎ，使Ｘ（ｋ）－Ｘ（１）同｛Ｘ（１）＝１｝及｛Ｘ（１）＝２｝独立，则Ｘ１服从几何分布；（２）若存在ｋ，２＜ｋｎ，使Ｘ（ｋ）－Ｘ（１）同｛Ｘ（１）＝１｝及｛Ｘ（１）＝３｝独立，则Ｘ１服从几何分布；（３）若存在ｋ，２＜ｋｎ，使Ｘ（ｋ）－Ｘ（１）同｛Ｘ（１）＝２｝及｛Ｘ（１）＝３｝独立，则Ｘ１服从几何分布；（４）若存在ｋ，２＜ｋｎ，使Ｘ（ｋ）－Ｘ（１）同｛Ｘ（１）＝１｝及｛Ｘ（１）＝４｝独立，则Ｘ１服从几何分布     

数学奥林匹克讲与练(Ⅹ)

例题讲解73．已知rtABC的三边a、b、c成等差数列，又rtAIBICI的三边也成等差数列且／A一／AI，求证：rtABCOOAAIBICI．证明记。一／A，。1一／AI，／一LC，yi。＜CI，HAAIBICI的三边为11、hi、CI．由＿。。，；＿。a＋cal＋c；已知条件知。—。1；L十上一一一一一一一一一一一（1）利用正弦定理容易求得由（3）易得化简（4）得但。－1，故由（5）有’gY一但o、r；均为三角形的内角，故o这说明y74．求方程组的全体实数解．解首先，易知工I，工2，…，一同号，并且若｛x，，i＝1，2，…，n｝是方程的解，则｛一工，，i—1，…     

1997年全国普通高等学校招生统一考试 上海(理工农医类)数学试题及解答

考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分．试卷中的选做题按A1组、A2组与B1组、B2组排列，A1组对应B1组，A2组对应B2组．考生从对应的两组中可以且只可以选做一组，若同时做了对应的两组试题，或分别做了对应的两组中的部分试题，则只对考生在A组中所完成的部分进行评分和计分．一、选择题（本大题满分24分）1．设全集是实数集R，M=，，则等于（）．（A）{4}（B）｛3，4｝（C）｛2，3，4｝（D）{1，2，3，4}2．三个数6~0.7，0．7~6，log0.76的大小顺序是（）．（A）0．7~6相似文献   

1997年普通高等学校招生全国统一考试(理工农医类)数学试题及解答

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共15小题；第（1）-（10）题每小题4分，第（11）-（15）题每小题5分，共65分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）设集合M=，集合N=，集合M．（A（X|O＜X＜1｝（B）｛XIO＜X＜2）（C){X0≤X≤1）（D）（X|0≤X≤2｝（2）如果直线ax 2y＋2＝0与直线3x—y-2＝0平行，那么系数a=（）．（A）-3（B）-6（C）-（D）（3）函数y=tg（X-）在一个周期内的图象是（）．（4）已知三棱锥D－ABC的三个侧面与底面全等，且AB＝AC＝3，BC＝2，则以BC为棱，以面BCD与面BCA为面的二面角的大…