函数方程的初等解法——代换法

什么是函数方程?含有未知函数的方程叫做函数方程。所以,解函数方程的问题,就是求能使函数方程成立的一个函数或一类函数的集合。运用代换方法解函数方程可有以下四种情况:     

有关“参数方程”教学的一个问题

最近,有些同志提出:在参数方程的教学中,把已知曲线的普通方程化为参数方程时,怎样选取以参数表示的适当的函数关系呢?选取某种函数关系的合理性如何?在选取适当的函数关系时,又应注意些什     

关于函数方程的研究

函数方程,至今还没有完整的理论和方法,因此,不论是对方程本身的研究或是函数方程中未知函数的求解,都须要有较强的技能和技巧以及良好的数学素质和数学能力。正是这个原因,函数方程成了近年来IMO的内容之一,也引起了数学教育界的广泛兴趣。值得注意的是简单的函数方程还出现在国内高中各次数学竞赛的试题中,所以本文拟对函数方程概念和函数方程常见解法做个初步研究。一、函数方程的概念 1.什么是函数方程定义1 表示一个未知函数或未知函数类的确定性质的关系式(方程或等式)称为函数方程。含一个未知函数f的函数方程一般可以表为F(f(x)、f(y))=0或F(x,f(x))=0等等。例如     

Yukawa型系数函数的泛函方程及其与Green函数方程的等价性

本文导出系数函数的泛函方程,找出系数函数与Green函数的泛函关系,利用泛函方法证明了Yukawa型系数函数方程与Green函数方程的等价性。     

利用函数性质解一类方程

高考题中一定会涉及解方程的问题,但并不是所有的方程都能够直接求解,解法需要根据题目特点来选择.对于不能直接求解的方程,可尝试以函数的观点研究方程,方程与函数是两个互不相同的概念,但却存在着密切相关的联系.以函数的观点研究方程,更有利于发掘题目中的隐含条件,一方面可以根据函数图像,从图形的角度来思考,另一方面可以通过考察函数的性质,从代数的角度来思考.本文主要讨论从代数的角度解这类方程的问题.2009年(辽宁卷)客观题最后一题是这样     

函数方程的几种有效解法

含有未知函数的等式称为函数方程，解函数方程的问题，就是求能使函数方程成立的一个函数或一类函数的集合，解函数方程没有一般的方法，需要有较强的解题技能和技巧，本文通过例题介绍函数方程的几种有效解法。     

微分方程

读者已经熟悉象代数方程、三角方程等那样一些方程,在这些方程中,作为未知而要去求的是一个量的某几个特定值;但在自然科学的领域中,常常需要研究另外一类性质上完全不同的方程,在这类方程中,作为未知而要去求的是整个函数。这类方程统称为函数方程;在函数方程中最重要的一种是所谓的微分方程,它与一般的函数方程的主要差别在于这种方程中还包含了未知数的导数或微分,明确地说,所谓微分方程就是联系着自变量,未知函数以及其导数(微商)或微分的关系式。如果微分方程中的未知函数只与一个自变量有关,则称为常微分方程,如果未知函数与两个或更多个自变量有关,则称为偏微分方程、     

从函数角度看某些方程、不等式的解

中学数学里的方程、不等式与函数间的联系是双向的:一方面函数的整体性认识要得到方程、不等式的支持;另一方面函数整体性认识又应给方程、不等式以指导。但就目前教材的安排以及其中的例题与习题的配备来看,这后一方面的联系,显得不足。下面就本人对高一教材所做过的补充和延伸,举例谈谈关于某些方程、不等式的解,可以从六个方面考虑。一从函数定义域考虑     

广义函数空间上Drygas型函数方程的稳定性

在广义函数空间上重新定义了Drygas型函数方程的稳定性,然后利用高斯变换将广义函数空间上的函数方程稳定性转换为R~(n+1)空间上的光滑函数方程的稳定性.在求得正则化的函数方程稳定性后,利用广义函数与正则化函数间的关系给出在广义函数空间上的Drygas型函数方程的Hyers-Ulam-Rassias型稳定性.     

几种广义非线性发展方程的新解

本文研究了构造了广义Kd V方程和广义KP-Burgers方程等几种广义非线性发展方程的新解的问题.利用三种辅助方程及其新解,获得了广义Kd V方程和广义KP-Burgers方程等几种广义非线性发展方程的新解.这些解由双曲余割函数、双曲正切函数、双曲正割函数、双曲余切函数和余割函数组成.     

Pasternak地基上简支板振动问题的准格林函数方法

提出一种新的数值方法——准格林函数方法．以Pasternak地基上简支多边形薄板的振动问题为例,详细阐明了准格林函数方法的思想．即利用问题的基本解和边界方程构造一个准格林函数,这个函数满足了问题的齐次边界条件,采用格林公式将Pasternak地基上薄板自由振动问题的振型控制微分方程化为两个耦合的第二类Fredholm积分方程．边界方程有多种选择,在选定一种边界方程的基础上,可以通过建立一个新的边界方程来表示问题的边界,以克服积分核的奇异性,最后由积分方程的离散化方程组有非平凡解的条件,求得固有频率．数值方法表明,该方法具有较高的精度．     

一类方程根的分布问题的解法分析

基于分段函数（绝对值函数），以方程为研究对象，着重考查方程根的存在性，这类试题学生普遍感觉较难，难在它把数与形完美结合在一起，突破难点，既要依赖对方程的认识（如根的个数），又要依赖函数图像特征．下面举例加以说明．     

关于广义冬梅地图的计数(英文)

本文提供了广义冬梅地图以根点次,非根点数和内面数为参数的计数函数所满足的一些函数方程,其中有两个为三次方程,并进一步导出了它们的计数显式。     

例谈含参数的指数和对数方程的教学价值

在教育部颁布的《普通高中数学课程标准（实验）》中,必修课程“数学1”模块中编排了“函数与方程”单元,旨在通过函数图像和性质研究方程的解,体现函数与方程的关系．在《上海市中小学数学课程标准（试行稿）》中,高一年级编排了“指数方程和对数方程”的学习内容,要求“在利用函数的性质求解指数方程、对数方程以及求方程近似解的过程中,体会函数与方程之间的内在联系”．     

Walsh函数的一个迭代方程体系

Shanks曾用迭代方程产生离散佩利编号Walsh函数。作者在[4]中,给出了产生离散沃尔什编号Wa1sh函数的迭代方程. 本文在上述基础上,提出了一个产生离散哈德玛编号Walsh函数的迭代方程,推出了离散哈德玛编号Walsh函数的表示式及其变换(FWHT)的快速计算公式. 上述三个极为类似的迭代方程,已构成了离散Walsh函数的迭代方程体系.连续的Walsh函数,也能用迭代方程这种形式来描述.     

简支梯形底扁球壳自由振动问题的准Green函数方法

以简支梯形底扁球壳的自由振动问题为例,详细阐明了准Green函数方法的思想.即利用问题的基本解和边界方程构造一个准Green函数,此函数满足了问题的齐次边界条件,采用Green公式,将简支梯形底扁球壳自由振动问题的振形控制微分方程化为两个耦合的第二类Fredholm积分方程.边界方程有多种选择,在选定一种边界方程的基础上,可以通过建立一个新的边界方程来表示问题的边界,以克服积分核的奇异性.最后由积分方程的离散化方程组有非平凡解的条件,求得固有频率.数值结果表明,该方法具有较高的精度.     

浅谈函数、方程、不等式之间的联系

<正>函数、方程和不等式是初中数学的主要内容,也是中考的必考知识点.新课程标准把此三部分的关系提到了十分明朗化的程度,因此,初中教学应该重视这三部分内容.总的来说,函数主线下的方程、不等式,本质上就是将研究方程、不等式这个局部的问题放在函数的整体性质中把握,将求方程根及研究根之间关系、求不等式解集这些静态的结果放在动态的变化过程中研究.即函数主线下的方程、不等式是整体与局部的关系,方程是函数的"点状态",不等式是函数的"区间状态",函数是"连续状态",函数统领方程和不等式.     

隧洞围岩应力复变函数分析法中的解析函数求解

利用复变函数理论进行地下任意开挖断面隧洞围岩应力分析的前提,是根据围岩应力边界条件方程推导出两个解析函数．从Harnack定理出发,将隧洞围岩应力边界条件方程转化成积分方程;把Laurent级数有限项表示的映射函数引入积分方程中,将以任意开挖断面为边界条件的解析函数求解转化成以单位圆周线为边界条件的求解问题．对积分方程中各被积函数在讨论域内的解析性进行了分析,在此基础上利用留数理论求解了方程中各项积分值,并获得了用来表示任意开挖断面隧道围岩应力的两个解析函数通式．给出了圆形和椭圆形隧道的两个解析函数求解算例,所获得的结果与文献中的结果一致．利用留数理论推导出的两个解析函数通式,适用于任意开挖断面隧洞的围岩应力解析解的计算,且计算过程更为简单,计算结果更为精确．     

未知数在絕对值符号下的方程

解最簡单的未知数在絕对值符号下的方程,有助于学生更深刻的理解大綱中的一系列問题(数的絕对值、方程、函数及其图象等等),而不要求学生具有任何专門知識。解这些方程可以作为学习y=|f(x)|型函数及其图象的第一步。(順便提提,以函数y=|x|为例,容易証明,由函数在已知点的連     

基于双尺度方程近似解的适合任何连续信号的近似采样定理

提出了一个对任何连续信号,利用双尺度方程的近似解的近似采样定理.采样函数是一个双尺度方程的近似解,是一个逐段线性函数,有明确的计算公式,且精度可以控制.采样函数由双尺度方程的系数唯一决定,可以通过选择双尺度方程的系数而使采样函数具有良好的性质.