透过现象看本质——“隐圆”问题探究

<正>圆是高中数学一种重要的曲线,在一些与圆有关的题目中,条件没有直接给出圆方面的信息,而是隐藏在题设中.通过题意的分析发现圆(或圆的方程),从而可以利用圆的相关知识求解问题,我们称这类问题为"隐圆"问题.这类题目构思巧妙,综合性强,充分考查了数形结合、转化和化归等数学思想,处理这类题目关键在于能否把"隐圆"找出来.下面我们结合以下例题探讨几类常见类型的"隐圆".     

一道高考试题的推广

2008年高考江苏卷第18题是一道有关二次函数与圆的解析几何题:在平面直角坐标系xOy中,记二次函数f(x)=x~2+2x+b(x∈R)与两坐标轴有三个交点,经过三     

在平凡中创新——2008年江苏卷第18题评析

2008年高考江苏卷第18题:在平面直角坐标系xOy中,设二次函数f(x)=x2+2x+t(x∈R )的图象与两坐标轴有三个交点,经过这三点的圆记为C,求圆C的方程.……     

从一道高考题谈一类动圆过定点问题的几何背景

解析几何中的定点问题一直是高考的一个热点问题，笔者最近在研究高考试题时发现2008年江苏卷第18题的动圆过定点问题很有趣，深入研究后发现其命制背景甚为简洁，本文通过该题来谈谈此类动圆过定点问题的几何背景．     

浅析直线与圆锥曲线问题的几种解法

近几年高考中,解析几何试题一般共有4题(2个选择题,1个填空题,1个解答题),共计30分左右,考查的知识点约为17个左右.其命题一般紧扣课本,突出重点,全面考查.选择题和填空题考查直线、圆、圆锥曲线、参数方程的基础知识.解答题重点考查圆锥曲线中的重要知识点,通过知识的重组与链接,使知识形成网络,着重考查直线与圆锥曲线的位置关系,求解有时还要用到平面几何的基本知识,这点值得考生在复习时强化.     

一道高考试题的推广

2008年高考江苏卷第18题是一道有关二次函数与圆的解析几何题：在平面直角坐标系xOy中，记二次函数f（x）=x^2＋2x＋b（x∈R）与两坐标轴有三个交点。经过三个交点的圆记为C．     

有“圆”千里来相会

<正>2021年全国各地的中考数学试卷出现了这样一类题:题干条件中明明没有提及任何与"圆"相关的字眼,但在解题过程中构造辅助圆往往可以化难为易,起到事半功倍的良好效果.我们把这样一类问题称之为"隐圆"问题.1 "隐圆"模型有"圆"千里来相会,"隐圆"问题的突破口就在于根据已知条件构造出解题所需的"辅助圆".有的"隐圆"问题形式虽然复杂,但基本都是在以下四种基本模型(如图1所示)的基础上变化而成的.     

“向量”为船 “圆”来借箭

<正>向量是平面几何和代数的整合,也是初中知识和高中知识的结合点,更是数形结合的典范.在求解平面向量部分题型时,若单纯利用代数知识,虽然可以解决,但运算量极大,而且不够直观,若构造圆来解题,利用数形结合,再结合圆的性质,这些题型都将轻松迎刃而解.以下将举例说明哪些平面向量的题型可以构造圆来解决.一、圆的定义:平面中到一个定点距离为定值的所有点的集合例1(2016年四川高考理数第10题)在     

例谈高考中的“隐性”轨迹题

根据已知条件求轨迹方程是平面解析几何研究的主要问题 ,也是高考命题的热点问题 .纵观历年的高考题 ,可以发现高考对轨迹方程的考查 ,分为两类 :一类是“显性”的 ,即题中明确告诉你要求轨迹方程 (或求某种特殊的曲线方程 ) ,这类问题 ,解题目标明确 ,解题方向容易把握 .另一类是“隐性”的轨迹题 ,表面上题目与求轨迹方程无关 ,但需要把问题转化为求轨迹方程才能解决 .这类问题具有一定的隐蔽性 ,解题方向不易把握 ,有时解题会隐入困境 .在高考复习中 ,我们要重视后一类问题的复习 ,熟悉它们的解题特点 .请看下面几例 .例 1　 ( 1 988年全…     

江苏高考数学第18题解法探析及教学启示

江苏高考数学第18题是一道涉及直线的方程、圆的方程及直线与圆位置关系的解析几何题,从阅卷点反映此题(2)问学生得分很不理想.第1问是定性问题,直接计算即可,第2问是存在性探索题,在变化中探索满足题设条件的所有点的坐标.一"静"一"动",一"变"一"定",变中有定,定中含变.     

重视高三复习中基本数学模型的性质探究 ——“阿波罗尼斯圆”教学实录及反思

新课程把探究能力放在了突出的位置.在新课程背景下的高考命题中,探究性问题已成为改革的亮点.如何培养和提升学生的探究能力,是高三复习需要重点关注的.笔者在2016届高三复习中,曾以“阿波罗尼斯圆”为载体,引导学生探究,对此产生一些感悟.本节课的授课时间为80分钟(两节课连上),授课班级为南京市某重点高中高三理科班.学生数学基础好,思维灵活,有较强的运算能力、抽象概括能力和推理论证能力(在2016年江苏高考中,该班高考数学平均分为160分).     

几何证明选讲之“圆”的题根研究——从“圆周角定理”说起

几何证明选讲在人教版新课标教材中以选修内容出现,其主要内容之一是圆及其相关性质定理的应用,如"相交弦定理""线割线定理""割线定理""弦切角定理"等,高考对此部分内容的考查多以选择或填空及附加题的形式出现,试题难度不大,考查的知识点较为固定,本文以"圆周角定理"为根,就相关定理的推广应用,展开探究.题根:(圆周角定理)在同一圆上,同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍.证明:略.说明:由圆周角定理可直接得出结论:同弧所对的圆周角相等,这是圆最基本的性质之一,在此基础上我们可以直接或间接得出圆的其他相关性质定理.     

2012年高考江苏卷第19题剖析与启示

2012年高考江苏数学试卷保持了新课程高考方案的基本思想,试卷结构稳定,突出双基,重视能力,知识点广,容易上手,难度递增但也区分明显,利于选拔,各种层次考生可以充分展现自己的真实能力.可就在高考第二科数学考试结束后,学生口中和网上却对江苏卷的第19题第二问的评价为"比较变态".这道题和江苏省2010、2011年的第18题解析几何题出题背景同出一辙,都是以直线和椭圆为背景来命题的,是一个"常见问题",究竟是什么原因让"常见问题"变得"比较变态"呢?笔者考后与学生共同剖析这道解析几何题,得到一些教学启示,与同行共享.     

依托旋转研究极限,函数思想破解难关

"直线与圆"是解析几何的重要组成部分,其地位同圆锥曲线.很多考试都会命制质量上乘的考查直线与圆的位置关系的题目.求解直线与圆的位置的关系的题目,最关键的是灵活转化——将题目所给的条件灵活转化为相关的式子,要能透过表象看透本质,看透命题人的目的,看透命题人想考查的知识点,看透命题人想考查的数学方法,应用之求解.题目1(2014年江苏南通五校联考,18)已知△ABC的三个顶点A(-1,0)、B(1,0)、C(3,2),其外接圆为圆H.(1)求圆H的方程;(2)若直线l过点C,且被圆H截得的弦长为2,求直线     

从压轴题阅卷谈2017高考数学

2017年的江苏高考数学试卷,在保持稳定的基础上,进行适度的改革和创新,对数据处理能力、应用意识的要求比以往有所提高.2017年江苏数学试卷在“稳中求进”中具体知识点有变化.     

一道高考题带来的三种解题观

我们先看2010年江苏高考卷的第18题的第3问: 在平面直角坐标系中,如图,已知椭圆(x2)/(9)+(y2)/(5)=1的左右顶点为A,B,右焦点为F,设过点T(t,m)的直线TA,TB与椭圆分别交于点M(x1,y1),N(x2,y2),其中m>0,y1>0,y2<0.     

应用向量共线性求解一类向量问题

<正>近年高考中,经常出现含有形如AP=xAB+yAC的一类向量等式.而将向量AP进一步转化,即设AP=tAD(其中B,C,D共线),是求解这类问题的有效办法.下面以高考试题进行举例说明,供大家参考.例1(2017年高考全国3卷理科第12题)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若AP=     

为何是“最困难的一次”?——概念课“数系的扩充”教学难点的思考

在江苏高考中,复数相关知识点一般只考查一个5分的填空题,很多教师往往只看到5分的价值,对复数章节了解研究不深.例如,在概念课“数系的扩充”教学中,简单照搬教材内容,很快地提出概念、形成规则,然后留出大量时间训练解题.     

探究2011年江苏高考解几第18题

2011年江苏高考已落下了帷幕,在人们的期盼中,数学试卷也揭开了神秘的面纱.其中的第18题是解析几何解答题,感觉似曾相识,引起了笔者极大的兴趣,本文探究18题中(1),(3)题的共同的背景、简洁解法以及(3)题的推广、反向探索.     

2016年高考数学江苏卷解析几何试题剖析

解析几何是培养学生运算能力的重要载体,也是高考数学重要考点之一.2016年高考数学江苏卷解析几何以圆为载体,考查直线的方程、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、平面向量线性表示.该题属于中等偏难题,侧重对学生基础知识和基本技能的考查,但阅卷过程中发现解答的正确率不及预期,均分仅仅7.06分.问题究竟出在何处？本文拟通过剖析今年的解析几何试题,谈点认识与思考.