2012年江苏省数学竞赛初赛第13题的解法初探

2012年全国高中数学联赛江苏省初赛第13题是一个非常优秀的试题,下面谈谈这道试题的几种解法.题目如图1,半径为1的圆O上有一定点M,A为圆O上的动点,在射线OM上有一动点B,AB=1,OB>1.线段AB交圆O于另一点C,D为线段OB的中点.求线段CD长的取值范围.     

均分线段

大家都知道,用尺规将线段均分成偶数段很容易,即在被分的线段上不断截取中点就行.怎样把线段均分成奇数段?下面给出简便易行的方法.例1把线段AB三等分.作图:1.如图1,以点B为圆心,线段AB为半径作圆,又以点A为圆心,线段AC为半径作圆(点C是AB中点),交圆B于D;2.作∠ADB的平分线交AB于E,则AE是AB的三分之一;3.以E点为圆心,线段AE为半径作弧,     

圆锥曲线的一类切线的几何画法

下面是一个关于圆的切线判定的平面几何命题 :如图1所示 ,AB是⊙O的直径 ,EB是⊙O的切线 ,直线EA交⊙O于点D ,A ,点C是线段BE的中点 ,那么 :DC是⊙O的切线 .这个命题不仅给出了圆切线的一个几何画法 .而且可引伸出圆锥曲线的一类切线的几何画法 .本文以命题的形式介绍这种方法 .图 21　椭圆切线的一个几何画法命题 1　如图 2所示 ,AB是椭圆的长轴 ,过B的直线l⊥AB ,点D是椭圆上除长轴两端点外任意一点 ,直线AD交直线l于点E ,点C是线段BE的中点 .则DC是椭圆的切线 .证明　如图 2 ,建立直角坐标系 ,设椭圆图方程是x2a2 + y2b2 =1…     

椭圆的作法

椭圆是解析几何研究的一个重要对象.下面介绍几种常用的几何画板(4.0X版)作椭圆的方法.1根据第一定义作椭圆1.1方法1设计要点:以线段AB长作为定长,在AB上任取一点C,分别以线段CA,CB的长作为椭圆上动点到两定点的距离.作法:1)作线段AB,并在AB上任作一点C.2)作线段DE(D,E为两定点,且DE长小于AB长.3)以点D的圆心,线段CA为半径作圆c1;以点E为圆心,线段CB为半径作圆c2;并求得圆c1,c2的交点F,G(F,G即为椭圆上的点).4)分别作出点C在AB上移动时点F与点G的轨迹即是椭圆.5)可制作出点C在AB上移动的动画按钮,并对点F,G进行追踪,可得…     

转换角度 解决问题

<正>1问题(2020年北京中考,28)在平面直角坐标系x Oy中,☉O的半径为1,A,B为☉O外两点,AB=1,给出如下定义:平移线段AB,得到☉O的弦A′B′(A′,B′分别为点A,B的对应点),线段AA′长度的最小值称为线段AB到☉O的"平移距离".(1)如图1,平移线段AB得到☉O的长度为1的弦P1P2和P3P4,     

摆线、圆的渐伸线、星形线的作法

摆线、圆的渐伸线、星形线是高等数学教学中经常遇到的重要曲线.下面给出用几何画板(4.05版)作这些曲线的方法.1摆线的作法方法1用摆线的定义作图.设计要点:利用圆在直线上滚动的距离等于圆心移动的距离,用平移变换得到轨迹点.作法:1作线段AB,点C;以C为圆心,AB为半径作圆C1.2过     

线段中点公式及应用

<正>线段中点公式是指:线段上一点到线段中点的距离分式,可分以下两种情形.1.点在线段上公式1如图1,O是线段AB的中点,点P在线段AB上(P不与A、O、B重合),则PO=(PA-PB)/2.     

一个图形中的多种均值线段

如图 ,半径为R、r的两圆相互外切于点T ,AB为两圆的外公切线 ,连结AT、TB ,作过T点的两圆的内公切线TC交AB于C .连OC、O′C ,分别交AT、BT于M、N .有以下结论成立 :(1)图中所有直角三角形都相似 ;(2 )除两圆半径外 ,所有的线段都是某些线段的均值线段 .下面分析论证 :1° .先证明Rt△AMC∽Rt△OMA∽Rt△OAC .∵　CA、CT为⊙O切线 ,A、T为切点 ,∴　CA =CT ,且∠ACO =∠TCO .∴　OC⊥AT .而　∠OAC =90° ,∴　△OAC为直角三角形 .∴　Rt△AMC∽Rt△OMA∽Rt△OAC .2° .证明　Rt△AMC≌△Rt△TMC .在Rt△A…     

一道初中数学竞赛题的多种证明和拓展

<正>2015年全国初中数学联赛四川赛区决赛第12题如图1,在等腰三角形ABC中,O为线段AB的中点,线段OC与以AB为直径的☉O交于点D,射线BD交AC于点E,若AE=CD,求证:∠BAC=90°.图1这是一道圆与直线型的综合题,是几何题的压轴题,具有一定的难度,我们深入探究此     

初中几何中线段的最小值问题

<正>几何中线段的最小值问题常作为中考的考点,解题依据主要有:"两点之间线段最短"、"垂线段最短"和"圆外一点与圆心的连线与圆相交,这一点与交点的线段就是点到圆的最短线段"等几何基本事实和推论,但运用时往往会将其转化,构造相等线段(全等三角形)和辅助圆来解答.1直接利用基本事实和推论(1)利用"两点之间线段最短"例1如图1,在菱形ABCD中,AB=10,∠A=120°,点P,Q分别是线段BC、CD的中点,点K为线段BD上任意一点,求PK+QK的最小值.分析运用"两点之间线段最短"时,往往运用轴对称,因为点K为线段BD上任意一     

一道中考题让我知道

<正>(2015年湖州)24.平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,线段AB的两个端点A(0,2),B(1,0)分别在y轴和x轴的正半轴上,点C为线段AB的中点,现将线段BA绕点B按顺时针方向旋转90°得到线段BD,抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)经过点D.(1)如图1,若该抛物线经过原点O,且a     

一道测试题的纯几何证明

题目[1] 设圆O1与圆O2交于两点A、B．点R在圆O1的弧AB上,点T在圆O2的弧AB上（如图1）．AR、BR分别与圆O2交于C、D．AT、BT分别交圆O1于Q、P．     

星形线作为直线族与椭圆族的公包络——中学教材中一道解析几何题的引伸

1.引子(圆)平面解析几何中有一个大家都很熟悉的题目,我们把它作为本文的引子: 一条线段AB(AB=r)的两端点A和B分别在x轴和y轴上滑动,求线段AB的中点P_0的轨迹方程(见六年制重点中学平面解析几何课本第81页第15题)。 解:设P_0点的坐标为P_0(x_0,y_0),以线段AB与x轴的夹角θ为参数,则     

争鸣

问题119例1在等腰Rt△ABC中,在斜边AB上取一点M,求AM的长小于AC的长的概率.分析点M随机地落在线段AB上,故线段AB为试验所有结果构成的区域,当点M位于如图1所示线段AC′上时,AM相似文献   

2013年全国高中数学联赛加试试题及参考答案

<正>一、(本题满分40分)如图1,AB是圆ω的一条弦,P为弧AB内一点,E、F为线段AB上两点,满足AE=EF=FB.连接PE、PF并延长,与圆ω分别相交于点C、D.求证:EF·CD=AC·BD.证明如图2,连接AD,BC,CF,DE.由于AE=EF=FB,从而     

一道试题的另证

试题如图,在三角ABC中,∠A为最大角,外接圆上两点D、E分别为A︵BC与A︵CB的中点.记过点A、B且与AC相切的圆为⊙O1;过点A、E且与AD相切的圆为⊙O2,⊙O1与⊙O2交于点A和P;证明:AP平分∠BAC.这是一道2012年中国数学奥林匹克试题,下面我们利用同一法给出一种新证明.     

对一道课本习题的修改建议

九年制义务教育教材(人民教育出版社)《几何》第二册P168第4题是: 画已知线段AB关于点O(不在AB上)的对称线段A＇B＇,再画A＇B＇关于点O＇(不在A＇B＇上)的对称线段A＂B＂,并证明 A＂B＂AB。     

一道全国初中数学联赛试题的解法探析

<正>1.原题(2005年全国初中数学联赛初赛)如图1,AB是⊙O的直径,AB=d,过点A作⊙O的切线并在其上取一点C,使AC=AB,连结OC交⊙O于点D,BD的延长线交AC于E,求AE的长.2.巧添平行线,转化线段比思路要求AE的长,可转化为求AE/AC     

立足旧教材融合新课改——对2010年湖北高考数学理科第15题的思考与拓展

2010年湖北高考数学理科第15题:图1设a>0,b>0,则(2ab)/(a+b)为a,b的调和平均数.如图1,C为线段AB上的点,AC=a,CB=b,O为AB的中点,以AB为直径作半圆.过点C作AB的垂线交半圆于D,连接OD,AD,BD.过点C作OD的垂线,垂足为E.     

最长弦与最短弦问题

考查经过圆内一点的最长弦与最短弦,尤其最短弦具有的性质是高中数学中的一类重要问题,在近年来的高考及各类数学考试中该类问题频繁出现.试总结如下:这里先给出一个常用结论:性质1设圆O的半径为R,M为圆内不同于圆心O的一定点,设OM=m(0相似文献