问题５与问题６

正问题5(供题者:复旦大学应坚刚)向平面随机地投掷一根长为2的针.求(i)针仅与平行线■之一相交的概率;(ii)针与平行线■相交的概率.问题6(供题者:浙江大学张立新)设X和Y是相互独立的非退化随机变量,a为实数.假设X+Y与aX同分布.证明     

问题与征解

<正>问题5 （供题者：复旦大学应坚刚）向平面随机地投掷一根长为2的针.求（i）针仅与平行线y{=n:n∈Z}之一相交的概率;（ii）针与平行线y{=3n,y=3n+1:n∈Z}相交的概率.以下解答由胡行健（复旦大学数学科学学院2018级本科生,Email:18300180061@fudan.edu.cn）提供.     

一类几何概率问题的推广

文从著名的蒲丰投针问题出发，得到凸ｎ边形与一组等距离的平行线相交的概率公式．     

一类几何概率问题的推广

本从名的蒲丰投针问题出发．得到凸n边形与一组等距离的平行线相交的概率公式。     

解析几何问题的向量解法

平面向量具有几何形式与代数形式的双重性.利用代数方法来解决几何问题,是中学数学的一个重要方法,而用平面向量的有关知识来解决解析几何中的有关问题具有独到之处. 一求最值例1 已知椭圆x2/a2+y2/b2=1(a>0,b>0),求:ω=x+y的最大值与最小值.     

立体几何学习之“窍门”

学习立体几何与学习平面几何有许多相似之处,笔者略加归纳如下. 一、学会说立体几何中的命题比较复杂,但它们都是由简单的几何语句组合而成,因此,首先必须学会说简单的几何语句.新版教材(第二册)P20第6题(人教社):直线AB平行于平面a,经过AB的一组平面和平面a相交.求证:它们的交线a、b、c、…是一组平行线.这是一个比较复杂的命题,它是由三个简单的几何语句构成.     

借助第三平面作无棱二面角的棱

同学们对二面角历来都感到困难 ,尤其是无棱的二面角 ,更感到无章可循 .本文将从同时与二平面相交的第三平面入手考虑 .因为二平面与第三平面分别有一条相交直线 ,又这两条直线同时在第三平面内 ,其位置关系只有两种情况 :相交与平行 .若两条直线相交 ,由公理2知 ,交点必在二平面的交线上 ,由此可作出棱 ;若两条交线平行 ,由线面平行的判定和性质知 ,两条直线必与二平面的交线平行 ,由此图 1可作出棱 .例 1　底面是直角梯形的四棱锥Ｓ ＡＢＣＤ ,∠ＡＢＣ =90° ,ＳＡ⊥底面ＡＢＣＤ ,ＳＡ =ＡＢ =ＢＣ =1,ＡＤ =12 ,求面ＳＣＤ与面ＳＡＢ所…     

平行线学习的注意事项

一、注意平行线定义的事项在平面内的两条直线的位置关系有平行(包括重合)、相交(包括垂直).故平行线是平面上两条直线的特殊位置关系,由平行线的定义必须注意到两点:(1)同一平面内的两条直线;(2)不相交.这两个条件必须同时具备.平面内的两条直线AB、CD平行,记作AB∥CD,其中符号“∥”是专指两条直线平行的,是     

课前3分钟数学史话引出的一节探究课

1777年的某天,法国科学家蒲丰C.I*Buffon(1707-1788)先在桌上铺一张纸,其上画好一条条等距离的平行线,平行线之间的距离为4厘米,又备了多枚长2厘米的小针,然后兴致勃勃地请来许多客人,让他们向纸上随意投针.结果,不知原委的客人们共投针2212枚,其中有704枚与平行线相交.……     

课前3分钟数学史话引出的一节探究课

1777年的某天,法国科学家蒲丰C.I·Buffon(1707-1788)先在桌上铺一张纸,其上画好一条条等距离的平行线,平行线之间的距离为4厘米,又备了多枚长2厘米的小针,然后兴致勃勃地请来许多客人,让他们向纸上随意投针·结果,不知原委的客人们共投针2212枚,其中有704枚与平行线相交·蒲丰十分得意地说:“刚才我们所做的试验,已经求出了π的近似值,为2720142·”圆周率π竟然在一个看似与圆“无关”的问题中求出,这应如何解释呢?这是陈清悦同学在我们高三(6)班“课前3分钟数学史话”中跟大家分享的一则数学小故事·看得出来,她介绍的“蒲丰投针”问题引起了所有同学的兴趣,课堂气氛十分热烈·高三学生已经有用一定的知识去分析解决一些常见的实际问题的能力,但从七嘴八舌的讨论中,大家显然还理不出头绪来,强烈的求知欲和好奇心使他们无法安静下来·作为教师,笔者也非常地兴奋·虽然圆周率早已为我们所熟知,但是π值可以利用概率的方法来求却很少在课堂中涉及·笔者觉得这个问题应该成为这堂课的主角,于是放下原先准备的复习内容,饶有兴趣地与同学一起去探求这一问题的来源·通过大家的讨论,首先我们容易确定这是个概率问题(几何概型),上述问...     

立体几何常见图形变式解题例谈

《立体几何》P1 1 2上说“生产和生活中的物体、形状虽然复杂 ,但是很多可以看作是由柱体、台体、球体、球缺等组合 (如铆钉 )或者切割 (如螺帽 )而成的”.这就是割补法的思想方法 .本文谈谈在几何体的割补分解中经常用到的几种常见的、基本的几何图形的变式 .1　平面展开利用几何体平面展开前后的对比 ,觅寻图中“变”与“不变”的位置关系 ,可以巧妙地解决一些问题 .“以直代曲”是将图形平展变式的结果 ,它是处理“质点沿几何体的表面曲线运动路径最短”这一典型问题的重要办法 .例 1　设正三棱锥 A— BCD的底面边长为 a,体积为 1 11 2 a3,过顶点 B作与侧棱 AC、AD都相交的截面 BEF,求此截面周长范围 .简析　如图 1中 (甲 ) ,设顶点 A在底面BCD的射影为 O,AO =h,　 13.12 a .asin 6 0&;#176;.h =1 11 2 a3 　 h =333a,　　 BO =33a,(甲 )　　　　　　　　　 (乙 )图 1为了求△ BEF的周长 ,如直接求三边的长 ,困难可想而知 .如将三边之和整体考虑 ,可将三棱锥沿 AB剪开平展成图 1 (乙 ) .则可用图 (乙 )中的直线段 B...     

一个正多边形被两条平行直线截出的一个定值

文 [1 ]给出了命题 1 :正方形ABCD是块边长为a的硬纸片 .平面内的两条直线l1∥l2 ,它们之间的距离也等于a .现将这块纸片放在两条平行线上 ,使得l1与AB ,AD都相交 ,交点分别为E ,F ;l2 与CB ,CD都相交 ,交点分别为G ,H .记△AEF周长为c1;△CGH周长为c2 .证明 :不论怎样移动正方     

一次关于概率P(AB)的数学实验及其思考

一、问题的产生在一次数学实验中 ,我们要求学生用 Monte Carlo方法求两平面曲线 y=( x+1 ) 2 与 y=5-( x+2 ) 2所围成的区域的面积 (如图 1中的 AB部分 ) .图 1Monte Carlo方法是通过投点法求得几何图形的面积 (长度、体积 ) ,例如求图 1中 AB部分的面积 SAB。记矩形 D=[-3 ,0 ;0 ,5],则显然 SD=1 5。根据几何概率有 :P( AB)≈ SABSD,从而有 :SAB≈ P( AB)· SD。因此 ,若能求得 P( AB) ,则立即可得到面积 SAB。问题的关键是如何求得 P( AB) ,这有一定的困难。Monte Carlo方法主要思想是用频率来代表概率 ,而频率可以用投…     

异面直线距离的一种求法——射影法

不少文章介绍过异面直线距离的求法,本文介绍另一种方法叫射影法。即把两条并面直线同时射影到某一平面上,利用其射影在同一平面的关系去求其两异面直线的距离.因为两异面直线在同一平面上的射影只能有以下三种情况:①一个点和一条直线;②两条平行线;③两条相交线。下面我们就这三种情况分别进行探究。 1.射影是一个点和一条直线此时可把问题转化为求点到直线的距离去解决。即该点到直线的距离就是异面直线的距离。     

探究向量模的求法

题目（苏北2013年调研）已知平面向量a,b,c两两所成角为2π/3,并且|a|=1,|b|=2,|c|=3,求|a+b+c|的值.分析求向量的模,利用模长公式|a|=a⁽1/（?）=x²+y^21/2解决.解|a+b+c|= a+b+c^1/2=（?）=3^1/33.进一步思考变式1已知平面向量a,b,c两两所成角相等,并且|a|=1,|b|=2,|c|=3,求|a+b+c|的值.分析本题得了解对向量的夹角的定义,夹     

用矩阵的秩判断两空间直线及直线与平面的位置关系

空间两直线的位置关系可分为两大类:异面、共面;在同一平面内又分为:平行、相交和重合;直线与平面相对位置可分为:平面与直线平行、直线与平面相交、直线在平面上。这里介绍用矩阵的秩来判断两空间直线及直线与平面的位置关系。引理1非齐次线性方程组a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1,a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2,………………am1x1+am2x2+…+amnxn=bm,有解的充要条件是:系数矩阵A与增广矩阵B的秩RA=RB;且RA=RB=n时有唯一解。引理2设向量βi=(Ai,Bi,Ci)(i=1,2,3),则(β1×β2)·β3=A1B1C1A2B2C2A3B3C3=0三向量共面。定理1设两空间直线L1∶A1…     

2011年中考考点复习策略(2)——“三角形、角与相交线、平行线”

三角形、角与相交线、平行线是研究直线型的图形常见的内容,它们之间有着紧密的联系.1.借助角来研究平面内两条直线之间位置关系;反之,角的计算,角与角之间关系的探索与研究,大都以相交线、平行线知识作为依据和基础.     

日本京都大学2001年入学数学试题与解答

1.过 xy平面上的曲线 C:y =x3 上的点P引切线 ,将切线以 P为中心逆时针方向旋转4 5°得到直线 l.当 l与 C相交于相异 3点时 ,将P点范围用图表示 .2 .已知关于 x的方程式x5 x4- x3 x2 - ( a 1 ) x a =0有纯虚数解 ,求实数 a的值 .3.对整数 n,f ( n) =n( n - 1 )2 ,an =if ( n)这里 i为虚数单位 ,求使 an k =an对任意整数n成立的正整数 k的值 .4 .xyz空间内的正八面体的顶点为 P1,P2 ,P3 ,P4,P5,P6,对于向量 v,k≠ m时 ,Pk Pm. v≠ 0成立 ,对于异于 m的 k,试证明 Pk Pm .v<0成立的 Pk 是存在的 .5.p为 2以上的整数 ,对于…     

解法相似的两个最小值问题

<正>同学们在高中数学学习中,大多会遇到下面的两个有一定难度的问题.问题1已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(b>a)对于任意实数x都有f(x)≥0,求M=a+b+c/b-a的最小值.问题2已知A、B、C是平面上任意三点,BC=a,CA=b,AB=c,求y=c/a+b+b/c的最小值.不少同学在老师的帮助下,能够解决问题1.但在遇到问题2时,却难以独立解决.从表面上看,问题1与问题2确实有很大的差异,但从     

对“概率”概念教学的一处释疑

新教材中概率这一概念是用概率统计定义给出的 .文 [1 ]第 1 4 8页指出“不可能事件的概率为 0 ,必然事件的概率为 1 ,随机事件的概率大于 0而小于 1 .”这段文字的最后一句具有科学性错误 ,下面举出一反例 :向平面内投一质点 ,该质点落在平面内任一点都是等可能的 ,分别求质点落在平面内点A的概率和落在平面内除点A处的概率 .显然他们都是求随机事件概率问题 ,但前者的概率为0 ,后者的概率为 1 .这是一个典型的几何概型问题 .用几何型概率的定义[2 ] 可加以说明 .随机事件A的概率应该是 0≤P(A)≤1 .这是概率所具备的规范性[2 ] ,在高中…