单调性条件在Fourier级数收敛性中的最终推广:历史、发展、应用和猜想

为了对Fourier级数进行近似计算和有效应用,必须研究其收敛性,这个课题有长久的历史,形成了数学分析中吸引包括许多著名数学家在内的学者研究的一条热烈但困难的主流.其中,在三角级数(Fourier级数)一致收敛性和平均收敛性问题中人们一直关心Fourier系数的单调递减条件最终的推广.这个开始于英国Chaundy-Jollife(1916年)和Young(1913年)的工作最近出现了突破性的进展,产生了许多完善的结果.本文将对这方面的历史、发展给出综述,并重点介绍最近的应用成果,并对以后的工作给出研究思路和线索.     

窗口Fourier变换反演公式的级数表示——献给陆善镇教授75华诞

本文研究连续窗口Fourier变换的反演公式.与经典的积分重构公式不同,本文证明当窗函数满足合适的条件时,窗口Fourier变换的反演公式可以表示为一个离散级数.此外,本文还研究这一重构级数的逐点收敛及其在Lebesgue空间的收敛性.对于L^2空间,本文给出重构级数收敛的充分必要条件.     

窗口Fourier变换反演公式的级数表示

本文研究连续窗口Fourier变换的反演公式.与经典的积分重构公式不同,本文证明当窗函数满足合适的条件时,窗口Fourier变换的反演公式可以表示为一个离散级数.此外,本文还研究这一重构级数的逐点收敛及其在Lebesgue空间的收敛性.对于L2空间,本文给出重构级数收敛的充分必要条件.     

周期函数Fourier级数展开式唯一性的简单证明与推广

对于周期函数f(x)按不同的周期展开对应不同的Fourier级数,这些表面上不同的式子是否一致引起了人们的注意[1],[2].本文应用Parseval等式给出一个关于这种唯一性的简单证明,并把这一种性质推广到高维情况的多重Fourier级数.     

典型群上FOURIER级数的HARDY-LITTLEWOOD型定理

典型群 U_(?),SO(n)及 USP(2n)上 Fourier 级数大于临界指标的 Riesz 球平均,已由龚升等人在中作了研究。本文主要讨论临界阶的 Riesz 球平均以及 Fourier 级数的球部分和,推广了一维 Fourier 级数的 Hardy-Littlewood 混合判别法。本文定理的证明主要就 n 阶酉群 U_n 上进行。由于 SO(n)和 USP(2n)上相应定理的证明本质上是和 U_n 上类似的,因此我们仅在文章最后作一说明。     

一类抛物型方程双移动边界问题的特殊解法

本文通过构造Fourier型级数,给出一类抛物型方程双移动边界定解问题的一个求解方法,推广并发展了文[1]的结果.     

随机非调和的Fourier级数

在本文中,我们讨论了形如sum from n=0 to ∞ X_n cos(λ_nt+Φ_n) (1)的随机非调和 Fourier 级数。这里 X_ne~(iΦ_n)是独立对称的复随机变量,{λ_n}是一个正的增加的实序列。得到了级数(1)a.s.表示一个连续函数的充分条件。我们也估计了级数(1)的连续模。推广了[1]中结论。     

推广的积分对数与Fourier级数求和法的两个例子

Fourier 级数的线性求和法是逼近论中的一个重要方向,很多数学家构造了各式各样的求和法,本文用推广的积分对数构造了两个新求和法,它们是 Fejér 求和法的推广,并证明其收敛性.     

正弦级数L1- 收敛性确切条件的进一步研究和应用

已经对正弦级数的系数建立了一个本质上无法再推广的确切条件(对数有界变差条件) 保证其L¹- 收敛性成立. 然而, 一般来说, “全局性” 的条件在实际中是比较难以应用的. 本文进一步将条件推广到“分段性” 条件, 建立了正弦级数L¹- 收敛性的完整结果, 其重要意义在于: 第一, “全局性” 的对数有界变差条件是对单调递减条件的推广, 而本文中建立的“分段性” 的对数有界变差条件在每段中既可以推广单调递减条件, 还可以容纳单调递增条件; 第二, 可以允许所讨论的正弦级数的系数分段改变符号, 而全局性的条件要求系数不能变号; 第三, 可以允许所讨论的正弦级数的部分系数为零, 而这也是全局性的条件所无法做到的; 第四, 可用来实际构造可积的正弦级数, 这是全局性的条件比较难以做到的.     

关于Taylor级数与Fourier级数的几点注记

Taylor级数与Fourier级数是两类非常重要的函数项级数,二者在发展与应用背景、展开条件、收敛性和展开的唯一性等方面不尽相同,本文对此作了一些总结与探讨。     

一般随机富里叶级数

人们通常是在随机系数对称条件下，研究随机富里叶级数的，例文南[1]。本文不要对称性假设，研究一般随机富里叶级数一些性质，并得到一些重要成果。     

Necessary conditions for the convergence of Lebesgue-Fourier series

In this paper, necessary conditions have been investigated for the convergence of Fourier series at a point. An attempt has also been made to obtain a necessary and sufficient condition for the convergence of Fourier series of a function in a certain subspace ofL.     

Integrability andL 1-convergence of sine series with generalized quasi-convex coefficients

In this paper we obtain a necessary and sufficient condition for the sine series with generalized quasi-convex coefficients to be a Fourier series. Also we studyL ¹-convergence of this series under the said condition on the coefficients.     

关于正弦级数$\bm{L^{1}}$-收敛性研究中对单调递减条件的确切推广

本文在处理$L^1$-收敛性问题中给出了一个确切的条件和一种更直接的方式.     

Trigonometric series with a generalized monotonicity condition

In this paper,we consider numerical and trigonometric series with a very general monotonicity condition.First,a fundamental decomposition is established from which the sufficient parts of many classical results in Fourier analysis can be derived in this general setting.In the second part of the paper a necessary and sufficient condition for the uniform convergence of sine series is proved generalizing a classical theorem of Chaundy and Jolliffe.     

Infinite type homeomorphisms of the circle and convergence of Fourier series

We consider the problem of convergence of Fourier series when we make a change of variable. Under a certain reasonable hypothesis, we give a necessary and sufficient condition for a homeomorphism of the circle to transform absolutely convergent Fourier series into uniformly convergent Fourier series.

     

<Emphasis Type="Italic">L</Emphasis><Superscript>1</Superscript>-convergence of complex double fourier series

It is proved that the complex double Fourier series of an integrable functionf(x, y) with coefficients c_jk satisfying certain conditions, will converge in L¹-norm. The conditions used here are the combinations of Tauberian condition of Hardy-Karamata kind and its limiting case. This paper extends the result of Bray [1] to complex double Fourier series. An erratum to this article is available at .     

Approximation of continuous functions by generalized karamata means

A sufficient condition for the order of approximation of a continuous 2π periodic function with a given majorant for the modulus of continuity by the [F, d_n] means of its Fourier series to be of Jackson order is obtained. This sufficient condition is shown to be not enough for the order of approximation by partial sums of their Fourier series to be of Jackson order. The error estimate is shown to be the best possible.     

Coefficient Condition forL1-Convergence of Walsh–Fourier Series

In this paper we give a condition with respect to Walsh–Fourier coefficients that implies theL₁-convergence of the corresponding Walsh–Fourier series. We show that theL₁-convergence class induced by this condition contains each one of the previously known convergence classes as a proper subset. We also show that our condition implies not only theL₁-convergence but also the convergence in the dyadic Hardy norm if the function represented by the series belongs to the dyadic Hardy space.