点对称三角形的性质及其应用

点对称三角形的性质及其应用４４５０００湖北恩施市教研室熊光汉Ｐ为三角形ＡＢＣ内一点，点Ｐ关于△ＡＤＣ的边ＡＢ、ＢＣ、ＣＡ的对称点分别为Ｐ１、Ｐ２，Ｐ３我们称△Ｐ１Ｐ２Ｐ３为点对称三角形（如图１）．将点对称三角形Ｐ１Ｐ２Ｐ３与原△ＡＢＣ结合起来研究，可...     

涉及直角三角形一命题的面积证法

文［１］中给出了：命题　在Ｒｔ△ＡＢＣ中,∠ＡＣＢ为直角,ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ,△ＡＤＣ和△ＣＤＢ的内心分别为Ｏ１、Ｏ２,Ｏ１Ｏ２与ＣＤ交于Ｋ,则１ＢＣ＋１ＡＣ＝１ＣＫ．图１文［２］给出了上述命题的纯平几证法．但其证法需添作复杂的辅助线后,再构造相似三角形解题．尽管初中学生能够接受,但给问题增加了神秘感,其构图思路让学生难以捉摸．为此,现给出命题的一种面积证法,供读者参考．证明　如图１,设Ｏ１Ｏ２的双向延长线分别与ＡＣ、ＢＣ相交于Ｍ、Ｎ,又设∠ＡＣＤ＝α,则∠ＢＣＤ＝９０°－α,　　ｓｉｎα＋ｃｏｓα…     

三角形内接正三角形存在定理

文［１］中给出了一个定理：任意三角形至少存在一个内接正三角形．该定理及说明都具有一定的局限性,本文用构造性方法来证明一个更一般的定理． 定理 任意三角形都存在无数多个内接正三角形． 证法１ 如图１,在△ＡＢＣ中,不妨在ＡＣ上任取一点Ｄ,连结 ＢＤ;以 ＢＤ为一边在点Ａ的异侧作正△ＤＢＥ,连结ＡＥ交ＢＣ于 Ｆ点,过 Ｆ点作 ＢＥ的平行线交 ＡＢ于 Ｍ点,过Ｆ点作ＤＥ的平行线交ＡＣ于Ｎ点．连结 ＭＮ,由文［１］可知△ＦＭＮ即为△ＡＢＣ的一个内接正三角形．由于Ｄ点位置不同,那么其对应的正△ＦＭＮ就不同,由此可知△…     

三角形内的一个不等式及其推广

三角形内的一个不等式及其推广洪凰翔，何琴（湖北武穴师范４３６４００）在三角形内，发现下述一个新不等式：命题１Ｐ在△ＡＢＣ的边ＡＣ上（图ｌ）Ｄ和Ｅ在边ＢＣ上，且ＢＤ＝ＤＥ＝ＥＣ；ＢＡＤ与ＡＥ分别与ＢＰ交于Ｆ、Ｇ，则证明整理得Ｓ２△ＡＢＰ≥９Ｓ２△ＡＦＧ...     

三角形外心的一个性质

定理 若点 Ｄ在△ＡＢＣ的边 ＡＢ上,且∠ＣＤＢ＝α,Ｍ１、Ｍ２、Ｍ 分别 为 △ＡＤＣ、△ＤＢＣ、△ＡＢＣ的外心则 证明（１）建如图１所示的平面直角坐标系．设Ａ（α,０）,Ｄ（ｄ,０）,Ｂ（ｂ,０）,Ｃ（０,ｃ）,则线段ＡＤ、ＤＢＪＢ的垂直平分线方程分别 易得线段ＡＣ书Ｃ的垂直平分线方程分 ０ＭＩ和ＯＭ;的连心线ＭＩＭＺ垂直平分其公共弦ＣＤ．三角形外心的一个性质@胡斌$山东省惠民师范学校!251700     

利用全等三角形证题

学习全等三角形,除了要理解和掌握全等三角形的概念、判定和性质外,还要学会利用全等三角形证题.下面以近几年全国各省市的中考题为例予以说明,以供参考.一.直接证直接利用两个三角形全等证明两条边或两个角相等.例1　已知:如图1,点Ｄ,Ｅ在△ＡＢＣ的边ＢＣ上,ＢＤ=ＣＥ,ＡＢ=ＡＣ.求证:ＡＤ=ＡＥ.(2001年广西中考题)证明:在△ＡＢＣ中,∵ＡＢ=ＡＣ,∴∠Ｂ=∠Ｃ.在△ＡＢＤ和△ＡＣＥ中,∵ＡＢ=ＡＣ(已知),∠Ｂ=∠Ｃ(已证),ＢＤ=ＣＥ(已知),∴△ＡＢＤ≌△ＡＣＥ(ＳＡＳ).∴ＡＤ=ＡＥ(全等三角形的对应边相等).例2　如图2,在正三角形ＡＢＣ…     

解答梯形问题的几种常用辅助线

在解答有关梯形的题目时 ,常常要添加辅助线 ,把梯形问题转化成三角形、平行四边形的问题来解 .解答梯形问题时 ,常引辅助线的方法有以下几种 :一、延长两腰 (使其相交 )得到两个相似三角形 ,如图 (一 ) .例 1　已知 ,梯形ＡＢＣＤ中 ,ＡＢ∥ＣＤ ,∠Ａ =∠Ｂ ,求证 :ＡＤ =ＢＣ .分析 :结论要证两条线段相等 ,由题意知 ,此题不能用证两个三角形全等的方法来证明 .因此可考虑将结论中的两条线段集中到一个三角形中 .如图 ,延长ＡＤ与ＢＣ相交于点Ｅ ,由∠Ａ =∠Ｂ知△ＥＡＢ是等腰三角形 ,又因为ＤＣ∥ＡＢ ,所以△ＥＤＣ也是等腰三角形 ,从…     

数学问题解答

20 0 1年 1 1月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 4 1　锐角三角形ＡＢＣ中有内接△ＤＥＦ ,且ＦＤ⊥ＢＣ于Ｄ ,ＤＥ ⊥ＡＣ于Ｅ ,ＥＦ ⊥ＡＢ于Ｆ ,求证 :Ｓ△ＡＢＣ ≥ 3Ｓ△ＤＥＦ.(武汉华中理工大学西十四舍 5号　黄元兵　 43 0 0 74)证　△ＡＢＣ三边分别与△ＤＥＦ三边垂直 ,又△ＡＢＣ为锐角三角形 ,有∠Ａ =∠ＤＥＦ ,∠Ｂ =∠ＥＦＤ ,∠Ｃ =∠ＦＤＥ即有△ＡＢＣ ∽△ＤＥＦ .又公比ｑ=ＢＣＤＦ =ＢＤＤＦ ＣＤＤＦ=ｃｏｔＢ ＤＥＤＦｓｉｎＣ=ｃｏｔＢ ｓｉｎＢｓｉｎＡｓｉｎＣ =ｃｏｔＢ ｓｉｎ(Ａ Ｃ)ｓｉｎＡｓｉｎＣ=…     

三角形的正负等积点及其性质——兼谈两个猜想的证明

１　三角形等积点的定义设Ｐ是△ＡＢＣ所在平面内一点,若ａ·ＰＡ＝ｂ·ＰＢ＝ｃ·ＰＣ,则称Ｐ是△ＡＢＣ的等积点（其中ＢＣ＝ａ,ＣＡ＝ｂ,ＡＢ＝ｃ）．２　三角形正负等积点的产生下面引用两个熟知的命题,见文［１］．命题１　分别以△ＡＢＣ的三边为边,向形外作等边△ＡＢＣ１、△ＢＣＡ１、△ＡＣＢ１,则ＡＡ１＝ＢＢ１＝ＣＣ１＝ｆ１,且直线ＡＡ１、ＢＢ１、ＣＣ１共点,这点叫△ＡＢＣ的正等角中心,本文用Ｆ１表示此点．其中ｆ１＝１２（ａ２＋ｂ２＋ｃ２＋４３△）,△表示△ＡＢＣ的面积．命题２　分别以非正△ＡＢＣ的三…     

有关三角形内心性质命题的评注

文［１］介绍了有关三角形内心性质的如下一个命题：设△ＡＢＣ的内角平分线ＡＤ、ＢＥ、ＣＦ相交于Ｉ,求证：　　　ＡＩＤＩ＋ＢＩＥＩ＋ＣＩＦＩ≥６．①无独有偶,文［２］用三角形的有关心距公式对第３２届ＩＭＯ的一道试题给出了解答．题目为：设Ｉ为△ＡＢＣ的内心,ＡＩ、ＢＩ、ＣＩ分别交对边于Ａ′、Ｂ′、Ｃ′,则　　　　ＡＩＡＡ′·ＢＩＢＢ′·ＣＩＣＣ′≤８２７．②图１实际上,这两个问题都可以用共边比例定理简捷地解决．先证明①式．证明　如图１,设△ＢＩＣ面积为Ｓ１,△ＡＩＣ面积为Ｓ２,△ＡＩＢ面积为Ｓ３,△Ａ…     

直觉的误导

问题　已知ＰＡ⊥平面ＡＢＣ,如图1,我们称△ＡＢＣ是△ＰＢＣ在平面ＡＢＣ上的射影三角形,那么这两个三角形的顶角∠ＢＡＣ与∠ＢＰＣ哪一个大呢?　　这个问题看起来非常简单,凭直觉都认为∠ＢＡＣ>∠ＢＰＣ.事实并非如此,剖析如下.图2∠ＢＡＣ>∠ＢＰＣ的情形1)过Ａ作ＡＤ⊥ＢＣ.当垂足Ｄ在线段ＢＣ上时,因ＰＡ⊥平面ＡＢＣ,则ＰＤ⊥ＢＣ.在Ｒｔ△ＰＤＡ中,ＡＤ<ＰＤ.在ＰＤ上取一点Ａ′,使ＡＤ=Ａ′Ｄ.易证△Ａ′ＢＣ≌△ＡＢＣ,因此∠ＢＡ′Ｃ=∠ＢＡＣ,如图2.因∠ＢＡ′Ｄ>∠ＢＰＤ∠ＤＡ′Ｃ>∠ＤＰＣ∠ＢＡ′Ｃ>∠ＢＰＣ.从而∠ＢＡ…     

不等式研究成果集锦(10)

１１６ 设任意△ＨＢＣ中,Ｄ、Ｅ、Ｆ分别是△ＡＢＣ的边ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ上的内点,△ＤＥＦ、△ＡＥＦ、△ＢＤＦ、△ＣＥＤ 的周长分别记为ｍ０、ｍ１、ｍ２。ｍ３,　＝ｍｉｎ｛Ａ、Ｂ、Ｃ｝,则 上述命题可向平面ｎ边形推广,另猜测,在任意△ＡＢＣ中,有 （吴善和．１９９９,４） １１７ 如果△ＡＢＣ内的三个圆都与三角形的内切圆相切,并且每个圆与△ＡＢＣ的两边相切,设ｒ、ｒａ．ｒｂ、ｒｃ分别为内切圆及其余三个圆的半径,则 （赵长健．１９９９,４） １１８ 在交叉四边形 ＡＢＣＤ中,ａ、ｂ、ｃ／及Ｓ分别表示其边长和面…     

第三周几何能力训练二

说明　此组题是几何能力训练一的补充,主要训练识图、画图、计算、逻辑推理能力．　　一、填空（１～６小题各３分,７～１０小题各５分,共３８分）１．目测图中全等的三角形可能有对．（如图Ｃ－１６）图Ｃ－１６图Ｃ－１７２．如图Ｃ－１７,ＡＢ＝ＡＣ,点Ｄ、Ｆ是∠ＢＡＣ的平分线上两点,ＡＤ、ＤＦ满足关系时,Ｓ△ＡＤＣ＝Ｓ△ＢＤＦ．３．画图,并回答．从△ＡＢＣ的顶点Ｂ作∠Ａ的平分线的垂线段ＢＤ,垂足为Ｄ,过点Ｄ作ＤＥ∥ＡＣ,交ＡＢ于点Ｅ．图中的直角三角形是,等腰三角形有．图Ｃ－１８４．如图Ｃ－１８,ＡＤ∥ＢＣ,…     

一道选择题的错解与分析

题目　ＡＤ为△ＡＢＣ的高线 ,ＢＤ =ａ ,ＤＣ =ｂ(ａ <ｂ) ,将△ＡＢＣ沿ＡＤ折叠成二面角Ｂ ＡＤ Ｃ ,其平面角为θ ,若ｃｏｓθ =ａｂ,则四面体Ａ ＢＣＤ的侧面ＡＢＣ是 (　　 ) .(Ａ)锐角三角形　 (Ｂ)钝角三角形(Ｃ)直角三角形　 (Ｄ)由ａ、ｂ的值确定错解　首先考察θ为直角时 ,ＤＡ ,ＤＢ ,ＤＣ两两垂直 ,易证△ＡＢＣ的三个角均为锐角(可用公式ｃｏｓθ =ｃｏｓθ1 ·ｃｏｓθ2 ) ,即△ＡＢＣ为锐角三角形 .因ｃｏｓθ =ａｂ >0 ,θ为锐角 (上述情形可看作θ的一个极端状态 ) ,即二面角Ｂ ＡＤ Ｃ由直二面角连续折叠成了锐二面角 .…     

双曲线的直径三角形的一个性质

文［１］给出了关于椭圆的直径三角形的如下性质：命题设△ＡＢＣ内接于椭圆Γ,且ＡＢ为Γ的直径,ｌ为ＡＢ的共轭直径所在的直线,ｌ分别交直线ＡＣ、ＢＣ于Ｅ和Ｆ,又Ｄ为ｌ上一点,则ＣＤ与Γ相切的充要条件是Ｄ为ＥＦ的中点．本文进而给出关于双曲线的直径三角形的类...     

短论荟萃

涉及直角三角形一命题的纯平几证法７１３１００陕西省兴平市南市中学吕建恒命题在Ｒｔ△ＡＢＣ中,∠ＡＣＢ为直角,ＣＤ⊥ＡＢ于Ｄ,△ＡＤＣ和△ＣＤＢ的内心分别为Ｏ１、Ｏ２,Ｏ１Ｏ２与ＣＤ交于Ｋ,则１ＢＣ＋１ＡＣ＝１ＣＫ．此命题是沈文选先生在文［１］中给出的...     

一个平几定理的空间推广

郭清波老师在《数学通报》１９９７１１《三角形比例线段和定理及其应用》一文中给出如下定理：定理１设Ｐ是△ＡＢＣ内任一点，分别连结ＡＰ、ＢＰ、ＣＰ并延长，依次交ＢＣ、ＣＡ、ＡＢ于Ｄ、Ｅ、Ｆ，如图１，则ＡＦＦＢ＋ＡＥＥＣ＝ＡＰＰＤ．图１图２笔者发现该定理很...     

与三角形主要线段有关的命题

初中《九义》教材，几何第二册第三章一开始，介绍了三角形的角平分线，三角形的中线及三角形的高。本文例说与三角形的这些主要线段有关的命题，供同行在几何复习教学时参考。命题１若Ｉ为△ＡＢＣ的内角平分线的交点，ＡＩ的延长线交△ＡＢＣ的外接圆于点Ｄ，则：①ＤＩ...     

精彩题尝析

在直径为ＡＢ的半圆内,划出一块三角形区域,使三角形的一边为ＡＢ,顶点Ｃ在半圆周上,其它两边分别为６和８,现要建造一个内接于△ＡＢＣ的矩形水池ＤＥＦＮ,其中,ＤＥ在ＡＢ上,如图１９的设计方案是使ＡＣ＝８,ＢＣ＝６．（１）求△ＡＢＣ中ＡＢ边上的高ｈ．（２）设ＤＮ＝ｘ,当ｘ取何值时,水池ＤＥＦＮ的面积最大？（３）实际施工时,发现在ＡＢ上距Ｂ点１．８５的Ｍ处有一棵大树,问：这棵大树是否位于最大矩形水池的边上？如果在,为保护大树,请设计出另外的方案,使内接于满足条件的三角形中欲建的最大矩形水池能避开大树．…     

关于两条直线平行的证明

两条直线平行的问题”是几何的基本内容 ,在初中几何中占有重要的地位 .有关两条直线平行的证明有许多灵活的方法 .下面就证明两条直线平行的方法作一归纳 ,供大家学习 .一、证明两条直线平行常用的方法1.利用平行线的判定定理来证明 .2 .利用比例式来证明 .3.利用三角形 (或梯形 )的中位线定理来证明 .除以上方法外有时也利用平行四边形的定义来证明 ,或者利用三角形的等积关系等来证明 .二、应用例子例 1　已知 :如图 ,⊙Ｏ是等腰三角形ＡＢＣ的外接圆 ,过顶点Ａ作⊙Ｏ的切线ＡＥ .求证 :ＡＥ∥ＢＣ .证明 :∵ＡＥ是⊙Ｏ的切线 ,∴∠ＥＡＣ =∠Ｂ .又∵△ＡＢＣ是等腰三角形 ,∴∠Ｂ =∠Ｃ .∴∠ＥＡＣ =∠Ｃ .∴ＡＥ∥ＢＣ .例 2　如图 ,Ｃ是线段ＡＢ上一点 ,分别以ＡＣ ,ＣＢ为一边作等边三角形ＡＣＤ和等边三角形ＣＢＥ ,ＡＥ交ＣＤ于Ｍ ,ＢＤ交ＣＥ于Ｎ .求证 :ＭＮ∥ＡＢ .分析 :要证明两直线平行 ,结合已知条件△ＡＣＤ和△ＣＢＥ是等边三角形 ,所以应该用平行线的判定定理来证明 .解 :∵△ＡＣＤ和△ＣＢＥ是等边三角形 ,∴ＡＣ =ＣＤ ,ＣＥ =ＣＢ .又　∠ＡＣＤ =∠ＥＣＢ =6 ...