一道平几例题的演变及其应用

现行初中几何第二册第85页上有这样一道例题: 如图1,AD是△ABC的高,AE是△ABC的外接圆直径,求证AB·AC=AD·AE 本题的证明是极为简单的,只须连结BE,由△ABE∽△ADc即得结论。不难看出,若点D在线段BC上,点E在BC(∠A所对的弧)上运动但仍保持∠BAE=∠DAC时,则在运动过程中,△ADC与△ABE的相似关系依然成立,于是仍有AD·AE=AB·AC。特别,当AD成为△ABC∠的∠A平分线时,点E必成为AD的延长线与外接圆的交点,这     

ab=2R·h_c

初中几何第二册P_(85)例1:已知AD是锐角△ABC的高,AE是△AEC外接圆直径,求证:AB·AC=AD·AE。不难证明△ABC为任意三角形时结论亦成立。于是得到一般的结论:三角形任两边之积等于第三边上的高与外接圆直径的乘积。用式于可写成:ab=2R·hc,bc=2R·h_,ca=2R·h_b。在直角三角形中则为ab=chc(c为斜边)。下面举例说明这一公式的应用。例1 已知Rt△ABC中,AB=c,BC=a,AC=b,斜边AB上的高为h,求证:     

成比例线段证题中的“面积法”

三角形面积公式,不仅可用来计算有关图形的面积,而且在证题方面也有较广泛的应用。本文仅就用它来证明有关成比例线段略举几例,思路常是运用面积相等或面积之比使其获证。若恰当地运用三角函数关系往往更为简便。例1 圆内接四边形ABCD的对角线AC平分另一对角线BD于E,求证:AB/AD=DC/BC。分析:结论即求证:AB·BC=AD·DC,∠ABC=180°-∠ADC,于是变为求证: (1/2)AB·BCsin∠ABC=(1/2)AD·DCsin(180°-∠ADC), 根据三角形面积公式,可考虑S_(△ABC)=S_(△ADC)。     

从课本中的例题到托勒密定理

九年义务教育三年制初级中学几何第三册例2．如图1，AD是△ABC的高，AE是△ABC的外接圆的直径．求证：AB·AC=AE·AD．连结BE，由△ABE△ADC可证明本题．连结EC，由△ACE△ADB也可以证明本题．由△ABE△ADC，还可以得到由△ACE△ADB，还可以得到由②十①得AB·EC＋AC·BE=AE·BD＋AE·DC=AE（BD＋DC）=AE·BC．对四边形ABEC来说，这正是回内接四边形的托勒囵定理：国内接四边形对角线的积等于两组对边积的和．使我们不能满足的是它是托勒路定理的特殊懂况，一条对两线是圆的直径．对于例2的研究，我们知道，…     

张景中院士讲数学 学了就要用

——用正弦性质解题下面这些题目你在几何课上可能都学过 .现在用另一种方法解决它 ,好像从一条新路游览你熟悉的公园 ,既亲切 ,又新鲜 .例 1　已知△ABC中 ,AB =AC .求证 :∠B =∠C .证明　由面积公式有AB·BCsinB =2△ABC =BC·CAsinC .由AB =AC ,得sinB =sinC .由正弦性质可知∠B与∠C相等或互补 ,但因∠B +∠C=180° -∠A <180° ,故∠B =∠C .(用了正弦性质 6)例 2　已知△ABC中∠A >∠B .求证 :BC >AC .证明　由面积公式得AB·ACsinA =2△ABC =AB·BCsinB ,∴　 ACBC=sinBsinA<1.(这用到正弦性质 3 )∴　BC…     

浅谈一道联赛题的证明

20 0 4年全国初中数学联赛第二试第二题 :已知 ,如图1.梯形ABCD中 ,AD∥BC ,以两腰AB ,DC为一边分别向两边作正方形ABGE和DCHF ,连接EF .设线段EF的中点为M .求证 :MA =MD .此题与一道旧题密切相关 .该题是 :已知 ,如图 2 .△ABC中 ,AD是BC边上的高 ,以两边AB ,AC为一边分别向外作正方形ABQF ,ACPE ,连接EF ,交AD的反向延长线于G ,求证 :G为EF的中点 .简证如下 :证 :过E作EM⊥DG于M ,过F作FN⊥DG于N ,则FN∥ME ,∠EMA =∠ADC =90°.又∵∠ 1+∠ 2 =90° ,∴∠ 1=∠ 3.又∵AC =AE ,∴△ADC≌△EMA .∴ME…     

一道中考题的评析与反思

题目(衢州市2004年中考压轴题)如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的顶点坐标分别为A(0,3),B(-2,0),C(m,0),其中m>0,以OB,OC为直径的圆分别交AB于点E,交AC于点F,连结EF.(1)求证:△AFE∽△ABC.(2)是否存在m的值,使得△AFE的等腰三角形?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由.(3)观察当点C在x轴上移动时,点F移动变化的情况,试求点C1(3,0)移动到点C2(33,0)时,点F移动的行程.解(1)证明:易证AO是两圆内的公切线,∴AO2=AE·AB=AF·AC,∴AEAF=ACAB,又∠FAE=∠BAC∴△AFE∽△ABC.(2)∵△AFE∽△ABC.∴AFAB=AEAC=FE…     

三角形的一个共点线

定理　三角形一内角平分线分原三角形为两个新的三角形 ,两个新三角形的内心和该内角的外角平分线与对边延长线的交点三点共线 .已知 :如图 2 ,△ ABC中 ,AD、AE分别为∠ BAC的内、外角平分线 ,D、E分别为 AD、AE与直线 BC的交点 ,I1,I2 分别为△ ABD,△ ADC的内心 .求证 :I1、I2 、E三点共线 .先证一个引理 .图 1　　　　　　　　图 2引理　如图 1 ,I为△ ABC的内心 ,过 I点的直线 PQ交 AB于 P,交 AC于 Q,则有 :1AP 1AQ=AB BC ACAB .AC .证明　连接 AI,BI,CI,过 I作 ID⊥ BC于 D,作 IE⊥ AC于 E,作 IF…     

一道初中竞赛题的另解

<正>2015年北京市中学生数学竞赛(初二)填空第3题:在△ABC中,AB=AC,AD、BE分別为∠A、∠B的平分线,且BE=2AD.则∠BAC的度数为______.另解1(应用取半法)如图1,设∠CBE=α,依题设,则有∠CBE=∠ABE=α,∠ABC=∠ACB=2α,∠AEB=∠EBC+∠ECB=3α,∠ADB=∠ADC=90°,∠BAD=∠CAD=90°-2α.过点D作DG//BE,与AC交于点G,     

用勾股定理列方程组求多边形的面积

<正>一、构造方程组求三角形的面积例1如图1,△ABC中,∠BAC=60°,AB=2AC,点P在△ABC内,且PA=槡3,PB=5,PC=2,求△ABC的面积.解过点P作PD⊥BC于点D,作PE⊥AC于点E,则∠AEP=∠PDC=∠PDB=90°.因为∠BAC=60°,AB=2AC,     

三角形的Brocard点的两个特征性质

设Ω为△ ABC内一点 ,若∠ BAΩ =∠ CBΩ =∠ ACΩ ω(如图 1 ) ,则称Ω为△ ABC的 Brocard点 ,ω为图 1△ ABC的 Brocard角 .名著 [1 ]记载了三角形的Brocard点与其 Brocard角的一系列性质 .本文旨在揭示三角形的 Brocard点的两个特征性质 .下面的讨论中 ,a、b、c、△分别表示△ ABC的三边长和面积 .定理 1　设 D、E、F分别为△ ABC的三边 BC、CA、AB上的点 ,则 AD、BE、CF三线共点于△ ABC的 Brocard点的充分必要条件是　 BDDC=c2a2 ,CEEA=a2b2 ,AFFB=b2c2 .证明　 (必要性 )设 AD、BE、CF三线共点于△ ABC…     

垂足三角形内切圆半径之间的一个不等式

定理　若△ DEF是锐角△ ABC的垂足三角形 ,且 BC =a,CA =b,AB =c,△ AEF、△ BDF、△ CDE的内切圆分别为⊙ IA、⊙ IB、⊙ IC,其半径依次为 r A、r B、r C,则有ar A+br B+cr C≥ 12 3.证明　∵　 BE⊥ AC,CF⊥ AB,∴　∠ BEC =∠ CFB =90°.又∵　 E、F在 BC的同侧 ,∴　 B、C、E、F四点共圆 ,∴　∠ AEF =∠ B,∠ AFE =∠ C, 　　　△ AEF∽△ ABC, 　　　 EFBC=AEAB.在 Rt△ ABE中 ,cos A =AEAB,∴　 EFBC=cos A,即 EF =a cos A.同理　 DF =b cos B,DE =c cos C.连结 IAE、IAF,作 IAG⊥ EF…     

证明ab=bc的基本方法

在初中几何中 ,线段的比例式或者等积式的证明是常见的一种形式 .证明这类题一般可先把等积式化成比例式 ,然后选择适当的三角形并证明它们相似 ,有些则可通过有关比例线段定理等直接或间接地证明之 .一、化等积式为比例式 ,寻找可能相似的三角形例 1　如图 1,已知 :AD ,BE是△ABC的高 ,AD ,BE交于点F ,求证 :AF·FD =BF·FE .分析 :AF·FD =BF·FE FEFD= AFBF.从比例式的线段位置找出可能相似的两个三角形△AFE和△BFD ,通过∠FDB =∠FEA =90° ,∠ 1=∠ 2 ,可得△BFD∽△AFE .例 2　如图 2 ,AD是△ABC的高 ,AE…     

锐角三角形的两个有趣性质

性质1如图1,在锐角△ABC中,AB>AC>BC,点O、H分别是三角形的外心和垂心,则∠OAH+∠OCH=∠OBH.证明延长AH、BH、CH分别交BC、AC、AB于点D、E、F,∵点H是△ABC的垂心,显然AD、BE、CF是△ABC的三条高,于是易证B、C、E、F四点共圆,     

构造全等证角相等的若干方法

在平几中,证明两个角相等的方法较多.本文介绍一例“构造全等三角形”的证明方法.例已知:如图1,在△ABC中,AC=BC,∠ACB=90°,M是AC的中点,CE⊥BM于E,延长CE交AB于D.求证:∠CMB=∠AMD.分析:此题有两个基本图形,一个是Rt△ABC,其中AC=BC,∠A=∠ABC=45°,∠ACB=90°;另一个是Rt△M     

数学问题解答

20 0 3年 4月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 42 6　AN是△ABC的角平分线 ,AN的延长线交△ABC的外接圆于D ,M是AN上一点 ,直线BM、CM分别交△ABC的外接圆于E、F ,DF交AB于P ,DE交AC于Q .求证 :P、M、Q三点共线 .(江西省宜丰县二中　龚浩生　 33630 0 )证明　如图 ,连结PM、QM、BD .因为∠PAD =∠MAC ,∠ADP=∠ACM ,所以∠BPD =∠NMC ,△APD ∽△AMC .又∠PDB =∠MCN ,所以△BDP∽△NCM ,所以 PBMN =PDMC =APAM.所以PM ∥BN ,即PM ∥BC .同理 :QM∥BC所以P、M、Q三点共线1 42 7　ai(i =1 ,2 …     

两道数学题的另证

<正>题1[1]如图1,在锐角△ABC中,M为边AB的中点,AP⊥BC于点P,△BMP的外接圆与边AC切于点S,延长MS、BC交于点T.证明:直线BT与△AMT的外接圆切于点T.证明如图1所示,连接MP、BS.在Rt△APB中,由题设知AM=BM=PM,则∠MSB=∠MPB=∠MBP=∠MBT.     

浅谈共边共角三角形解题模型

<正>本文介绍一种相似三角形中常见的解题模型——"共边共角"三角形.新人教版教材数学九下第35页例2:如图1,Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,AC=8,E是AC上一点,AE=5,ED⊥AB,垂足为D;求AD的长.分析由∠A=∠A,∠C=∠EDA容易证得△AED∽△ABC,再根据相似三角形对     

从三角形一边中点引一条直线截三角形与原三角形相似的问题探究

在学习了相似三角形之后,学生碰到了这样一道问题. 在△ABC中,AB＞AC＞BC,D是BC的中点,过D作直线l,使截得的三角形与原三角形相似,这样的直线l有___________条. 在这道题目中,不论学生作得的△ABC是锐角、直角还是钝角三角形,答案都是4条.理由如下:如图1,△ABC是锐角三角形,AB＞AC＞BC,过BC中点D作DE1∥AC,DE2∥AB,则△E1BD、△E2DC与原三角形相似.此外,若要形成“错A形”相似,需使∠CDE3=∠A,由于AC＞ BC,所以∠B＞∠A,又由于∠B=∠CDE2,故∠CDE2 ＞∠CDE3,即E3在线段CE2上,故一定可在三角形内部作得△DE3C∽△ABC.另由于AB＞BC,所以∠C＞∠A,又由于∠A=∠DE1B,故若要使∠C=∠DE4B,则∠DE4 B＞∠DE1B,即E4在线段BE1上,故一定可在三角形内部作得△DBE4∽△ABC.所以,从任意非特殊锐角三角形最短边中点出发,可作4条直线截三角形与原三角形相似.     

用割补法解面积问题

<正>数学是一扇要用智慧开启的门,重要的在于不断探索,从中找出规律和方法,下面就是运用割补法解面积问题的几个例子.一、如图1,四边形ABCD中,∠BAD=∠BCD=90°,AB=AD,若四边形ABCD的面积为24cm2则AC长为多少?解把△ADC绕点A顺时针旋转90°,得△ABC′,如图2所示:∵AB=AD,∴△ADC≌△ABC′.∵∠ABC′+∠ABC=∠ADC+