求异面直线所成角的几种常用方法

求异面直线所成的角是立体几何中的一个重要内容 ,本文就一道习题的多种解法谈求异面直线所成角的几种常用方法 .图　 1题目　如图 1,已知两个边长为ａ的正方形ＡＢＣＤ和ＡＢＥＦ所在平面互相垂直 ,求异面直线ＡＣ和ＢＦ所成角的大小 .解法 1　 (直接平移 )如图 1,在平面ＡＣ内过点Ｂ作ＢＰ∥ＡＣ与ＤＣ交于点Ｐ ,则∠ＦＢＰ与异面直线ＢＦ ,ＡＣ所成的角相等或互补 .由于正方形边长为ａ ,在△ＡＢＰ中用余弦定理计算得ＡＰ =5,在Ｒｔ△ＰＡＦ中 ,易得ＦＰ =6ａ ,在△ＢＰＦ中 ,由余弦定理知 ,ｃｏｓ∠ＦＢＰ =- 12 .∴ＡＣ与ＢＦ所成的角…     

反例·证明·怪论

有如下一道立体几何判断题 :底面是正三角形 ,相邻两侧面所成二面角都相等的三棱锥是正三棱锥吗 ?甲同学给出了否定的回答 ,并构造了如下“反例” :图 1　甲同学所举反例示意图如图 1 ,Ｐ -ＢＣＥ为正三棱锥 ,在ＰＥ上取一点Ａ ,使ＡＢ =ＢＥ ,连ＡＢ ,ＡＣ .推知ＡＢ =ＢＣ =ＣＡ ,即△ＡＢＣ为正三角形 ,从而三棱锥Ｐ -ＡＢＣ的底面为正三角形 ,相邻两侧面所成的二面角都相等 ,而非正三棱锥 .图 2　乙同学证明用图但 ,乙同学不同意甲的判断 ,并给出了如下“证明” :如图 2 ,设三棱锥Ｐ -ＡＢＣ满足所设条件 .作ＡＨ⊥面ＰＢＣ ,垂足为Ｈ ,…     

关于投影角的一个错例剖析

笔者在一份试卷中发现了这样一道题 :如图 1,已知平面α的两条斜线ＰＡ ,ＰＢ ,且Ａ ,Ｂ∈α ,ＰＯ⊥α于Ｏ ,则∠ＡＰＢ与∠ＡＯＢ的大小满足 (　　 )图 1　线面示意图(Ａ)∠ＡＰＢ >∠ＡＯＢ .(Ｂ)∠ＡＰＢ <∠ＡＯＢ .(Ｃ)∠ＡＰＢ =∠ＡＯＢ .(Ｄ )两角大小无法确定 .几乎所有同学都选择(Ｂ) .且理由“充足” :三角形一边ＡＢ不变 ,而ＰＡ >ＯＡ ,ＰＢ >ＯＢ ,显然∠ＡＰＢ <∠ＡＯＢ .而事实确实如此吗 ?例 1　如图已知 ,ＰＡ⊥面ＡＢＣ ,ＡＤ⊥ＢＣ ,垂足Ｄ在ＢＣ延长线上 ,且ＢＣ =ＣＤ =ＤＡ =1.1)设ＰＤ =ｘ ,∠ＢＰＣ =θ ,试把ｔ…     

外接球球心的确定

在研究多面体与外接球问题时,经常要确定球心的位置.从集合角度看,球面是与定点(球心)的距离等于定长(半径)的所有点的集合(轨迹).因此,只要找到与多面体各顶点距离相等的点即为外接球球心.图1　例1图例1　已知正三棱锥ＰＡＢＣ底面边长ａ,Ｐ到底面ＡＢＣ的距离为ｈ,试确定其外接球球心的位置及球半径的长.分析:如图1,设球心为Ｏ,则ＯＡ=ＯＢ=ＯＣ,∴Ｏ在底面ＡＢＣ上的射影Ｈ是△ＡＢＣ的外心,由△ＡＢＣ为正三角形知Ｈ也为中心,∴ＰＨ⊥底面ＡＢＣ,∴Ｐ,Ｏ,Ｈ共线.由△ＡＨＯ是Ｒｔ△得ＡＯ2=ＡＨ2 ＯＨ2.∴Ｒ2=33ａ2 (ｈ-Ｒ)2,∴Ｒ=ａ26…     

一道自编题组的教学尝试

在一次复习辅导课上,笔者编制了一道立体几何题目用于课堂教学的教法教改的尝试.此题构思是以某已知条件为背景,把凡涉及与已知条件相关的多题结论有机的结合在一起,使题目展现出一因多果,一图多用,问问相依的解题新格局.例　点Ｐ平面ＡＢＣ,Ｐ到正△ＡＢＣ三顶点等距,Ｐ?..     

直觉的误导

问题　已知ＰＡ⊥平面ＡＢＣ,如图1,我们称△ＡＢＣ是△ＰＢＣ在平面ＡＢＣ上的射影三角形,那么这两个三角形的顶角∠ＢＡＣ与∠ＢＰＣ哪一个大呢?　　这个问题看起来非常简单,凭直觉都认为∠ＢＡＣ>∠ＢＰＣ.事实并非如此,剖析如下.图2∠ＢＡＣ>∠ＢＰＣ的情形1)过Ａ作ＡＤ⊥ＢＣ.当垂足Ｄ在线段ＢＣ上时,因ＰＡ⊥平面ＡＢＣ,则ＰＤ⊥ＢＣ.在Ｒｔ△ＰＤＡ中,ＡＤ<ＰＤ.在ＰＤ上取一点Ａ′,使ＡＤ=Ａ′Ｄ.易证△Ａ′ＢＣ≌△ＡＢＣ,因此∠ＢＡ′Ｃ=∠ＢＡＣ,如图2.因∠ＢＡ′Ｄ>∠ＢＰＤ∠ＤＡ′Ｃ>∠ＤＰＣ∠ＢＡ′Ｃ>∠ＢＰＣ.从而∠ＢＡ…     

优化课堂教学 培养思维能力：从2001年全国高考立体几何题的评阅谈起

20 0 1年高考立体几何 (理 1 7、文 1 8)题目如下 ① :如图 ,在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ -ＡＢＣＤ中 ,∠ＡＢＣ =90°,ＳＡ⊥面ＡＢＣＤ ,ＳＡ=ＡＢ =ＢＣ= 1 ,ＡＤ =12 .(Ⅰ )求四棱锥Ｓ -ＡＢＣＤ的体积 ;(Ⅱ )求面ＳＣＤ与面ＳＢＡ所成的二面角的正切值 .本题第 (Ⅱ )问旨在“考查线面关系 ,以及空间想象能力和逻辑推理能力 .”题中已知条件有线线、线面关系 ,又有线段之间的度量关系 ,知识覆盖面较大 ,难度适中 ,不偏不怪 .通过我们对试卷的评阅来看 ,在平时教学中对学生在数学思维能力的培养上 ,呈现许多不足 .现就学生在解题中存在…     

初二几何第二学期期末自测题

Ａ组一、填空题 (每小题 3分 ,共 30分 )1.已知平行四边形ＡＢＣＤ的面积是 16ｃｍ2 ,Ｐ是ＡＢ边上的任意一点 ,△ＣＰＤ的面积是 .2 .已知ａ =1,ｂ =2 ,ｃ=3,它们的第四比例项ｄ =;ａ ,ｃ的比例中项ｘ =.3.菱形的两条对角线长之比为 3∶ 2 ,面积为12ｃｍ2 ,则菱形的周长为 .4 .已知ＡＤ是△ＡＢＣ中∠Ａ的平分线 ,△ＡＢＤ和△ＡＣＤ的面积的比是 2∶3,则ＡＢ∶ＡＣ =.5.已知 :如图 1,在△ＡＢＣ中 ,Ｅ ,Ｆ分别是ＡＢ ,ＡＣ的中点 ,延长ＢＣ到Ｄ ,使ＣＤ =13ＢＣ ,ＤＥ交ＡＣ于Ｏ ,则ＣＤ∶ＥＦ =,ＯＣ∶ＯＡ =.6 .如图 2 ,在Ｒｔ△ＡＢＣ…     

延展平面 完善图形 突破难点

20 0 1年全国高考立体几何题如下 :高考题　如图 1,在底面是直角梯形的四棱锥Ｓ -ＡＢＣＤ中 ,∠ＡＢＣ =90° ,ＳＡ⊥面ＡＢＣＤ ,ＳＡ =ＡＢ =ＢＣ =1,ＡＤ =12 .1)求四棱锥Ｓ -ＡＢＣＤ的体积 ;2 )求面ＳＣＤ与面ＳＢＡ所成的二面角的正切值 .笔者参加了安徽省 2 0 0 1年高考阅卷工作 ,发现不少学生在解答本题第二问时 ,采用了如下解法 .图 1　高考题图解法 1:先证△ＳＡＢ是△ＳＤＣ在面ＳＡＢ上的射影 ,再求出△ＳＡＢ ,△ＳＤＣ的面积 ,利用射影面积公式ｃｏｓθ =Ｓ△ＳＡＢＳ△ＳＤＣ,求得ｃｏｓθ ,最后求出正切值 .图 2　高考题解…     

数学问题解答

20 0 1年 1 2月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 3 46　已知 :点Ｐ是△ＡＢＣ内一点 ,∠ＰＡＢ =∠ＰＢＣ =∠ＰＣＡ=α.Ａ′Ｂ′,Ｂ′Ｃ′,Ｃ′Ａ′分别过Ａ ,Ｂ ,Ｃ三点 ,且分别垂直于ＰＡ ,ＰＢ ,ＰＣ .求证 :Ｓ△ＡＢＣ =Ｓ△Ａ′Ｂ′Ｃ′ｓｉｎ2 α(江西省宜丰县二中　龚浩生　 3 3 63 0 0 )证明　如图 ,过点Ｃ′作Ｃ′Ｄ⊥Ｂ′Ｐ于Ｄ ,连结ＣＤ .因为　ＰＡ⊥Ａ′Ｂ′ ,ＰＢ⊥Ｂ′Ｃ′所以　Ａ ,Ｂ′,Ｂ ,Ｐ四点共圆所以　∠ＤＢ′Ｂ =∠ＰＡＢ =α又显然 ,Ｐ ,Ｂ ,Ｃ′,Ｄ ,Ｃ五点在以ＰＣ′为直径的圆上 .所以　∠ＰＤＣ =∠Ｐ…     

求解二面角问题的基本方法

二面角问题因其需要充分运用立体几何第一章的线线、线面、面面关系 ,具有综合性强 ,灵活性大的特点 ,因此 ,一直成为高考、会考的热点 .求解二面角问题一般可分为直接法和间接法二大类 .1　直接法直接法就是根据已知条件 ,首先作出二面角的平面角 ,再求平面角大小的方法 ,求作二面角平面角的方法主要有 :①利用定义即在二面角α -ｌ- β的棱ｌ上任取一点 ,然后在两个半平面内分别作棱的垂线ａ ,ｂ ,则这两条垂线ａ ,ｂ所成的角即为二面角的平面角 .例 1　在三棱锥Ｐ-ＡＢＣ中 ,∠ＡＰＢ =∠ＢＰＣ=∠ＣＰＡ =6 0°,求二面角Ａ-ＰＢ-Ｃ的余…     

所截是什么

在学习立体几何时 ,免不了要画截面 ,判断截面形状 ,或者判断所截几何体形状 ,但有的同学往往从主观愿望出发 ,马马虎虎看一遍题目 ,就自以为弄清已知条件了 ,然后匆忙写出结果或过程 ,从而导致“一看就会 ,一做就错”的现象 ,试看以下两例 .1　截面是什么例 1　已知正三棱柱ＡＢＣ -Ａ1 Ｂ1 Ｃ1 的棱长都是3,求过边ＢＣ且与底面ＡＢＣ成 6 0°角的截面的面积 .图 1　例 1错解图错解 :设ＢＣ的中点为Ｅ ,连结ＡＥ .在棱ＡＡ1 上取一点Ｄ ,使∠ＡＥＤ =6 0° .则在Ｒｔ△ＤＡＥ中 ,ＤＥ= ＡＥｃｏｓ6 0°=33,　　∴Ｓ△ＢＤＣ=932 .剖析 :在…     

解立体几何计算题的一般方法

解立体几何计算题的一般方法晨旭（接上期Ｐ３５）例３（１９９１年三南考试题）如图７，已知：直角三棱柱ＡＢＣ－Ａ１Ｂ１Ｃ１中，Ｍ是ＣＣ１的中点．求证：分析１：这是一个证明题，根据条件和结论的特点，可以通过计算解决．底面ＡＢＣ具有三个已知元素，△ＡＢＣ确定...     

三角形中位线定理在证明四边形问题中的应用

应用三角形中位线定理证明四边形的有关问题 ,经常要用“取中点 ,连中位线”的方法 ,但到底在什么地方取中点 ,怎样利用中位线呢 ?这就是我们要研究解决的问题 .例 1　如图 ( 1 ) ,在四边形ＡＢＣＤ中 ,Ｅ为ＡＢ上一点 ,△ＡＤＥ和△ＢＣＥ都是等边三角形 ,ＡＢ ,ＢＣ ,ＣＤ ,ＤＡ的中点分别为Ｐ ,Ｑ ,Ｍ ,Ｎ .求证 :四边形ＰＱＭＮ是菱形 .分析 :欲证ＰＱＭＮ为菱形 ,即证明ＰＱ =ＱＭ =ＭＮ =ＮＰ .由已知Ｐ ,Ｑ ,Ｍ ,Ｎ分别是四边形的中点 ,想到它们可能分别是三角形的中位线 .为此 ,先构造三角形 ,因而连结ＡＣ ,ＢＤ ,可推出ＰＱ =ＭＮ…     

对一个凸体分割问题的探讨

定理 1　过三角形的重心任作一条直线 ,把这三角形分成两部分 ,证明 :这两部分面积之差不大于整个三角形面积的 19.图 1　定理 1图分析　如图 1,过△ＡＢＣ的重心Ｇ的任意直线分别交ＡＢ ,ＡＣ于Ｅ ,Ｆ ,过Ｇ作平行于底边ＢＣ的直线分别交ＡＢ ,ＡＣ于Ｐ ,Ｑ .先证明 :ＳＰＢＣＱ-ＳＡＰＱ=Ｓ9,这里Ｓ表示△ＡＢＣ的面积 .事实上 ,ＳＰＢＣＱ-ＳＡＰＱ =Ｓ - 2ＳＡＰＱ=Ｓ - 2·4Ｓ9=Ｓ9.后证明 :ＳＥＢＣＦ-ＳＡＥＦ<ＳＰＢＣＱ-ＳＡＰＱ (1)由于∠ＥＰＧ =∠Ａ ∠ＡＱＰ >∠ＡＱＰ ,故能在△ＥＰＧ内作直线ＰＲ ,使∠ＲＰＧ =∠ＧＱＦ ,…     

利用全等三角形证题

学习全等三角形,除了要理解和掌握全等三角形的概念、判定和性质外,还要学会利用全等三角形证题.下面以近几年全国各省市的中考题为例予以说明,以供参考.一.直接证直接利用两个三角形全等证明两条边或两个角相等.例1　已知:如图1,点Ｄ,Ｅ在△ＡＢＣ的边ＢＣ上,ＢＤ=ＣＥ,ＡＢ=ＡＣ.求证:ＡＤ=ＡＥ.(2001年广西中考题)证明:在△ＡＢＣ中,∵ＡＢ=ＡＣ,∴∠Ｂ=∠Ｃ.在△ＡＢＤ和△ＡＣＥ中,∵ＡＢ=ＡＣ(已知),∠Ｂ=∠Ｃ(已证),ＢＤ=ＣＥ(已知),∴△ＡＢＤ≌△ＡＣＥ(ＳＡＳ).∴ＡＤ=ＡＥ(全等三角形的对应边相等).例2　如图2,在正三角形ＡＢＣ…     

数学问题解答

20 0 1年 4月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 30 6　△ＡＢＣ中 ,∠ＡＢＣ=70° ,∠ＡＣＢ =30° ,Ｐ为形内一点 ,∠ＰＢＣ =40°,∠ＰＣＢ =2 0° .求证 :ＣＡ·ＡＢ·ＢＰＡＰ·ＰＣ·ＣＢ =1(黑龙江绥化教育学院　田永梅　 1 52 0 54)证明　如图 1 ,以ＡＢ为一边在△ＡＢＣ内作正△ＤＡＢ ,连ＤＰ ,ＤＣ .在ＡＣ上取一点Ｅ ,使ＥＣ=ＤＣ ,连ＰＥ .由∠ＡＣＢ =30° ,可知Ｄ为△ＡＢＣ的外心 ,有∠ＤＣＢ =∠ＤＢＣ =1 0° .由∠ＤＣＰ=1 0°=∠ＡＣＰ ,可知Ｅ与Ｄ关于ＰＣ对称 ,有∠ＰＤＣ =∠ＰＥＣ ,ＰＥ =ＰＤ .由∠ＰＢＡ =30°…     

命题的引伸

命题 1　求证 :等腰三角形底边上任一点到两腰的距离的和等于一腰上的高 (义教初中几何第二册 197页Ｂ组第 2题的 (1) ) .证明　如图 1,设Ｐ为底边ＢＣ上任意一点 ,Ｐ到两腰的距离分别为ｒ1 ,ｒ2 ,腰ＡＢ =ＡＣ =ａ ,腰上的高为ｈ ,连结ＡＰ ,图 1则　Ｓ△ＡＢＰ+Ｓ△ＡＣＰ=Ｓ△ＡＢＣ ,即　 12 ａｒ1 + 12 ａｒ2 =12 ａｈ .∴　ｒ1 +ｒ2 =ｈ .如果把“等腰三角形”改成“等边三角形” ,那么Ｐ点的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在三角形内任一点” ,即有如下命题 :命题 2　已知等边△ＡＢＣ内任意一点Ｐ到各边的距离分别为ｒ1 、ｒ…     

一道竞赛题的多种证法

2002年全国初中数学竞赛中有这样一道几何题 :△ＡＢＣ内 ,∠ＢＡＣ =6 0° ,∠ＡＣＢ =40° ,Ｐ、Ｑ分别在ＢＣ、ＣＡ上 ,并且ＡＰ、ＢＱ分别是∠ＢＡＣ、ＡＢＣ的角平分线 .求证 :ＢＱ +ＡＱ =ＡＢ +ＢＰ .下面给出它的几种证法 .图 1证法 1　延长ＡＢ到Ｄ ,使ＢＤ =ＢＰ ,连结ＤＰ(如图 1 ) ,则∠Ｄ =∠ＢＰＤ .∵　∠ＡＢＣ =1 80°-(∠ＢＡＣ +∠ＡＣＢ) =80° ,∴　∠Ｄ =∠ＢＰＤ=40° ,∴　∠Ｃ =∠Ｄ .∵　∠ 1 =∠ 2 ,　ＡＰ =ＡＰ ,∴　△ＡＣＰ≌△ＡＤＰ ,∴　ＡＣ =ＡＤ ,即ＡＱ +ＣＱ =ＡＢ +ＢＤ .又∵　∠ 3=12 ∠ＡＢＣ =…     

新编应用题选登

题 75 　有一旗杆高 1 2米 ,从它的顶端挂下 2条长 1 3米的绳子 ,拉紧绳子 ,把它的下端放在地平面两点 ,而这两点和旗杆的脚不在同一条直线上 ,如果这两点和旗杆脚的距离都是 5米 ,请问旗杆和地面垂直吗 ?并证明你的结论 .解　旗杆与地面垂直 .证明如下 :图 1　题 75图如图 1 ,在△ＰＯＡ中 ,ＰＯ =1 2米 ,ＰＡ =1 3米 ,ＯＡ =5米 ,有ＯＡ2 +ＰＯ2 =ＰＡ2 ,所以∠ＰＯＡ=90°,同理∠ＰＯＢ =90° ,得ＰＯ⊥ＯＡ ,ＰＯ⊥ＯＢ .又Ｏ ,Ａ ,Ｂ不在一直线上 ,由线面垂直的判定定理可得 :ＰＯ⊥地面 .背景材料　本题的素材来源于一学生在学习立体…