Note on the Rayleigh problem for a visco-elastic fluid

Zusammenfassung Der Mangel an nichtstationären Lösungen für viskoelastische Strömungen hat den Autor veranlasst, das (aufRayleigh zurückgehende) Problem der plötzlich beschleunigten Platte für eine spezielle, vonOldroyd beschriebene viskoelastische Flüssigkeit zu untersuchen.Es wird eine lineare partielle Differentialgleichung erhalten, die, teilweise durch numerische Integretion, für den Bereich 0...1 der Variablen ₂/₁ gelöst wird (₂: Retardationszeit, ₁: Relaxationszeit). Einige Beispiele werden graphisch ausgewertet, und es wird das asymptotische Verhalten angegeben. Zwischen den Fällen ₂/₁=1 (Diffusionsgleichung) und ₂/₁=0 (gedämpfte Wellen) besteht ein kontinuierlicher Übergang. An einer gegebenen Stelle nimmt die Geschwindigkeit anfänglich langsamer und später rascher zu als im viskosen Fall. Dies lässt sich durch Speicherung und Abgabe von elastischer Energie erklären.     

Applications of Rellich's perturbation theory to a classical boundary and eigenvalue problem

Zusammenfassung Mit Hilfe der Rellichschen Störungstheorie wird die analytische Abhängigkeit der Lösungen eines Randwert- und eines Eigenwertproblems gezeigt, sowie des tiefsten Eigenwertes ₁() von einem Parameter , der in den Randbedingungen auftritt.Als Anwendung ergeben sich Schranken für das Energieintegral und ₁(). Ferner wird die Definition der RobinfunktionR(P, Q; ) erweitert auf negative Werte von , insbesondere singuläre Werte –p _j .

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Neu-Technikum Buchs     

Ein Störungssatz für abgeschlossene,lineare Operatoren

Zusammenfassung In vorliegender Note wird ein Satz von Kato [7] über die Störung eines abgeschlossenen, normal auflösbaren OperatorsT mit endlichem Null-defekt (T) durch einen streng singulären Operator verallgemeinert. Zu diesem Zweck wird für jedes 0 mit Hilfe des Kuratowskischen Nichtkompaktheitsmaßes eine KlasseC von beschränkten, linearen Operatoren eingeführt, welche sowohl die streng singulären Operatoren als auch die OperatorenS mit S enthält.Das erzielte Resultat steht in engem Zusammenhang mit den Untersuchungen von Gol'denteinn, Gohberg und Markus [5] und von Gol'denteienn und Markus [6].     

Zwei in Reihe angeordnete Schalter (mit einer Warteschlange dazwischen) bei Exponentialverteilung der Ankünfte und Abgänge

Einführung und Zusammenfassung Es wird ein System von zwei hintereinandergeschalteten BedienungskanälenA undB untersucht. Ankünfte und Abfertigungen genügen Exponentialverteilungen mit den Parametern für die Ankunftsrate und (₁, ₂) für die unterschiedlichen Abfertigungsraten der TeilsystemeA undB. ZwischenA undB befinden sichk Warteplätze. Wenn das SystemA besetzt ist, so läuft das Gesamtsystem über, d. h., ankommende Einheiten können in das besetzte EingangsystemA nicht eintreten und gehen verloren. Die Sonderfälle ₁=₂ undk=0 undk=1 werden beispielsweise beiMorse ²) behandelt. Zunächst wird für eine endliche Zahl vonk Warteplätzen eine Lösung hergeleitet, mit der man die WahrscheinlichkeitenP _ij für die Zustände des Systems außerordentlich einfach rekursiv berechnen kann. Für die wichtigsten Kenngrößen (Ausnutzungsgrad, Zahl der Einheiten im System, Länge der Warteschlange) des Gesamtsystems und der TeilsystemeA undB werden einfache Formeln angegeben. Schließlich wird die Lösung auf den Fallk ausgedehnt. In dem Falle besteht zwischen den Parametern , ₁ und ₂ eine einschränkende Bedingung.

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Introduction and summary A system of two service stationsA andB arranged in series is considered. The arrival and service time distributions are assumed to be exponential with arrival rate and (different) service rates (₁, ₂) for the two stationsA andB. A queue of at mostk waiting customers is allowed between the two stations. If stationA is occupied arriving units cannot enter the system and go elsewhere. Special cases with ₁=₂ andk=0 andk=1 have been treated e.g. byMorse.²) For queues of finite lengthk a solution is obtained which allows the state probabilitiesP _ij to be determined recursively in an extremely simple manner. For the more important characteristics (utilization rate, number of units in the system, length of queue) of the whole system as well as of the two separate stationsA andB simple formulas are derived. Finally, the solution is extended to cover the casek . Under these circumstances it is shown that the parameters , ₁ and ₂ cannot be varied completely independently of one another.

     

Untere und obere Schranken für den tiefsten Eigenwert der elastisch gestützten Membran

Zusammenfassung Es werden untere und obere Schranken für den tiefsten Eigenwert ₁() der elastisch gestützten schwingenden Membran hergeleitet. Die elastische Bindung der Membran am Rande wird durch charakterisiert, und wird als Parameter betrachtet.Die Verwendung des klassischen Rayleigh-Prinzipes liefert obere Schranken, mit Hilfe eines konvexen FunktionalsJ() erhält man obere und untere Schranken. Eine Zerlegungsmethode endlich gibt eine untere Schranke für ₁().

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Summary This article is concerned with the determination of upper and lower bounds for the lowest eigenvalue ₁() of the elastically supported vibrating membrane. The elastic support on the boundary is characterized by which is regarded as a parameter.The classical Rayleigh-Principle gives upper bounds. The use of a convex functionalJ() yields upper and lower bounds for ₁(). A method of decomposition leads to a lower bound for ₁().

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Neu-Technikum, Buchs SG     

On the eigenvalues of the matrix pencilA+μB

Summary The number of independent invariants ofn×n matricesA, B and their products on which the eigenvalues () of the matrix pencilA+B depend is determined by means of the theory of algebraic invariants and combinatorial analysis. Formulas are displayed for coefficients for the calculation of () forn5.

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Zusammenfassung Wir bestimmen die Anzahl der unabhängigen Invarianten dern×n MatrizenA, B und ihrer Produkte, von denen die Eigenwerte () der MatrixbüschelA+B abhängen, mittels der Theorie der algebraischen Invarianten und mittels kombinatorischer Analyse. Formeln für Koeffizienten zur Berechnung von () werden angegeben fürn5.

     

A minimax principle for the critical value of a boundary value problem with positive and increasing nonlinearity

Summary For a non-linear boundary value problem with a positive and increasing non-linearity there exists a critical value* of the parameter, beyond which there are no solutions. We give a minimax characterization of*.

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Zusammenfassung In der Randwertaufgabe –u(x)=f(x, u(x)), u(a)=u(b)=0, seif positiv und wachsend im zweiten Argument. Dann gibt es einen Wert*, so dass keine Lösung existiert für>*. In dieser Arbeit wird* durch ein Minimaxprinzip charakterisiert. Der Beweis beruht auf der Anwendung von Ober- und Unterlösungen und monotonen Iterationen.

     

Asymmetrical slow viscous fluid motions caused by the translation or rotation of two spheres. Part II: Asymptotic forms of the solutions when the minimum clearance between the spheres approaches zero

Zusammenfassung In dieser Arbeit handelt es sich um eine Analyse der asymptotischen Formen für die Lösung von Problemen der langsamen zähen Strömung, die durch die Bewegung von zwei starren sphärischen Grenzen verursacht wird, wenn diese sich entweder entlang von Axen bewegen, die senkrecht zu der Verbindungslinie ihrer Zentren liegen, oder sich um diese drehen, Es wird der Grenzfall untersucht, bei dem der den Mindestspielraum zwischen den Sphären definierende Parameter sich Null nähert. Es wird gezeigt, dass für Kugeln, die ausserhalb einander liegen, die Kräfte und die Momente, die auf jede der beiden Kugeln einwirken, singulär werden, und zwar wie log für 0, für alle Werte der Radien. Wenn eine Kugel die andere einschliesst, findet man im allgemeinen dasselbe Verhalten, aber wenn eine stationäre Kugel eine drehende einschliesst, so verschwinden die Kräfte für »0, wenn der Radius der äusseren Kugel viermal so gross als der der inneren ist. Ein entsprechendes Verhalten zeigen auch die Momente, wenn sich die innere Kugel fortbewegt.     

Energy stability of channel flows

Zusammenfassung Die Energiemethode wird zur Untersuchung der Stabilität einer beliebigen Kanalströmung angewandt. Es wird eine auf Eigenwertabschätzungen basierte qualitative Beschreibung der Fläche (, ) gegeben, welche die Schranke für den Instabilitätsbereich in Abhängigkeit von Längs- bzw. Querwellenzahl der Störungen darstellt. Eine allgemeine untere Grenze für die minimalisierende Querwellenzahl und den zugehörigen Eigenwert (0, ) wird angegeben. Das Problem der Energiestabilität wird dann für eine Klasse von Geschwindigkeitsprofilen mit Wendepunkt gelöst. Die durch numerische Integration erhaltenen Ergebnisse werden mit den Ergebnissen der linearen Stabilitätstheorie verglichen.     

The drag on two spheres in contact in the slip flow regime

The drag on two equal spheres in rigid contact falling along their line of centres is calculated in the slip flow regime. Standard viscous flow theory is employed with the necessary slip boundary conditions. The drag is seen to depend on the ratio=l/a wherel is the mean free path of an atom in the surrounding gas and a is the radius of the sphere. Two exact limiting cases are obtained for the drag, viz: small and large, and a useful interpolation formula is derived by means of a variational principle. The equivalent sphere approximation is found to give satisfactory results.

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Zusammenfassung Der aerodynamische Widerstand auf zwei gleiche Kugeln, die aneinander haften und die sich entlang ihrer Verbindungslinie bewegen, wird berechnet. Die Stokes Gleichungen werden mit Gleitgeschwindigkeits-Randbedingungen (slip flow) gelöst. Es zeigt sich, daß der Widerstand vom Verhältnisl/a abhängt, wol die freie Weglänge eines Moleküls im Gas unda der Kugelradius sind. In zwei Grenzfällen kann der Widerstand exakt berechnet werden: Für ganz kleine und ganz große, wo der Parameter proportional zur Knudsen Zahl ist. Für Zwischenwerte wird aus Prinzipien der Variationenrechnung eine nützliche Interpolationsformel hergeleitet. Die Näherungsmethode der aequivalenten Kugel liefert befriedigende Resultate.

     

Some norm estimates for the solutions of a nonlinear diffusion problem

Summary By means of Rellich's identity bounds for the spectrum of the nonlinear problem v+e ^v=0 are derived and certain norms for the solutions are estimated.

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Zusammenfassung Mit Hilfe einer Rellichschen Identität werden Schranken für das Spektrum des nichtlinearen Problems v+e ^v=0 angegeben. Ferner werden gewisse Normen für die Lösungen abgeschätzt.

     

Two dimensional flow with constant shear past cylinders with various cross sections

Zusammenfassung Tsiens Methode, die Stromfunktion für Strömung mit konstanter Drehung an einem Zylinder vorbei festzustellen, wird erweitert, um Gebrauch von den natürlichen Koordinaten des Systems zu machen. Das modifizierte Verfahren wird gebraucht, um die Stromfunktionen für Strömung mit Drehung an elliptischen und parabolischen Zylindern und an einer ebenen Platte vorbei festzustellen. Die Hauptzüge der Strömungsfelder werden untersucht; man richtet besondere Aufmerksamkeit auf die Positionen der Staupunkte. Als ein äusserst wichtiger Parameter in dieser Studie erweist sich die dimensionslose ZahlN=U/l, woU undl respektiv eine typische Geschwindigkeit und Länge im Felde sind und die Drehung ist.     

Die Methode der „direkten Koeffizientenanpassung“ (μ-Form) des Separable Programming

Zusammenfassung Zur approximativen Lösung von Optimierungsproblemen mit trennbaren nichtlinearen Funktionen (Separable Programming) werden häufig modifizierte Methoden der linearen Planungsrechnung verwendet. Dabei ersetzt man die nichtlinearen Funktionen durch lineare Streckenzüge. Für diese polygonale Approximation werden in der Literatur die sog.-Form und die sog.-Form vorgeschlagen, die jedoch eine aufwendige Datenorganisation erfordern. In diesem Beitrag soll eine kompaktere Organisationsform (-Form) vorgeschlagen werden. Zu ihrer Durchführung werden die Rechenregeln der Upper-Bounding-Technique und die Regeln zur nachträglichen Änderung von Matrixelementen verwendet. Der Vorteil gegenüber der-Form und der-Form liegt in einem wesentlich geringeren Speicherplatzbedarf, im niedrigeren Rechenaufwand und in einer größeren Flexibilität.

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Summary Separable programming problems can be solved by modifications of the simplex method, when the single functions are replaced by linear polygonal approximations. Two forms of different data organization are discussed in the literature: the-form and the-form. In this paper a more compact data organization (-form) is suggested. It uses the upper bounding technique and the formulas for the subsequent alteration of matrix elements. The advantage of this method over both the-form and the-form is due to much less storage space, to a reduced computation time, and to a higher flexibility.

     

The compressible gas-solid particle flow over a semi-infinite flat plate

Zusammenfassung Es wird gezeigt, dass die Grenzschicht-Approximation auf die Zwei-Phasen-Strömung über eine Halbebene anwendbar ist, wenn die Teilchendichte in der Grenzschicht von der Ordnung ist. Die Bedeutung eines neuen Parameters _m /x wird herausgestellt, wo _m die Länge ist, auf der die Teilchen ihre Geschwindigkeit ume ^–1 verringern, und der Abstand von der Vorderkante. Reihenentwicklungen in diesem Parameter werden benutzt, derart, dass eine Ähnlichkeitsgrösse für die Halbebene gefunden werden kann. Dies reduziert ein System partieller Differentialgleichungen auf ein System gewöhnlicher Differentialgleichungen. Letztere werden numerisch und wenn möglich analytisch gelöst, so dass Schubspannungskoeffizienten und Wärmeübergangskoeffizienten für begrenzte Teile der Wand berechnet werden können. Hierbei wird die Gasdichte nicht als konstant angenommen.     

Criticality in a model for thermal ignition in three or more dimensions

An explicitly resolvable model, which was instroduced in a previous paper (see [1]), is used to obtain exact behaviour of its bifurcation curves. The model closely approximates the true Arrhenius law for a spherical vessel of reacting material undergoing an exothermic reaction in three or more dimensions. For a sequence of values of a parameter, which is the reciprocal of the dimensionless activation energy, the number of the solutions changes for certain values of the eigenparameter Further, there exist solutions for all then is non-zero.

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Zusammenfassung Mit Hilfe eines explizit lösbaren Modells, das in einer früheren Arbeit eingeführt wurde (siehe [1]), erhält man das exakte Verhalten der zugehörigen Verzweigungskurven. Das Modell approximiert gut das Arrheniussche Gesetz für exotherme Reaktionen in einem sphärischen Topf in drei oder mehr Dimensionen. Für eine Folge von Werten des Parameters, welches als Reziproke der dimensionslosen Aktivierungsenergie dient, ändert sich die Anzahl der Lösungen zum Eigenwert, der durch gesteuert wird. Weiter gibt es für alle mindestens eine Lösung, sofern 0 gilt.

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Supported in part by the Deutsche Forschungsgemeinschaft and in part by the Victoria University of Wellington Fellowship Committee.     

Adiabatic variation part II. Action change for the simple oscillator

If the frequency of a simple pendulum varies with time slowly and analytically smoothly, then the total change in its action is exponentially small (Part I). This change is computed here to the first approximation for a class of frequency functions () of practical interest.

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Zusammenfassung Wenn die Frequenz eines einfachen Pendels sich langsam und analytisch glatt ändert, dann ist die Totaländerung der Wirkung exponentiell klein. Diese Änderung wird hier für eine Klasse von praktischen Frequenzfunktionen zur ersten Näherung berechnet.

     

A problem in machine breakdown

Summary Consider a machine subject to breakdown. The machine, if working, performs a certain kind of task and the probability of completion of a task in time intervalt ist+o (t). The running time, set-up time (that elapses before repair starts) and the repair time are independent random variables, each following exponential distribution. Explicit expressions are derived for quantities of interest, for example (i) the variance of the number of tasks completed in an arbitrary time interval and (ii) the covariance between the number of tasks completed in two successive non-overlapping time intervals. Each result is presented in a slightly more general form obtained by considering that each task may consist of one or more pieces, the number of pieces in each task has a distribution with finite mean and variance.

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Zusammenfassung Betrachtet wird eine Maschine unter Berücksichtigung technischer Störungen. Wenn die Maschine läuft, führt sie gewisse Arbeitsgänge durch. Die Wahrscheinlichkeit, daß ein Arbeitsgang in einem Zeitintervall der Länget beendet wird, beträgtt+o (t). Die Arbeitszeit, Wartezeit (Zeitspanne bis Reparaturbeginn bei Störung) und die Reparaturzeit sind unabhängige, exponentialverteilte Zufallsgrößen. Für gewisse interessierende Größen werden explizite Ausdrücke hergeleitet, z. B. (1) für die Varianz der Anzahl der durchgeführten Arbeitsgänge in einem gegebenen Zeitintervall und (2) für die Kovarianz zwischen den Anzahlen der durchgeführten Arbeitsgänge in zwei aufeinanderfolgenden disjunkten Zeitintervallen. Jedes Ergebnis wird in einer etwas allgemeineren Form dargestellt, die dadurch entsteht, daß angenommen wird, jeder Arbeitsgang bestünde aus mehreren Teilen, deren Anzahl einer Verteilung mit endlichem Mittelwert und endlicher Varianz genügt.

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This research was conducted under Grant received from the University of Alabama Research Committee, Project No. 525, dated May 10, 1966.

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Vorgel. v.:J. Nitsche.     

The extreme point characterization of semi-infinite dual non-Archimedean balls

The extreme point characterization of the (l)-ball of a generalized finite sequence space by Kortanek and Strojwas was accomplished only for real scalars and by continuity considerations. We show that no topology or continuity is needed as in Kortanek-Strojwas and that the characterization extends to weighted (l)-balls with any ordered scalar field. We show a Chebyshev ball theorem is false since they haveno extreme points. Via generalizing the LIEP theorem, useful projections of the ball are proved convex hulls of their extreme points.

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Zusammenfassung Die Extrempunkt-Charakterisierung der (l)-Kugel eines verallgemeinerten endlichen Folgenraumes ist von Kortanek und Strojwas nur für reelle Skalare und mittels Stetigkeitsbetrachtungen hergeleitet worden. In der vorliegenden Arbeit wird gezeigt, daß keine topologischen oder Stetigkeitsbetrachtungen wie bei Kortanek und Strojwas erforderlich sind und daß die Kortanek-Strojwas-Charakterisierung auch für gewichtete (l)-Kugeln und einen beliebig angeordneten Körper gültig bleibt. Ein analoges Theorem für Tschebyschew-Kugeln ist falsch, da diese Kugeln keine Extrempunkte besitzen. Durch Verallgemeinerung des LIEP-Theorems (lineare Unabhängigkeit bei Extrempunkten) der semi-infinite Optimierung erhält man Charakterisierungen von gewissen Untermengen der Tschebyschew-Kugel als konvexe Hüllen ihrer Extrempunkte.

     

Bounding eigenvalues of clamped plates

Zusammenfassung Es wird ein Verfahren zur Berechnung von oberen und unteren Schranken für die Eigenwerte einer eingespannten Platte beliebiger Form dargestellt. Die Methode besteht darin, exakte Partikulärlösungen der Plattengleichung ( ² u=u) zu konstruieren, welche die Randbedingungen des Plattenproblems approximativ erfüllen. Der Abstand zwischen dem Eigenwert der Partikulärlösung und einem Eigenwert des Plattenproblems kann dann mit Hilfe eines Lemmas vonMoler undPayne abgeschätzt werden.Als Beispiele wurden die ersten Eigenwerte der quadratischen Platte sowie einiger elliptischer Platten berechnet. Für eine spezielle elliptische Platte sind die ersten vier Eigenwerte angegeben.     

Laminar boundary layer on a flat plate at high Prandtl number

Zusammenfassung Das Problem der Laminarströmung einer kompressiblen Flüssigkeit längs einer ebenen Platte bei grossen Prandtlzahlen wird mit Hilfe der Methode der inneren und äusseren Expansion gelöst unter der Annahme, dass das Produkt aus Dichte und Viskosität quer zur Grenzschicht konstant ist. Die Tabellen des Anhanges ermöglichen die Berechnung einer vollständigen Temperaturverteilung in der Grenzschicht für isolierte und nichtadiabatische Wände. Es erweist sich, dass die für den Rückgewinnungsfaktor gewonnene Formelr=1,922 ^1/3–1,341 eine wesentliche Verbesserung gegenüber früheren Ergebnissen ist, selbst bei =10³. Es wird eine Interpolationsformel vorgeschlagen, die in die exakte asymptotische Lösung bei grossem übergeht und beir=1 ebenfalls =1 ergibt.