Plate thermometer

Zusammenfassung Das Doppelintegral, das mit der Temperatur eines Plattenthermometers zusammenhängt, konvergiert langsam bei grossen Werten der Prandtl-Zahl . Es wird eine Methode angedeutet, um dieses Integral für alle nicht zu kleinen Werte von auszurechnen. Bei =1000 ist der ausgerechnete Wert ungefähr 20% grösser, als gewöhnlich angenommen wird.     

A method to obtain some similarity solutions to the generalized Newtonian fluid

It is shown that a similarity solution to the Rayieigh flow problem for a generalized Newtonian fluid exists if the fluid boundary (y=0) is given a velocityU(t) t ^1/2. Furthermore, if the fluid is of the power-law type then similarity solutions exist ifU(t) t (orU(t) e ^t), where is any real number.

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Zusammenfassung Eine Methode wird aufgezeigt, wonach eine Ähnlichkeitslösung für das Rayleigh Strömungsproblem für eine allgemeine Newtonische Flüssigkeit besteht, falls der Flüssigkeitsgrenze (y=0) eine GeschwindigkeitU (t) t ^1/2 zugeordnet wird. Für Flüssigkeiten von Potenz-Gesetz-Charakter gibt es außerdem Ähnlichkeitslösungen, fallsU(t) t (orU(t) e ^t) gilt, wobei eine beliebige reelle Zahl darstellt.

     

The hydromagnetic viscous boundary layer at the free surface of a rotating baroclinic fluid

Steady, linear hydromagnetic boundary layer at the free surface of a rotating baroclinic fluid is analysed under Boussinesq approximation. The flow is driven by the buoyancy forces which exist due to the density variations associated with baroclinicity. Meridional circulations of mass flux and electric current flux occur due to the boundary layer suction as well as due to the hydromagnetic effects. The boundary layer suction dominates and the dynamics of the flow reduce to that of nonmagnetic case for ²<O(E), whereE is the Ekman number and ² (=B ₀ ² /) is the magnetic interaction parameter, which represents the ratio of hydromagnetic to Coriolis forces. When ²>O(E), meridional circulation induced in the interior due to hydromagnetic effects is stronger than that can be supported by the boundary layer. The electric current flux through the interior is stronger for any value of than that can be supported by the boundary layer. Further it is argued that hydromagnetic effects suppress the laminated flow (v/z0) in the interior. As a result, the meridional circulations are strong when =O(1).

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Zusammenfassung Die stationäre lineare hydromagnetische Grenzschicht an der freien Oberfläche eines rotierenden, baroklinischen Fluids wird mit Hilfe der Boussinesq-Näherung untersucht. Die Strömung wird durch die Auftriebskräfte angetrieben, die durch die baroklinischen Dichte-Variationen verursacht werden. Die meridionale Zirkulation des Massenstromes und des elektrischen Stromes wird durch die Grenzschicht-Saugwirkung und durch hydromagnetische Effekte erzeugt. Die Grenzschicht-Saugwirkung dominiert und die Strömung reduziert sich auf den nicht-magnetischen Fall für ²<O(E); dabei istE die Ekman-Zahl und ² (=B ₀ ² /) ist der magnetische Kopplungs-Parameter, der das Verhältnis der hydromagnetischen zu den Coriolis-Kräften gibt. Wenn ²>O(E) ist, wird die meridionale Zirkulation, die durch hydromagnetische Effekte erzeugt worden ist, stärker als die, welche durch Grenzschichten erzeugt werden kann. Der elektrische Strom im Innern ist für alle Werte von größer als der Wert den die Grenzschicht verursacht. Weiterhin wird gezeigt, daß hydromagnetische Effekte die Laminal-Strömung (v/z0) im Innern unterdrückt. Es ergibt sich, daß die meridionalen Zirkulationen stark sind für =O(1).

     

Konsequenzen desBernoulli-Prinzips für die Präferenzstruktur von Normalverteilungen

Zusammenfassung Eine Risikosituation sei durch eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die möglichen Gewinne und Verluste charakterisiert. Die Auswahl einer günstigsten Verteilung aus einer vorgegebenen Menge von Wahrscheinlichkeitsverteilungen kann nach verschiedenen Kriterien erfolgen, z.B. durch Maximierung des Erwartungswertes einer Nutzenfunktion (Bernoulli-Prinzip), aber auch durch Maximierung einer Präferenzfunktion in Mittelwert und Standard-abweichung.Das zweite Prinzip ist nur dann mit dem ersten (das gewöhnlich als Kriterium rationalen Verhaltens angesehen wird) verträglich, wenn entweder die Nutzenfunktion quadratisch ist oder die Klasse der zugelassenen Wahrscheinlichkeitsverteilungen geeignet eingeschränkt ist. Wird z. B. eine Präferenzfunktion in und nur auf die Klasse der Normalverteilungen bezogen, dann kann die Frage ihrer Verträglichkeit mit demBernoulli-Prinzip aufgrund eines in dieser Arbeit entwickelten Kriteriums entschieden werden. Darüberhinaus wird ein Verfahren zur Berechnung der Nutzenfunktion — falls vorhanden — angegeben. Am Beispiel einiger typischer Präferenzfunktionen wird die Brauchbarkeit des Kriteriums aufgezeigt.

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Summary Let a risky situation be characterized by a probability distribution over the set of possible gains and losses. The choice of the best distribution from a given set of probability distributions may be accomplished according to several criteria, e. g. by maximizing the mathematical expectation of a utility function (Bernoulli-principle) or by maximizing a preference function of the mean and the standard deviation.The second principle is consistent with the first one (which is generally viewed as a criterion of rational behavior) if and only if either the utility function is quadratic or the class of admissible probability distributions is suitably restricted. For example, if a preference function in and is applied on the class of normal distributions only, then the problem of its consistency with theBernoulli-principle can be solved with the help of a criterion that is developed in this paper. Moreover it is shown how to calculate the utility function — if it exists. Some typical preference functions serve as examples to demonstrate the applicability of this criterion.

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Vortrag gehalten auf der Jahrestagung 1963 der Deutschen Gesellschaft für Unternehmensforschung (DGU) in Braunschweig.

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Vorgel. v.: H.Söhngen     

Note on the Rayleigh problem for a visco-elastic fluid

Zusammenfassung Der Mangel an nichtstationären Lösungen für viskoelastische Strömungen hat den Autor veranlasst, das (aufRayleigh zurückgehende) Problem der plötzlich beschleunigten Platte für eine spezielle, vonOldroyd beschriebene viskoelastische Flüssigkeit zu untersuchen.Es wird eine lineare partielle Differentialgleichung erhalten, die, teilweise durch numerische Integretion, für den Bereich 0...1 der Variablen ₂/₁ gelöst wird (₂: Retardationszeit, ₁: Relaxationszeit). Einige Beispiele werden graphisch ausgewertet, und es wird das asymptotische Verhalten angegeben. Zwischen den Fällen ₂/₁=1 (Diffusionsgleichung) und ₂/₁=0 (gedämpfte Wellen) besteht ein kontinuierlicher Übergang. An einer gegebenen Stelle nimmt die Geschwindigkeit anfänglich langsamer und später rascher zu als im viskosen Fall. Dies lässt sich durch Speicherung und Abgabe von elastischer Energie erklären.     

Energy stability of channel flows

Zusammenfassung Die Energiemethode wird zur Untersuchung der Stabilität einer beliebigen Kanalströmung angewandt. Es wird eine auf Eigenwertabschätzungen basierte qualitative Beschreibung der Fläche (, ) gegeben, welche die Schranke für den Instabilitätsbereich in Abhängigkeit von Längs- bzw. Querwellenzahl der Störungen darstellt. Eine allgemeine untere Grenze für die minimalisierende Querwellenzahl und den zugehörigen Eigenwert (0, ) wird angegeben. Das Problem der Energiestabilität wird dann für eine Klasse von Geschwindigkeitsprofilen mit Wendepunkt gelöst. Die durch numerische Integration erhaltenen Ergebnisse werden mit den Ergebnissen der linearen Stabilitätstheorie verglichen.     

An approximate load-deflection relation for a long half-cylindrical tube compressed between parallel plates

Based on a new exact solution for finite elastic deformations of an incompressible Mooney material an approximate load-deflection relation is formulated for the problem of a long rubber halfcylindrical tube which is compressed uniformly along its length between parallel rigid metal plates. This solution includes a transition from a one-point contact to a two-point contact problem and the load-deflection relation obtained is approximate in the sense that boundary conditions of stress are satisfied in an average or mean sense only.

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Zusammenfassung Auf der Basis einer exakten Lösung für endliche elastische Deformationen eines inkompressiblen Mooney-Materials wird eine angenäherte Beziehung zwischen Last und Deformation formuliert für den Fall einer langen halbzylindrischen Gummiröhre, die gleichförmig über ihre gesamte Länge zwischen parallelen steifen Platten komprimiert wird. Diese Lösung schliesst den Übergang von Einpunkt- zu Zweipunktkontakt ein. Die Beziehung zwischen Last und Deformation ist angenähert in dem Sinne, dass die Randbedingungen der Spannungsverteilung nur im Mittel befriedigt sind.

     

Messbare Mengen von Massen und Inhalten

Let X be a completely regular space. The customary -field is the coarsest -field on the space of Bairemeasures on X which makes (A) measurable for any Baire set A. We compare the customary -field with the Baire and Borel -field induced by the weak* topology which lies on the dual space C(X). In (2.3) it is shown that the customary -field is just the Baire -field. In part 3 necessary and sufficient conditions are given under which the set of -smooth measures is measurable with respect to the Borel -field which lies on the positive cone of the space of finitely additive, regular measures C(X). Finally, a decomposition theorem for generalized kernels is proved. The -smooth part of a generalized kernel is a kernel again if certain conditions are fulfilled.     

The stability of dissipative Couette flow between rotating cylinders in the presence of an axial magnetic field

Zusammenfassung Die Stabilität der magnetohydrodynamischen Strömung zwischen zwei koaxialen Kreiszylindern, die sich in einem axialen Magnetfeld befinden wird untersucht für beliebige Werte des Rotationsparametersm= ₂/ ₁, wobei ₂ die Winkelgeschwindigkeit des äusseren Zylinders und ₁ die Winkelgeschwindigkeit des inneren Zylinders bedeutet. Es wird angenommen, dass die Spaltbreite klein gegenüber den Krümmungsradien der Zylinder ist, dass es sich um eine schwach elektrisch-leitende Flüssigkeit handelt und dass die Zylinder nicht-leitend sind. Werte der kritischen Taylor- und Wirbelzahl für neutrale Störungen vom Taylor-Görtler-Typ werden als Funktion der Hartmann-Zahl für alle |m|1 numerische bestimmt.     

Subgroups of the full linear group over a semilocal ring

Let be a semilocal ring (a factor ring with respect to the Jacobson-Artin radical) for which the residue field C/m of its center C with respect to each maximal idealmC contains no fewer than seven elements. The structure of subgroups H in the full linear group GL(n, ) containing the group of diagonal matrices is considered. The main theorem: for any subgroup H there is a uniquely determined D-net of ideals such that G()HN(), whereN() is the normalizer of the D-net subgroup . A transparent classification of subgroups GL(n, ) normalizable by diagonal matrices is thus obtained. Further, the factor groupN()/G() is studied.Translated from Zapiski Nauchnykh Seminarov Leningradskogo Otdeleniya Matematicheskogo Instituta im. V. A. Steklova AN SSSR, Vol. 75, pp. 32–34, 1978.     

Subgroups of the general symplectic group containing the group of diagonal matrices

There are described the subgroups of the general symplectic group =GSp(2n, R) over a commutative semilocal ring R, containing the group of symplectic diagonal matrices. For each such subgroup P there is uniquely defined a symplectic D-net a such that ()pN(), where () is the net subgroup in corresponding to (cf. RZhMat, 1977, 5A288), and N() is its normalizer. The quotient group N × ()/() is calculated. There are also considered subgroups in Sp(2n, R). Analogous results for subgroups of the general linear group were obtained earlier in RZhMat, 1978, 9A237.Translated from Zapiski Nauchnykh Seminarov Leningradskogo Otdeleniya Matematicheskogo Instituta im. V. A. Steklova AN SSSR, Vol. 103, pp. 31–47, 1980.     

über straffe Wahrscheinlichkeitsverteilungen im Raum der Schwartzschen Distributionen

Zusammenfassung In den letzten Jahren erschien eine Reihe von Arbeiten, die sich systematisch mit Wahrscheinlichkeitsverteilungen auf topologischen Gruppen, Halbgruppen, topologischen RÄumen und topologischen linearen RÄumen beschÄftigten. Als besonders geeignet für eine topologische Wahrscheinlichkeitstheorie erwiesen sich hierbei die sogenannten straffen (tight) Wahrscheinlichkeitsverteilungen (vgl. Le Cam [3], Hildenbrand [11], Prochoeov [20], Varadarajan [25]).Die vorliegende Arbeit befa\t sich mit straffen Wahrscheinlichkeitsverteilungen im Raum D, dem topologischen Dualraum des Raumes D der auf der reellen Zahlengeraden definierten beliebig oft differenzierbaren Funktionen mit kompaktem TrÄger Tr .Der Ausgangspunkt für die Untersuchung von Zufallselementen mit Werten in linearen RÄumen, die nicht notwendig BanachrÄume sind, war wohl der von GELFAND [8] eingeführte Begriff des verallgemeinerten stochastischen Prozesses (VSP). Solange man bei einem solchen Proze\ Eigenschaften untersucht, die sich mit Hilfe seiner endlichdimensionalen Randverteilungen Q_{1,...,n}, _i D, beschreiben lassen, wird man sich wie im Fall eines gewöhnlichen stochastischen Prozesses natürlich die Frage stellen, ob ein geeigneter Standard-stichprobenraum existiert, etwa der Raum D, so da\ sich jeder VSP auffassen lÄ\t als Wahrscheinlichkeitsverteilung auf einem geeigneten hinreichend umfangreichen -Ring von Teilmengen des Raumes D. Die fundamentale Arbeit von MINLOS [18] gab hierzu die Lösung: Durch ein vertrÄgliches System endlichdimensionaler Wahrscheinlichkeitsverteilungen Q_{1,...,n}, _i D, mit gewissen Eigenschaften, die denen der Randverteilungen eines VSP entsprechen, lÄ\t sich auf dem SystemB der Zylindermengen des Raumes D eine sogenannte schwache Verteilung definieren, von der gezeigt wird, da\ sie -additiv ist. Durch EinschrÄnkung des Raumes der sogenannten Testfunktionen auf den metrisierbaren Teilraum D _K{ D:Tr K, K kompakt in } von D lÄ\t sich dieses Ergebnis wie folgt verschÄrfen: Die durch ein vertrÄgliches System endlichdimensionaler Randverteilungen Q_{1,...,n}, _i D, mit entsprechenden Eigenschaften, auf dem System B _K der Zylindermengen des Raumes D_K definierte schwache Verteilung K ist straff bezüglich der schwachen Topologie (D_K, D_K) in D_K.Die Frage nach der Gültigkeit einer entsprechenden VerschÄrfung für das Dualsystem >DD<, bzw. allgemeiner für ein Dualsystem E, F mit nicht notwendig metrisierbarem F, bildete den Gegenstand neuerer Untersuchungen, über deren Ergebnisse auf dem letzten Berkeley Symposium E. Mourier berichtete (vgl. [19]).Im ersten Kapitel der vorliegenden Arbeit des Verfassers wird demgegenüber eine Methode aufgezeigt, mit deren Hilfe, unter Verwendung des Minlosschen Satzes in seiner ursprünglichen Form, auf direktem Wege für das Dualsystem >D, D< der Nachweis gelingt, da\ eine schwache Verteilung auf B nicht nur -additiv, sondern automatisch straff ist (bzgl. der schwachen Topologie (D, D) in D) und sich somit eindeutig fortsetzen lÄ\t zu einer straffen Wahrscheinlichkeitsverteilung auf dem System 83 der Boreischen Mengen in D, welches den von den Zylindermengen erzeugten -Ring (B) umfa\t. Mit anderen Worten wird damit gezeigt, da\ man jeden VSP auffassen kann als straffe Wahrscheinlichkeitsverteilung auf den Boreischen Mengen in D. Wir sprechen dann auch von einer zufÄlligen Distribution.Im zweiten Kapitel betrachten wir spezielle zufÄllige Distributionen, nÄmlich Normal-verteilungen v, die aus Randverteilungen hervorgehen, welche n-dimensionale Normal-verteilungen sind, und beschÄftigen uns mit dem Problem der Äquivalenz und SingularitÄtzweier Normalverteilungen v₁ und v₂ in D. Für den Fall v₁ = v, v₂= v_{f 0}, wo v_{f 0}(Z) =v(Z – f₀), ZB fD, zeigte DUDLEY [6], da\ entweder Äquivalenz oder SingularitÄt vorliegt, wobei er ein notwendiges und hinreichendes Kriterium für den Fall der Äquivalenz angibt. Aus der Theorie der gewöhnlichen stochastischen Prozesse ist nun bekannt, da\ die beiden Wahrschein-lichkeitsma\e, die zwei beliebigen Gau\schen Prozessen auf dem Raum ihrer Realisierungen entsprechen, entweder Äquivalent oder singular sind. Es lag deshalb nahe, nach einem Kriterium zu suchen, welches es einerseits gestattet, im Fall zweier beliebiger Normalverteilungen v₁ und v₂ in D zu entscheiden, wann Äquivalenz vorliegt, und welches andererseits die naheliegende Vermutung bestÄtigt, da\ für zwei Normalverteilungen in D dieselbe Alternative wie im eben zitierten klassischen Fall vorliegt. Dieses Problem wird gelöst, indem wir zeigen, da\ sich ein von Kallianfur-Oodaira [13] aufgestelltes Kriterium für die Äquivalenz zweier Normalverteilungen auf den Boreischen Mengen eines separablen Hilbertraumes auf den Distributionsraum D übertragen lÄ\t.Im dritten Kapitel beschÄftigen wir uns mit der Frage der Äquivalenz zweier beliebiger (nicht notwendig normaler) Wahrscheinlichkeitsverteilungen in D.Abschlie\end möchte der Autor Herrn Professor Dr. K. Krickeberg (Heidelberg) für die Anregung zu dieser Arbeit sowie für die Unterstützung wÄhrend ihrer Durchführung herzlich danken.     

Darstellungssätze für Strömungen und Halbströmungen I

Zusammenfassung Der in der Ergodentheorie der Strömungen fundamentale Satz vonAmbrose [2] über die Darstellung meßbarer Strömungen durch Strömungen unter einer Funktion wird in verschiedener Hinsicht verallgemeinert. Im vorliegenden Teil I der Arbeit betrachten wir konservative und dissipative Strömungen in -endlichen Maßräumen. Für dissipative Strömungen wird durch unseren Satz das Isomorphieproblem auf ein unter schwachen Regularitätsbedingungen gelöstes Problem zurückgeführt.Der Darstellungssatz für konservative Strömmungen gestattet analog zu [1] die Beantwortung von Fragen über die Entropie konservativer Strömungen [8]. Darauf gehen wir in einem folgenden Teil II der Arbeit näher ein, in dem wir allgemeiner Halbströmungen betrachten. Die Darstellungssätze für Halbströmungen (und ihre Beweise) sind jedoch soviel komplizierter, daß es zweckmäßig erschien, die hier behandelten Sätze gesondert zu veröffentlichen, zumal der Spezialfall von Strömungen weitergehende Aussagen (Satz 3.2) gestattet.     

On the dynamics of turbulent vortical flow

Zusammenfassung Die Wirbelströmung in einer turbulenten kompressiblen Flüssigkeit wird behandelt. Die Bewegungsgleichungen werden durch die Vernachlässigung der kleineren Glieder vereinfacht. Die experimentellen Ergebnisse erlauben eine Fehlerrechnung für einen Fall. Ein wichtiger Schritt in der Vereinfachung ist die Voraussetzung, dass die Radialgradienten viel grösser sind als die Axialgradienten. Für die kräftigen Wirbel erwies sich diese Annahme sowohl durch die Erfahrung als auch aus den wesentlichen theoretischen Betrachtungen heraus als begründet. Die vereinfachten Gleichungen zeigen einige wichtige Aspekte der schnelldrehenden Strömungen und geben einen Anhaltspunkt für die ausführlicheren Studien.

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Notation r radial co-ordinate - z axial co-ordinate - u, U, u radial velocity component, its time-mean value, and the turbulent perturbation to it - v, V, v tangential or swirl velocity component, etc. - w, W, w axial velocity component, etc. - p, P, p fluid pressure, etc. - ,R, fluid density, etc. - , , , numbers small with respect to unity - C, F, G, G ₀ constants of integration     

Flow of a particular class of non-Newtonian visco-elastic and visco-inelastic fluids near a stagnation point

Zusammenfassung Die Bewegungsgleichungen für die stationären Strömungen einer besonderen Klasse nichtnewtonscher viskoelastischer und viskounelastischer Flüssigkeiten nahe einem Staupunkt sind nach der Kármán-Pohlhausen-Methode integriert worden. Es hat sich gezeigt, dass der Effekt der Querviskosität und Viskoelastizität durch den dimensionslosen ParameterR=a/ beziehungsweiseK=a/ dargestellt werden. Aus der Betrachtung der Dissipationsfunktion folgern wir, dass der ganze Umfang der negativen Werte vonK undR physikalisch zulässig ist. Die zweidimensionalen Grenzschichtgleichungen für viskoelastische Flüssigkeiten sind abgeleitet worden.     

Analytical solution for a steady flow of enclosed rotating disks

Low-Reynolds-number flow plays an important role in the centrifugal separation of fluid particles under microgravity conditions and also in micromechanics due to the miniaturization of fluid mechanical parts. In this situation, the governing equations may be simplified. Here an analytical solution is presented for the steady flow of an incompressible viscous fluid between two finite disks enclosed by a cylindrical container for small Reynolds number (Re 10). The general solution is valid for all choices of the aspect ratio () and different cases of disk to cylinder rotation rates (s). An expression for the torque acting on the disk is obtained. The tangential velocity distribution is calculated and presented graphically for different values of ands. Known results in the literature for a single rotating disk and similar problems follow as a particular case of the general solution presented.

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Zusammenfassung Zahlreiche hydrodynamische Vorgänge unter der Bedingung verminderter Schwerkraft aber auch Vorgänge in der Mikromechanik finden im Bereich kleiner Reynoldszahlen statt. In solchen Situationen können die Bewegungsgleichungen vereinfacht und eventuell analytische Lösungen gefunden werden. In dieser Arbeit wird die stationäre Strömung einer viskosen, inkompressiblen Flüssigkeit für kleine Reynolds- und unterschiedliche Aspektzahlen untersucht. Die Flüssigkeit ist zwischen zwei rotierenden Scheiben und einem zylindrischen Behälter eingeschlossen. Eine analytische Lösung für die Tangentialkomponente des Geschwindigkeitsvektors ist für den allgemeinen Fall, dass die Scheiben und der Behälter unterschiedliche Winkelgeschwindigkeiten besitzen können, dargestellt. Des weiteren wurde eine Beziehung für das Widerstandsmoment der rotierenden Scheibe angegeben. Der Verlauf der Tangentialgeschwindigkeiten für verschiedene Rotations- und Aspektverhältnisse wird graphisch dargestellt und diskutiert. Bereits angegebene Lösungen in der Literatur bezüglich dieser Geometrie können als Sonderfall der hier dargestellten Lösung entwickelt werden.

     

A note on the position of the centre of flexure of a beam of isotropic material having a section bounded by a parabola and a straight line

Zusammenfassung Die vorliegende Notiz behandelt das Problem der Auffindung des Biegungszentrums eines aus isotropem Material bestehenden Balkens, der einen durch eine parabolische und eine geradlinige Kante begrenzten Querschnitt besitzt. Die Last ist parallel zur geradlinigen Kante angenommen. Der Verfasser benützt zur Lösung der Aufgabe dasselbe Verfahren, dasSokolnikoff [1] für die Auffindung des Biegungszentrums eines halbkreisförmigen Balkens verwendete.

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Nomenclature x, y, z rectangular co-ordinates - l, m, n direction cosines of outward drawn normal - _x , _y , _z normal components of stress parallel tox, y, z axes - _xy , _yz , _zx shearing stress components in rectangular co-ordinates - u, v, w components of displacement - T (x, y) stress function in rectangular coordinates - Poisson's ratio - shear modulus - _yz , _zx , _xy shearing strain components in rectangular coordinates     

Reguläre Graphen beliebigen Grades mit vorgegebenen Eigenschaften

Zusammenfassung der Sätze 2, 3, 11 und 16 das Hauptresultat dieser Arbeit formulieren:Satz 17. Wenn eine endliche Gruppe und zwei natürliche Zahlen n und so vorgegeben sind, daß 3n< und 2n ist, dann gibt es stets eine unendliche Menge endlicher und eine nicht abzählbare Menge unendlicher regulärer Graphen X vom Grade n(X)=n mit der Farbenzahl (X)= und einer AutomorphismengruppeG(X). Da die Graphen, von denen wir bei der Konstruktion ausgegangen sind, für frei von Fixpunkten und Fixkanten waren, ist im Lichte der verwendeten Substitutionstechnik leicht einzusehen, daß auch die neu erhaltenen Graphen diese Eigenschaften haben müssen. Denn zu jeder Kante eines neuen Graphen, die aus einer Kante des alten Graphen hervorgegangen ist, gibt es wegen der Fixkantenfreiheit des alten ein Element der Gruppe, das diese Kante verändert. Jene Knotenpunkte und Kanten aber, die aus den Knotenpunkten des alten Graphen hervorgehen, können nicht invariant sein, weil der alte Graph keine Fixpunkte hatte. Zum Schluß sei noch vermerkt, daß die konstruierten Graphen zusammenhängend sind und weder Einecke noch Zweiecke enthalten.     

On second sound in materials with memory

Zusammenfassung Vor kurzem haben Gurtin und Pipkin eine allgemeine nichtlineare Theorie der Wärmeleitung entwickelt, die vollständig mit den Gesetzen der Thermodynamik vereinbar ist und in welcher Wärmestörungen sich mit endlicher Geschwindigkeit ausbreiten. Wir erweitern hier diese Theorie auf verformbare Körper.Zuerst beschreiben wir die Einschränkungen, die die Gesetze der Thermodynamik den stoffgleichungen auferlegen. Dann wenden wir uns dem Studium der Wellenfortpflanzung in diesen Stoffen zu und zeigen, dass zwei Fortpflanzungsgeschwindigkeiten für Beschleunigungswellen existieren: Die erste Schallgeschwindigkeit hat mechanischen Charakter und liegt in der Nähe der isothermen und isentropen Schallgeschwindigkeit. Die zweite Schallgeschwindigkeit ist mit einer hauptsächlich thermalen Welle verbunden.     

Uniquely Covered Radical Classes of ℓ-Groups

It is proved that a radical class of lattice-ordered groups has exactly one cover if and only if it is an intersection of some -complement radical class and the big atom over .