一个羣論問題(Ⅱ)

<正> §1.引言 在“一个羣諭問題(Ⅰ)”中作者用一个簡单的方法証明了下面的一个定理.令ρ_(j/2)是轉动羣O(3)的一个首权为j/2a,j是整数,a是素根的一个不可约表示.ρ_(j/2)(O(3))U(j+1),其中U(j+1),表j+1維的么模酉羣.任一綫性羣G,以φ表示G的恆等表示,如合于条件     

量子力学中的一个群论问题(Ⅰ)

<正> §1.引言1.严志达在[1],[2]中证明了下列二个定理:定理1.令 ρj 是转动群 O(3)的一个支配权为(1/2)α,j 是整数,α 是 O(3)的素根的一个不可约线性表示 ρj(O(3))(?)U(j+1),其中 U(j+1)表 j+1维的么模酉群.任一线性群 G,以φ表 G 的恒等表示,如合于条件     

ON THE DIOPHANTINE EQUATION X4-Dy2=1(II)

For the Diophantine equation x^4 — Dy^2 = 1 (1) where D>0 and is not a perfect square, we prove the following theorems in this paper. Theorem 1. If D\[{\not \equiv }\]7 (mod 8)，D=p1p2...ps，s≥2，where pi（i = 1，…，s) are distincyt primes，p1≡1(mod 4) such that either 2p1=a^2+b^2，а≡\[ \pm \]3(mod 8)，b三\[ \pm \]3(mod 8) or there is a j(2≤j≤s), for which Legendre symbal \[\left( {\frac{{{p_j}}}{{{p_1}}}} \right) = - 1\],and pi≡7(mod8) (i=2,..., s) or pi≡3(mod 8) (i=2,..., s), then (1) has no solutions in positive integer x,y. Theorem 2. If D=p1...ps,s≥2, where pi（i = 1，…，s) are distinct primes, and pi≡3(mod 4)（i = 1，…，s), then (1) has no solutions in positive integer x, y. Theorem 3. The equation (1) with D=2p1...ps has no solutions in positive integer x, y, if (1) p1≡(mod 4), pi≡7(mod 8) (i = 2, ???, s), snch that either 2p1 = a^2+b^2 a≡\[ \pm \]3(mod 8)，b≡\[ \pm \]3(mod 8)or there is a j (2≤j≤s)，for which \[\left( {\frac{{{p_j}}}{{{p_1}}}} \right) = - 1\]; or (2) p1≡5(mod8),pi≡3(mod8) (i = 2,..., s)； or ⑶p1≡5(mod8)，pi≡7(mod 8) (i=2，…，s). Corollary of theorem 3. If D = 2pq, p≡5(mod 8), q≡3(mod 4), where p, q are distinct primes, then (1) has no solutions in positive integer x, y. Theorem 4. If D=2p1...ps, pi≡3(mod 4)(0 = 1,...,s), then (1) has no solutions In positive integer x, y.     

数学问题解答

20 0 0年 6月号问题解答(解答由问题提供人给出 )1 2 56　求 77 7　 (n个 7,n≥ 3)的末四位数 .解　∵ 74≡ 1 (mod1 0 0 )∴　 74 x ≡ 1 ((mod1 0 0 ) ,x∈ N又　 7≡ - 1 (mod4) ,故 77≡ (- 1 ) 7≡- 1 (mod4) .因而 77 7　 (n - 1个 7,n - 1≥ 2 )≡- 1 (mod4) .所以可设77 7　 (n - 1个 7,n - 1≥ 2 ) =4x 3,x∈N∴　 77 7≡ 74 x 3≡ 73≡ 43(mod1 0 0 )于是可设 77 7　 (n个 7,n≥ 3) =710 0 m 4 3,m∈ N (1 )而　 74 ≡ 2 4 0 1 (mod1 0 0 0 0 )∴　 78≡ 480 1 (mod1 0 0 0 0 )716≡ 960 1 (mod1 0 0 0 0 )732 ≡ 92 0 1 (mod1…     

新的素数检测方法

提出了一个快速而简单的素数检测方法,它的时间复杂性为O(log^(3+ε)N)这里0<ε≤1,空间复杂性为O(logN),N≡3(mod 4)时,时间复杂性为O(log(3+ε)N)这里0<ε≤1,空间复杂性为O(logN),N≡3(mod 4)时,时间复杂性为O(log^(2+ε)N),是迄今为止最快的多项式算法.     

代数数域中的均值定理

设 K 是 n 次代数数域.令Ψ(x,u,η)=(?)∧(b),其中 u～b mod η(?)α、β∈Z_k,α≡β(modη),α(?)0,β(?)0,(α,η)=(β,η)=1,(α)u=(β)b、h(η)表等价类 modη的类数,T(η)=(U∶U＇),其中 U 表示域 K 中全体单位所成的群,U＇={ε|ε∈U,ε(?)0,ε≡1(modη}.我们证明了下述定理:对于任一正常数 A,存在一正常数 B=B(A)>0,当 Q=x~(1/(n+1))(log x)~(-B),x≥1时有sum from Nη≤Q(?)1/(T(η))|ψ(z,u,η)-z/(h(η))|(?)x/(log~Ax).     

一个素数和两个素数的平方和问题

本文证明了最多有O(N13/30+ε)个例外之外,所有的正的奇整数n≤N,n≡0或1(mod 3)能表示成一个素数和两个素数的平方和.     

Arithmetic properties of overpartition triples

Let p_3(n) be the number of overpartition triples of n. By elementary series manipulations,we establish some congruences for p_3(n) modulo small powers of 2, such as p_3(16 n + 14) ≡ 0(mod 32), p_3(8 n + 7) ≡ 0(mod 64).We also find many arithmetic properties for p_3(n) modulo 7, 9 and 11, involving the following infinite families of Ramanujan-type congruences: for any integers α≥ 1 and n ≥ 0, we have p_3 (3~(2α+1)(3n + 2))≡ 0(mod 9 · 2~4), p_3(4~(α-1)(56 n + 49)) ≡ 0(mod 7),p_3 (7~(2α+1)(7 n + 3))≡ p_3 (7~(2α+1)(7 n + 5))≡ p_3 (7~(2α+1)(7 n + 6))≡ 0(mod 7),and for r ∈ {1, 2, 3, 4, 5, 6},p_3(11 · 7~(4α-1)(7 n + r)≡ 0(mod 11).     

一个未解决问题——46阶C-矩阵的存在性

一个C-矩阵是一个n阶方阵C,其对角元素为0和其余元素为+1或-1,使得 CC~T=(n-1)I。 已知C-矩阵存在的必要条件是:对对称C-矩阵,n≡2(mod4)和n-1=a~2+b~2,其中a和b为整数;对斜对称C-矩阵,n=2或n≡0(mod4)。 C-矩阵是Belevitch在研究会议电话(Conference telephony)网络的构造中提出来的,对称情形叫做会议矩阵。对一个斜对称C-矩阵C,矩阵H=C+I是一个斜对称Hadamard矩阵。从Paley,Goethals-Seidel和Delsarte-Goethals-Seidel知,对     

On K_(1,k)-factorization of bipartite multigraphs

A K1,k-factorization of λKm,n is a set of edge-disjoint K1,k-factors of λKm,n,which partition the set of edges of λKm,n.In this paper,it is proved that a sufficient condition for the existence of K1,k-factorization of λKm,n,whenever k is any positive integer,is that(1) m ≤ kn,(2) n ≤ km,(3) km-n ≡ kn-m ≡ 0(mod(k2-1)) and(4) λ(km-n)(kn-m) ≡ 0(mod k(k -1)(k2 -1)(m n)).     

一类高阶线性微分方程解的增长性

本文讨论一类一般的齐次和非齐次高阶线性微分方程解的增长性,证明了当整函数F,A_j,D_j和s≥1次多项式P_j(z)(j=0,1,…,k-1)满足某些条件时,方程(其中k≥2),f~(k) (A_(k-1)(z)e~(P_(k-1)(z)) D_(k-1)(z))f~((k-1)) … (A_0(z)e~(P_0(z)) D_0(z))f=F当F≡0时,所有非零解具无穷级；当F≠0时,至多除去一个有限级解f_0外,其余所有解均满足■(f)=λ(f)=σ(f)=∞且σ_2(f)≤max{s,σ(F)},从而推广了M．Frei,M．Ozawa,G．Gundersen,J．K．Langley,陈宗煊,李纯红等人的结果。     

完备图分拆为带一条弦的(2k-1)-长圈

本文给出了构造G-设计的一个统一方法及当v≡1(mod 4k)时的C_(2k-1)~((r))-GD(v)的存在性,其中C_(10)~((r)),1≤r≤k-2表示带一条弦的2k-1长圈,r表示弦两个端点间的顶点个数。     

一位名师一道题

分析与解　这是一个操作型问题 ,而且操作的模式不同 ,每一步操作有多种选择 ,在处理这类问题时 ,应该抽出各操作之间的相同点 ,建立一个在操作过程中的不变量 .我们给不同颜色的球赋值 (这是寻找操作不变量时常用的方法 ) ,设每个白球、绿球、红球的分值分别为 1 ,2 ,3 .考虑盒子中所有球的分值的总和F ,则F的值在模 4的意义下 ,每次操作结果不变 .(a)注意到 ,最初F =2 0 0 0≡ 0(mod 4) ,于是 ,设最后剩下的 3个球中白、绿、红球数分别为x、y、z,则　x + y +z=3 ,且　x + 2 y+ 3z≡ 0 (mod 4) .所以　y+ 2z≡ 1 (mod 4) ,从而　y≠ 0 (…     

P 3-factorization of complete multipartite graphs

In this note it is shown that a necessary and sufficient condition for the existence of a P3-factorizatlon of complete multipartite graph λK, is (1) m≥3, (2) mn≡0(mod 3) and (3)λ(m-1)n≡0(mod 4).     

圈的多重联图的邻点可区别E-全染色的一些结果

记χ_(at)~e(C_n_i)为n_i阶的圈C_n_i的邻点可区别E-全色数.若n_i≡0(mod 2)(i=1,2,3…,t),则χ_(at)~e(C_n_1+C_n_2+…+C_n_t)=2t;若n_i≡0(mod 2)(i=1,2,3…,r,l相似文献   

计算星期几的一个公式

本文依据同分理论和容斤原理，建立起计算星期几的一个公式1预备知识（1）年份为4的倍数但非100的倍数的那年为闰年，年份为400的倍数的那年为闰年（2）平年一年的总天数为365天，闰年二月29天（3）1至n中a的倍数的数有个，a∈N，[x]为x的整数部分（4）365≡1（mod7），29≡1（mod7）2计算公式Si．j．k≡（i－1）（r为整数，0≤r≤6）式中Si．j．k表示从公元元年1日至所求之日的总天数，i、J、k分别表示所求之日对应的年、月、日，Ni．j．k表示i年元月1日至k日的总天数3公式推导因为100的倍数的数包含在4的倍数的数之中，而400的倍数的数…     

On a variant of Giuga numbers

In this paper, we characterize the odd positive integers n satisfying the congruence∑n -1 j=1 j n-1/2 ≡ 0 (mod n). We show that the set of such positive integers has an asymptotic density which turns out to be slightly larger than 3/8.     

Incomplete group divisible designs with block size four and general index

In this paper, we investigate the existence of incomplete group divisible designs (IGDDs) with block size four, group-type (g, h) u and general index λ. The necessary conditions for the existence of such a design are that u ≥ 4, g ≥ 3h, λg(u 1) ≡ 0 (mod 3), λ(g h)(u 1) ≡ 0 (mod 3), and λu(u 1)(g 2 h 2 ) ≡ 0 (mod 12). These necessary conditions are shown to be sufficient for all λ≥ 2. The known existence result for λ = 1 is also improved.     

关于线性羣自同构的一个証明

<正> 設K是体,n是>1的整数.以GL_n(K)表K上n阶一般綫性羣,即K上所有n×n可逆矩陣所組成的羣.以SL_n(K)表K上n阶特殊綫性羣,即由GL_n(K)中一切形为T_(ij)(λ)=I+λE_(ij)(其中λ∈K,λ≠0,E_(ij)为(i,j)位置是1而其余位置都是0的n×n矩陣,i≠j,1≤i,j≤n)的矩陣所生成之羣.除开n=2而K的特征数=0这一情形之外,决定SL_n(K)的自同构的問題已全部解决,其中n=4而K的特征数=2这一情形是由华罗庚教授和作者在[3]中§§4—5所研究的.但在[3]的討論中有两个錯誤,其一是关于乘积的阶为3的一对1-对合的标准形的定理3的証明是錯誤的,其二是在     

关于补差集与Hadamard矩阵

本文着重讨论了H型补差集,主要结果是: (1) 证明了存在2~i·10~j 18~k·26~r·50~s·82~t阶H型2-补差集;其中i,j,k,r,s,t,为任意非负整数; (2) 给出了71阶和73的H型4-补差集; (3) 定义了v阶Abel群上的C划分, 给出了v=37和61时的C划分,指出了v∈S=S_2∪S_1∪S_3时存在C划分,其中 S_1={2k+1:O≤k≤16}∪{59} S_2={2~i·lO~j·26~k+1:i, j, k为任意非负整数}, S_3={37,61}: (4) 指出了当v′∈S,u∈W=W_1∪W_2∪W_3时,存在v′v阶H型4-补差集,其中 W_1={3~n:n≥1}, W_2={2k+1:0≤k≤14}∪{37,43}, W_3={n:2n-1≡1(mod4)是一素数的方幂}; (5) 利用C划分和[3]的一个结果证明了,当m∈S,n∈W_3时,存在2mn~r(n+1)阶H阵(r≥O); (6) 最后还证明,当在同一个u≡3(mod4)阶Abel群上存在{u;k;λz}差集和{u;1/2(u-1);1/4(u-3)}差集时,且存在v+l=u+1-4(k-λ)阶skew type H阵,则存在uv~r(v+1)阶H阵(r≥O).