等差数列的又一个性质

结论　已知数列 {ａｎ}与 {ｂｎ}是两个公差均不为零的等差数列 ,如果ａｋ1=ｂｌ1=ｃ1,ａｋ2 =ｂｌ2 =ｃ2 ,其中ｋ1,ｋ2 ,ｌ1,ｌ2 ∈Ｎ ,且ｋ1<ｋ2 ,ｌ1<ｌ2 ,那么等差数列ｃ1,ｃ2 ,…中的各项一定是数列 {ａｎ}与 {ｂｎ}的公共项 .证　设数列 {ａｎ}与 {ｂｎ}的公差分别是ｄＡ 与ｄＢ,且ｄＡ≠ 0 ,ｄＢ≠ 0 .等差数列ｃ1,ｃ2 ,…中的第ｎ项可表示为ｃｎ=ｃ1+ (ｎ - 1 ) (ｃ2-ｃ1) ,ｎ∈Ｎ .下面证明ｃｎ 是数列 {ａｎ}中的某一项 .数列 {ａｎ}的通项公式是ａｎ=ａ1+ (ｎ -1 )ｄＡ,令ａ1+ (ｘ - 1 )ｄＡ=ｃｎ=ｃ1+ (ｎ - 1 ) (ｃ2 -ｃ1)=ａ…     

数列中的充要条件

充要条件是高中数学的一个重要概念 ,很多知识可以和它相联系 ,数列也不例外 .现总结一下 ,供同学们学习数列时参考 .命题 1　数列 {ａｎ}为等差数列的充要条件是它的通项公式为ａｎ=ａ·ｎ ｂ (ａ ,ｂ为常数 ,ｎ∈Ｎ ) .命题 2　已知数列 {ａｎ} ,Ｓｎ 为其前ｎ项和 ,则数列为等差数列的充要条件是Ｓｎ=ａｎ2 ｂｎ (ａ ,ｂ为常数 ,ｎ∈Ｎ ) .命题 3　数列 {ａｎ}为等差数列的充要条件是2ａｎ=ａｎ 1 ａｎ - 1(ｎ∈Ｎ 且ｎ≥ 2 ) .命题 4　三数ａ ,ｂ ,ｃ成等差数列的充要条件是ｂ =ａ ｃ2 .命题 5　已知数列 {ａｎ}的前ｎ项和Ｓｎ=…     

一元二次方程与一类高次方程之间的有趣结论的推广

文 [1]介绍了一元二次方程与一类高次方程之间的有趣结论。本文将该结论作出推广 .为了方便 ,首先抄录文 [1]的结论 :“定理　若ｘ0 是方程ｘ2 -ｂｘ -ｃ =0的根 ,则ｘ0 也一定是方程ｘｎ-ａｎ 1 ｘ -ａｎｃ =0的根 (其中ａｎ,ａｎ 1 是数列 {ａｎ}中的第ｎ项和第ｎ 1项 ,数列{ａｎ}满足递推关系ａｎ 1 =ｂａｎ ｃａｎ-1 ,ａ1 =0 ,ａ2 =1,ｎ∈Ｎ ,ｎ≥ 2 ) .”上述定理的推广如下 :定理 1　若ｘ0 是方程ｘ2 -ｂｘ -ｃ =0的根 ,则ｘ0 必是方程ｘｎ-ａ2 ｎ 1 ｘ -ａ2 ｎｃ=0的根 ,其中ａｎ 和ａｎ 1 是数列 {ａｎ}中的第ｎ项和第…     

课外练习

高一年级1 .设ｘ ,ｙ为实数 ,且满足 (ｘ - 1 ) 3 + 2 0 0 3 (ｘ - 1 ) + 1 =0 ,(ｙ- 1 ) 3 + 2 0 0 3 (ｙ- 1 ) - 1 =0 .求ｘ + ｙ的值 .2 .已知锐角α ,β满足 ｓｉｎαｃｏｓβ2 0 0 2 + ｓｉｎβｃｏｓα2 0 0 2 =2 .求ｓｉｎ2 0 0 2 (α + β)的值 .3 .过正方形ＡＢＣＤ的顶点Ａ作ＰＡ⊥平面ＡＢＣＤ .设ＰＡ =ＡＢ =ａ .求平面ＰＡＢ与平面ＰＣＤ所成二面角的大小 .高二年级1 .设数列 { 1ｎ}的前ｎ项和为Ｓｎ,是否存在数列 {ａｎ}使得等式Ｓ1 +Ｓ2 +… +Ｓｎ - 1 =ａｎ(Ｓｎ- 1 )对ｎ≥2的一切自然数都成立 ,并证明你的结论 .2 .ＡＢ…     

一元二次方程与一类高次方程之间的有趣结论

.定理　若ｘ0 是方程ｘ2 -ｂｘ -ｃ =0的根 ,则ｘ0 也一定是方程ｘｎ-ａｎ 1ｘ -ａｎｃ =0的根 (其中ａｎ,ａｎ 1是数列 {ａｎ}中的第ｎ项和第ｎ 1项 ,数列 {ａｎ}满足递推关系ａｎ 1=ｂａｎ ｃａｎ -1,ａ1=0 ,ａ2 =1 ,ｎ∈Ｎ ,ｎ≥ 2 ) .证　 1 )当ｎ =2时 ,由题意知ａ1=0 ,ａ2=1 ,ａ3 =ｂａ2 ｃａ1=ｂ .从而方程ｘｎ-ａｎ 1ｘ-ａｎｃ =0即为ｘ2 -ｂｘ -ｃ=0 .显然方程ｘ2 -ｂｘ -ｃ=0的根ｘ0 也是ｘｎ-ａｎ 1ｘ -ａｎｃ =0的根 .所以 ,当ｎ =2时命题成立 .2 )假设当ｎ =ｋ (ｋ∈Ｎ ,ｋ≥ 2 )时命题成立 .即方程ｘ2 -ｂｘ -ｃ =0的…     

用一个数列题的求解来看此题的设计

1　一个数列例题例题　在数列 {ａｎ}中 ,Ｓｎ 1 =4ａｎ 2 ,ａ1 =1 .(ｎ∈Ｎ)(1 )设ｂｎ =ａｎ 1 - 2ａｎ,求证 :数列 {ｂｎ}是等比数列 .(2 )设ｃｎ =ａｎ2 ｎ,求证 :数列 {ｃｎ}是等差数列 .(3 )求数列 {ａｎ}的通项公式及前ｎ项和公式 .如果按部就班地做 ,这道题并不难 .但是若抛开 (1 )、(2 )问直接解答 (3 )就需要坚实的数列基础知识 ,分析如下 :解　由Ｓｎ 1 =4ａｎ 2　　① ,知Ｓｎ 2 =4ａｎ 1 2②② -①得 :Ｓｎ 2 -Ｓｎ 1 =4(ａｎ 1 -ａｎ)即 :　　　ａｎ 2 =4(ａｎ 1 -ａｎ)转化为已知首项ａ1 =1及连续三项的递推关系式 ,求ａｎ …     

孝感市2001—2002学年度高三年级第一次统一考试——数学

第Ⅰ卷(选择题　共 60分 )　　选择题 :本大题共 12小题 ,每小题 5分 ,共 6 0分 .在每小题给出的四个选项中 ,只有一项是符合题目要求的 .1.已知集合Ｍ ={ 1,2 } ,则满足Ｍ∪Ｎ ={ 0 ,1,2 }的集合Ｎ的个数是 (　　 )(Ａ) 2 .　　 (Ｂ) 3.　　 (Ｃ) 4.　　 (Ｄ) 8.2 .已知数列 {ａｎ}满足ａｎ + 1=ａｎ- 1(ｎ∈Ｎ) ,且ａ9=9,则ａ1+ａ5+ａ10 +ａ2 0 =(　　 )(Ａ) 18.　 (Ｂ) 36 .　 (Ｃ) 45 .(Ｄ)不能确定 .3.函数 ｙ=4ｓｉｎ 3ｘ + π4 + 3ｃｏｓ 3ｘ + π4 的最小正周期是 (　　 )(Ａ) 6π .　 (Ｂ) 23π .　 (Ｃ) 2π .　 (Ｄ) π3.4 .设ａ…     

运用数列极限运算法则解题的两点注意

数列极限运算法则 ,是中学生求数列极限的基础 .为了更好地掌握求数列极限的方法 ,学生在运用此法则时应注意以下两点 .1)如果ｌｉｍｎ→∞ ａｎ=Ａ .ｌｉｍｎ→∞ ｂｎ=Ｂ ,那么ｌｉｍｎ→∞(ａｎ±ｂｎ) =Ａ±Ｂ .此法则只适用于求有穷数列的极限 ,不能用于求无穷数列的极限 .例 1　ｌｉｍｎ→∞(1ｎ2 1 2ｎ2 1 … 30ｎ2 1) .分析 :此题为有穷数列求极限 ,故可直接运用极限运算的加法法则 .解　ｌｉｍｎ→∞(1ｎ2 1 2ｎ2 1 … 30ｎ2 1)　 =ｌｉｍｎ→∞1ｎ2 1 ｌｉｍｎ→∞2ｎ2 1 … ｌｉｍｎ→∞30ｎ2 1　 =0 0 … 0　 =0…     

用函数思想解数列问题

数列的实质是函数,用函数思想解数列问题能够加深对数列概念及公式的理解,加强知识点间的联系,增强化归能力.1　利用一次函数性质例1　设ｓｎ为等差数列{ａｎ}的前ｎ项和,求证:ｓｍ ｎｍ ｎ=ｓｍ-ｓｎｍ-ｎ.证　设{ａｎ}公差为ｄ,则ｓｎ=ｎａ1 ｎ(ｎ-1)2ｄ.∴ｓｎｎ=ｄ2ｎ...     

数列解题中常见错例评析

在有关数列问题求解中 ,由于概念不清、性质不明、公式不分等原因 ,部分同学解题时经常出现错误 .本文拟举例说明 .例 1　已知数列 {ａｎ}的通项公式为ａｎ=3ｎ - 4 ,求证数列 {ａｎ}是等差数列 .错证 :∵ａｎ=3ｎ - 4 ,∴ａ1=3- 4 =- 1 ,ａ2 =2 ,ａ3=5,ａ4=8,则ａ2 -ａ1=ａ3-ａ2 =ａ4-ａ3=3,∴数列 {ａｎ}是等差数列 .评析　证明过程不能用特殊的几项来代替全部 ,而应紧扣定义 :从第二项起 ,是“每”一项与前一项的差为常数 .故可通过通项公式 ,判断 (ａｎ 1-ａｎ)是否为常数来证明 .正确证明　∵ａｎ=3ｎ - 4 ,∴ａｎ 1=3ｎ - 1 ,则当ｎ…     

一阶二次递归数列的部分结论

在数列 {ａｎ}中 ,若已知ａ1,且满足　　ａｎ +1=ｐａ2 ｎ+ ｑａｎ+ｒ (1)其中 ｐ ,ｑ ,ｒ为常数 ,ｐ≠ 0 ,则数列 {ａｎ}叫做常系数一阶二次递归数列 ,(1)式叫做该数列的递归方程 .1　当 ｑ =ｒ =0时 ,递归方程为　　　ａｎ +1=ｐａ2 ｎ (2 )结论 1　满足 (2 )式的列 {ａｎ}的通项公式为ａｎ=1ｐ(ｐａ1) 2ｎ - 1.此结论用数学归纳法易得 ,证明从略 .2　当 ｑ =0 ,ｒ≠ 0时 ,递归方程为　　　ａｎ +1=ｐａ2 ｎ+ｒ (3)若 ｐ =1,ｒ =- 2 ,递归方程为　　　ａｎ +1=ａ2 ｎ- 2 (4)结论 2　数列 {ａｎ}若满足递归方程 (4) ,则令ａ1=ｍ + 1ｍ,可得…     

综合题新编选登

题 4 9　 设数列 {ａｎ}为等差数列 ,且ａｎ<ａｎ + 1,前 6项的平方和为 70 ,立方和为0 .1 )求 {ａｎ}的通项ａｎ;2 )在平面直角坐标系内 ,直线ｌｎ 的斜率为ａｎ,且与曲线 ｙ =ｘ2 相切 ,与 ｙ轴交于Ｂｎ,记ｂｎ=|Ｂｎ + 1Ｂｎ| ,求ｂｎ;3)对于 2 )中数列 {ｂｎ},求证 :ｓｉｎｂ1+ｓｉｎｂ2 +… +ｓｉｎｂｎ <32 .解　 1 )依题意 ,有 :ａ21+ａ22 +ａ23 +ａ24+ａ25 +ａ26=70 ,ａ3 1+ａ3 2 +ａ3 3 +ａ3 4+ａ3 5 +ａ3 6=0 .∵ {ａｎ}为等差数列 ,∴ａ1+ａ6=ａ2 +ａ5 =ａ3 +ａ4.若ａ1+ａ6>0 ,得到 :ａ3 1+ａ3 6=(ａ1+ａ6) (ａ21+ａ1ａ6+ａ26)>0…     

一道竞赛试题的推广

20 0 2年《通讯杯》高中数学综合应用能力竞赛试题中的第 1 5题是这样的 :设数列 {ａｎ}是一个公差不为零的等差数列 ,ａ5 =6 .1 )当ａ3 =3时 ,请在数列 {ａｎ}中找一项ａｍ,ｍ >5,使得ａ3 ,ａ5 ,ａｍ 成等比数列 ;2 )当ａ3 =2时 ,若自然数ｎ1,ｎ2 ,… ,ｎｔ,… ,满足 5<ｎ1<ｎ2 <… <ｎｔ<… ,且ａ3 ,ａ5 ,ａｎ1,ａｎ2 ,… ,ａｎｔ,…是等比数列 ,求ｎｔ.3)如果存在自然数ｎ1,ｎ2 ,… ,ｎｔ,…满足 5<ｎ1<ｎ2 <… <ｎｔ<… ,使得ａ3 ,ａ5 ,ａｎ1,ａｎ2 ,… ,ａｎｔ,…构成一个等比数列 ,求证整数ａ3 必为 1 2的正约数 .这是一道很好的考题 …     

数列

选择题1　数列 1,0 ,1,0 ,…的一个通项公式是 (　　 )(Ａ)ａｎ=1- (- 1) ｎ 12 .(Ｂ)ａｎ=1 (- 1) ｎ 12 .(Ｃ)ａｎ=(- 1) ｎ- 12 .　 (Ｄ)ａｎ=- 1- (- 1) ｎ2 .2　ａｃ =ｂ2 是ａ ,ｂ,ｃ成等比数列的 (　　 )(Ａ)充分不必要条件 .(Ｂ)必要不充分条件 .(Ｃ)充要条件 .(Ｄ)既非充分也非必要条件 .3　在等差数列 {ａｎ}中 ,Ｓ15=15 0 ,则ａ8为 (　　 )(Ａ) 10 .　 (Ｂ) 12 .　 (Ｃ) 15 .　 (Ｄ) 16 .4　在等比数列中 ,ａｍ ｎ=Ａ ,ａｍ -ｎ=Ｂ ,则ａｍ 等于(　　 )(Ａ)ＡＢ .　　　　 (Ｂ)±ＡＢ .(Ｃ)Ａ Ｂ . (Ｄ) Ａ Ｂ2 .5　若数…     

保加利亚教育科学部第50届数学奥林匹克试题(待续)

1　已知数列 {ａｎ}适合ａ0 =4 ,ａ1=2 2 ,且ａｎ- 6ａｎ - 1 ａｎ - 2 =0 (ｎ≥ 2 ) ,证明 :存在两个正整数数列 {ｘｎ}和 { ｙｎ}满足ａｎ=ｙ2 ｎ 7ｘｎ- ｙｎ(ｎ≥ 0 ) .解　 [方法 1]由特征方程ｘ2 - 6ｘ 1=0 ,求其特征根为 3± 2 2 ,应用待定系数法 ,求其通项公式ａｎ=8 5 24 (3 2 2 ) ｎ 8- 5 24 (3- 2 2 ) ｎ(ｎ≥ 0 ) .取 ｙ0 =1,ｙ1=9,ｙｎ=6 ｙｎ - 1- ｙｎ - 2 (ｎ≥ 2 ) .用求ａｎ 同样的方法可求得ｙｎ=2 324 (3 2 2 ) ｎ 2 - 324 (3- 2 2 ) ｎ(ｎ≥ 0 ) .令ａ- 1=2 ,则 ｙ20 7=8=ａ- 1ａ0 且可证ｙ2 ｎ 7=ａｎ -…     

作者·读者·编者

辽宁省大连市 112中学车延文 ,尹向阳读者来信指出 :《数学通报》2 0 0 0年 5月号问题 12 51的解答有不妥之处 .因为数 4 / 9ａ2 ｎ-8和 2 4ａｎ/ ( 9ａ2 ｎ-8)不是两个无关的数 .数 4 / 9ａ2 ｎ-8是数列 {4 / 9ａ2 ｎ-8}的第ｎ项 .利用关系ａｎ 1 =12 ａｎ 49ａｎ,易知 4 / 9ａ2 ｎ 1 -8=2 4ａｎ/ ( 9ａ2 ｎ -8) .因此 2 4ａｎ/ ( 9ａ2 ｎ -8)是数列 {4 /9ａ2 ｎ-8}的第ｎ 1项 .所以用数学归纳法来说明这两个数均为自然数时 ,仅验证ｎ =1时 .结论成立就不够了 .必须验证ｎ =1,及ｎ =2时结论成立 ,整个证明的叙述应改为如下 :令Ａｎ=4 / …     

2001春季高考(理工类)第20题的别解

200 1年北京市、内蒙古自治区、安徽省春季高考 (2 0 )题是 :在 1与 2之间插入ｎ个正数ａ1,ａ2 ,ａ3,… ,ａｎ,使这ｎ 2个数成等比数列 ;又在 1与 2之间插入ｎ个正数ｂ1,ｂ2 ,ｂ3,… ,ｂｎ,使这ｎ 2个数成等差数列 .记Ａｎ=ａ1ａ2 ａ3…ａｎ,Ｂｎ=ｂ1 ｂ2 ｂ3 … ｂｎ.1 )求数列 {Ａｎ}和 {Ｂｎ}的通项 ;2 )当ｎ≥ 7时 ,比较Ａｎ 与Ｂｎ 的大小 ,并证明你的结论 .下面 ,本文给出一种有别于参考答案的解答 .解　 1 )　设等比数列的公比为 ｑ ,等差数列的公差为ｄ ,则据题意得ａｎ=ｑｎ 1=2 ,ｂｎ=1 (ｎ 1 )ｄ =2 ,即 ｑｎ 1=2 ,(ｎ …     

数列极限、数学归纳法

选择题1　下列命题正确的是 (　　 )(Ａ)若ｌｉｍｎ→∞ ａｎ=α ,则ｌｉｍｎ→∞ａ2 ｎ=α2 .(Ｂ)若ｌｉｍｎ→∞ ａ2 ｎ=α2 ,则ｌｉｍｎ→∞ａｎ=±α.(Ｃ)若ｌｉｍｎ→∞ ａｎ=α ,ｌｉｍｎ→∞ ｂｎ=β,则ｌｉｍｎ→∞(ａｎｂｎ) =αβ .(Ｄ)若ｌｉｍｎ→∞ ａｎ=∞ ,ｌｉｍｎ→∞ ｂｎ=0 ,则ｌｉｍｎ→∞ ａｎ·ｂｎ=0 .2　若 |ａ 2 | 2ｂ - 1=0 ,ａ ,ｂ∈Ｒ ,则无穷等比数列ａｂ ,ｂ ,ｂａ ,…的各项和为 (　　 )(Ａ) - 2 .　 (Ｂ) - 23.　 (Ｃ) 34 .　 (Ｄ) 2 .3　若ｌｉｍｎ→∞[12 - (ｒ1 ｒ) ｎ]=12 ,则ｒ的取值范围是(　　 )(…     

由几种典型的递推式构造新数列求通项的方法

已知数列的递推式求其通项公式的方法一般有三种 :“归纳、猜想、证明”、“错位相消 (约 )法”以及构造法 .本文将针对六种最典型的递推式 ,谈谈构造新数列求数列的通项公式的方法 .类型 1　ａｎ +1=ｑａｎ+Ｐｋｎｋ+Ｐｋ - 1ｎｋ- 1+… +Ｐ1ｎ +Ｐ0 (ｑ≠ 0 ,1,ｋ∈Ｎ) .例 1　数列 {ａｎ}中 ,ａ1=1,ａｎ +1=2ａｎ+ 3,求ａｎ.解　令ａｎ +1+ｘ =2 (ａｎ+ｘ) ,可得ｘ =3,故ａｎ+1+ 3=2 (ａｎ+ 3) .又ａ1+ 3=4 ,可见 ,数列 {ａｎ+ 3}是首项为 4 ,以 2为公比的等比数列 ,从而 ,ａｎ+ 3=4·2 ｎ - 1,得ａｎ=2 ｎ +1- 3.例 2　数列 {ａｎ}中 ,…     

二次齐次式的变形

形如ａｘ~2 +ｂｘｙ +ｃｙ~2 (ａ ,ｂ ,ｃ是常数 )的式子叫做二次齐次式 ,在确定 ｙ≠ 0的情况下 ,可变形为 ｙ2 [ａ( ｘｙ) 2 +ｂ( ｘｙ) +ｃ] .若是二次齐次方程或不等式 ,此变形的结果为关于 ｘｙ的一元二次方程或不等式 ,这种变形往往对问题的解答十分有利 .1 .数列中的二次齐次式例 1　设数列 {ａｎ}是首项为 1的正项数列 ,且 (ｎ + 1 )ａ2 ｎ + 1 -ｎａ2 ｎ+ａｎａｎ + 1 =0 (ｎ =1 ,2 ,3,… ) ,则它的通项公式是ａｎ=.分析　已知等式是关于ａｎ,ａｎ + 1 的二次齐次式 ,因为ａｎ>0 ,两边同除以ａ2 ｎ 得 (ｎ + 1 )·( ａｎ + 1ａｎ) …