一道测试题的纯几何证明

题目[1] 设圆O1与圆O2交于两点A、B．点R在圆O1的弧AB上,点T在圆O2的弧AB上（如图1）．AR、BR分别与圆O2交于C、D．AT、BT分别交圆O1于Q、P．     

一道高中联赛题的几种新证法

1题目如图1，已知两个半径不等的圆O1与圆O2相交于M、N两点，且圆O1与圆O2内切于S、T两点，求证：OM上MN的充要条件是S、N、T三点共线（满分50分，命题组供题）这是1997年全国高中联赛第二试中第一大题，命题组为改卷提供的参考答案只有一种证法【’］．其实，平面几何问题，常无定法，从不同角度去思考，往往可以发现多种途径，有的还是很简捷的证法．本文除了给出几种不同于上述参考答案的新证法以外，还用根轴的知识给出了一个最简证法．2充分性证明的简化在证充分性时，需要先证OO．NOZ是平行四边形原证法是利用面OISN，凸OZ…     

一个由两圆位置关系确定的轨迹问题

已知圆O1的半径为r1,圆O2的半径为r2,不妨令r1>r2,当两圆的位置关系不同,动圆M(半径为R)与这两圆相切时,圆心M的轨迹是不同类型的曲线．(1)如图1所示,当已知两圆同心时,若圆M与这两个圆均相切,     

1997年全国高中数学联合竞赛第二试试题及参考答案

1．如图，已知两个半径不相等的圆Q与圆Q相交于M、N两点，且回OI、圆Oz分别与圆O内切于S、T两点．求证：OM上MN的充分必要条件是S、N．7三点共线．（命题组供题〕证明如图，设圆q、圆Q，圆O的半径分别为rl、r。、r．白条件知O、OI、S三点共线及O、OZ、T三点共线，且OS。OT-r，连结OS、OT、SN、--、oM、OIN、OzM、OzN．OIOi．充分性设J、N．T"占其线．则／J一上T．又面＊＊N与西Q人Y"均为等腰三角形，ZS一LOINS，L7"＝fozM"．ZS＝LOzNT，Z7"＝ZOINS．OZN／／OS，OlN／／ffi"，故四边形to；NOz为平行四边形…     

方程x0x＋y0y=r^2表示的轨迹

已知圆O：x^2＋y^2=r^2,点P（x0,y0）． 1．当点P在圆t时,我们知道x0x＋y0y=r^2。为过点P（x0,y0）的圆O的切线方程．     

例谈复习课中分类讨论思想的有效渗透——以“圆”的复习课为例

<正>1 在“点与圆”的位置关系中渗透分类讨论思想例1 若圆O所在的平面内有一点P与圆O上的点的最大距离是m,最小距离是n(m>n),那么圆O的半径是___.师：在同一平面内，点P与一个圆可能存在哪些位置关系?问题中的点P与圆O可能存在哪些位置关系?为什么?生：点与圆的位置关系可能有三种——点在圆内，点在圆上，点在圆外.因为题中并没有指明点P在圆的哪个位置，只是点P与圆O同处一个平面，所以点P与圆O也可能存在点P在圆O内、     

两圆相切的一个有趣性质

<正>性质如图1,若圆O1与圆O2外切于点G.四边形ABCD内接于圆O1,AD、BC分别与圆O2切于点E、F.∠DCF的平分线CK交EF于点K,∠CDE的平分线DL交EF于点L,则(1)点L、K分别是△ADC、△BDC的旁心;(2)AL、BK的交点T在圆O1上,并且L、K、G、T四点共圆;(3)L、K、D、C四点共圆,并且AL、BK的交点T是四边形LKDC的外接圆的圆心.     

一道课本例题的教学潜能挖掘

九年义务教育新教材《几何》第三册第44页有这样一道例题:已知○.O1和○.O2外切于点A,BC是○.O1和○.O2的公切线,B、C为切点,求证:AB⊥AC.图1这是一道直线与圆及圆与圆的位置关系的综合题,目的是复习与巩固上述位置关系的知识点.这也是一道典型例题.我们还可以从多种角度探讨、     

数学问题解答

2013年7月号问题解答 （解答由问题提供人给出） 2031 如图,已知A、B是圆O上的两个定点,P是优弧AB上的动点．圆I与圆O内切于点L,且分别与PA、PB相切于点E、F．求证：直线EF恒与一定圆相切． 证明 连结PI并延长交圆O于点C,且与EF相交于点G．作圆O的直径CD和KL,则KL过点I．连结EI、AC、AD.     

由一道高考题反思解析几何的教学

1问题的提出笔者有幸参加了2005年江苏省的高考阅卷工作,评阅的是第19题,题目如下:如图1,圆O1和圆O2的半径都为1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1和圆O2的切线PM、PN(M、N为切点),使得PM=2 PN.试建立平面直角坐标系,并求动点P的轨迹方程.这是一道公认的好题,它源自课本,体现图1了平面     

对一道"圆"题的探究和拓广

题目 已知圆O:x2+y2=1,直线l1过定点Q(3,0)且与圆O相切. (Ⅰ)求直线l1的方程; (Ⅱ)设圆O与x轴相交于A,B两点,P是圆O上异于A,B的任意一点,过点Q且与x轴垂直的直线为l2,若直线AP交直线l2于点M,直线BP交直线l2于点N,求证:以MN为直径的圆C经过定点,并求出定点坐标.     

不断开发创新 智取线段比值

题目如图1,直线上按顺序有4个点 A、B、C、D,且AB:BC:CD=2:1:3．分别以AC、BD为直径作⊙O1、⊙O2,两圆交于 E、F,求ED:EA的值．该题图形匀称优美,数据生动活泼．     

“圆与方程”一道课本习题的探究

苏教版必修2“2．2圆与方程”习题2．2（1）第10题为： 已知点M（x,y）与两个定点O（0,0）,A（3,0）的距离之比为1/2,那么点M的坐标应满足什么关系？画出满足条件的点M所形成的曲线．     

画图工具走进中考试题

一些常用画图工具三角尺、直尺、量角器等,它们是一些特殊图形,熟知且便于操作．本文将举例分析由画图工具组合的图形问题．一、量角器与三角板组合例1如图1,形如量角器的半圆O的直径DE=12cm,形如三角板的△ABC中,∠ACB=90°,∠ABC=30°,BC=12cm．半圆O以2cm/s的速度从左向右运动,在运动过程中,点D、E始终在直线BC上,设运动     

凹面镜“圆”理

下面是老师在课堂上让我们讨论的一道题目： 已知 O：x^2＋y^2=r^2,P（x0,y0）,判断直线l：x0x＋y0y=r^2与圆 O：x^2＋y^1=r^2,的位置关系．     

一道模拟题的简解及推广

题目如图1,以原点为圆心,t（t〉0）为半径的圆O交y轴的正半轴于点B,圆O与抛物线y^2=2x（y〉0）交于A点,直线BA与x轴交于点C,又抛物线y^2=2x（y〉0）上一点D,点D的横坐标比点A的横坐标大2,则直线CD的倾斜角的集合为＿＿．     

高中联赛一道预赛题的探究

<正>首先来看一道2014年陕西数学联赛预赛题.已知圆O:x2+y2=1与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,M是圆O上任意一点(除去圆O与两坐标轴的交点).直线AM与BC交于点P,直线CM与x轴交于N,设直线PM、PN的斜率分别为m、n,求证:m-2n为定值.     

初三几何第二学期自测题

A组 一、填空题(每小题3分,共计30分) (1)如果两圆的公切线只有两条,那么这两个圆的位置关系是_. (2)如果一个多边形的内角和等于720°,那么这个多边形的边数是_. (3)已知正六边形的边长为a,则其内切圆与外接圆组成的圆环的面积为_. (4)两等圆⊙O1和⊙O2相交于A,B两点,且⊙O1经过圆心O2,则∠OAB=_. (5)若半径分别为1和2的两圆相切,则这两圆的     

一道国际最佳数学征解题的简证

文[1]中题124:设在△ABC内,sin2A sin2B sin2C=1.求证:其外接圆与九点圆正交.本文介绍这道题的一种简单证法.证明　△ABC的外心、垂心、半径、九点圆圆心、半径分别记作O、H、R、O9、R9,○.O∩○.O9=M.要证明○.O与○.O9正交,只要证明R29 R2=O9O2,[2]∵　OM=R,O9M=R9=12R,[3]∴     

转换视角 渐入佳境

一次老师布置了如下一道习题： 已知圆C：x^2＋y^2=16,过点P（2,0）作直线l与圆C相交于A、B两点,O是坐标原点．求△AOB的面积S△AOB的最大值．