第四届北京高中数学知识应用竞赛初赛试题及参考答案

1.窗户造型 (满分 1 5分 )《中学生数学》杂志 2 0 0 0年第 1期的封面是一幅欧洲教堂的照片 ,它是一座哥特式的建筑 .建筑物上有一个窗户的造型如图 1所示 .图中弧 AB和弧 AC分别是以 C和 B为圆心 BC长为半径的圆弧 .○.O1 、○.O2 和○.O3两两相切 ,并且○.O1 、○.O2 与弧AB相切 ,○.O1 、○.O3与弧 AC相切 ,○.O2 、○.O3的半径相等 .如果使○.O2 、○.O3充分大 ,记 BC的长度为 a,请你计算出○.O1 的半径 ,并给出这个圆的作法 .图 1解　设○.O1 、○.O2 相切于点 E,○.O1 、○.O3相切于点 F ,○.O2 、○.O3相切于点 D,○.…     

一道国际最佳数学征解题的简证

文[1]中题124:设在△ABC内,sin2A sin2B sin2C=1.求证:其外接圆与九点圆正交.本文介绍这道题的一种简单证法.证明　△ABC的外心、垂心、半径、九点圆圆心、半径分别记作O、H、R、O9、R9,○.O∩○.O9=M.要证明○.O与○.O9正交,只要证明R29 R2=O9O2,[2]∵　OM=R,O9M=R9=12R,[3]∴     

节外生枝处能有暗香来——研究性学习的一个案例

1问题的提出在高三复习到点与圆、直线与圆的位置关系时,笔者为学生出了一道全日制普通高级中学教科书《数学》第二册(上)(试验修订本.必修)上的例题(P75例2):已知圆C的方程为x2 y2=r2,求经过圆上一定点M(x0,y0)的切线方程.由于是高三复习课,强调的是知识的前后联系,使知识形成     

直线与圆

1.本单元知识点初中阶段已接触过直线和圆的相关知识,本单元是用代数方法研究图形的几何性质,体现了数形结合的重要数学思想.本单元的学习重点包括:直线的斜率、直线的方程、直线与直线的位置关系,圆的方程、圆与圆的位置关系,直线与圆的位置关系,直线与圆中的距离问题.其中直线与圆的位置关系是高考热点.2.典型例题选讲例1过点M(0,1)作直线,使它被两直线l1:x-3y+10=0,l2:2x+y-8=0所截得的线段恰好     

由一道高考题反思解析几何的教学

1问题的提出笔者有幸参加了2005年江苏省的高考阅卷工作,评阅的是第19题,题目如下:如图1,圆O1和圆O2的半径都为1,O1O2=4,过动点P分别作圆O1和圆O2的切线PM、PN(M、N为切点),使得PM=2 PN.试建立平面直角坐标系,并求动点P的轨迹方程.这是一道公认的好题,它源自课本,体现图1了平面     

多解圆中线段的两倍关系

<正>在三角形、四边形这两章的学习中我们经常会碰到线段的相等关系、和差关系、倍数关系的推理题,但圆中涉及到线段倍数关系的题目并不是很多,本文主要通过一道例题的分析,给出几种解题的策略,供同学们参考.例如图1,点A、B、C、D在⊙O上,AC⊥BD与点E,过点O作OF⊥BC于点F.求证:(1)△AEB∽△OFC;     

从课本一道例题教学的“听”中得到的启示

数学课本上有很多例题,在数学课堂教学中离不开课本上例题的教学.怎样用好课本上的例题是数学教师关注的一个重要方面.笔者最近听了一节常规课,在对课本一道例题的"听"中得到了一些启示.一、课堂此节课的内容是人教A版《数学》必修2§4.2.1直线与圆的位置关系(P126-P128).上课老师在讲评例题2时是这样进行的.     

从角平分线到等角线

在计算机辅助几何教学中 ,我们应用软件《几何画板》,在几何图形运动变化过程中 ,发现了一种重要的几何图形 .让我们首先看一个例题 .例 1　 (人教社初中几何课本第三册 P10 8例 2 )如图 1,AB为○.O的直径 ,C为○.O上一点 ,AD和过点 C的切线互相垂直 ,垂足为 D.求证 :AC平分∠     

例题文化背景的挖掘

人教社教材高二(上)第86页例5是一道有着深厚文化背景的例题,题目如下:题目1已知一曲线是与两个定点A(1,0),O(0,0)距离之比为2的点的轨迹,求此曲线的方程,并画出图形.通过解答,我们知道:此曲线方程为(x+1)~2+y~2=4,它是以C(-1,0)为圆心,2为半径的圆(图略).     

2014年北京理科卷第19题的探究历程

2014年北京理科卷第19题：已知椭圆C：x2＋2y2=4,（1）求椭圆C的离心率.（2）设O为原点,若点A在椭圆C上,点B在直线y=2上,且OA⊥OB,求直线AB与圆x2＋y2=2的位置关系,并证明你的结论.此题是近年解析几何中常考的一种题型──运动中的＂不变＂问题.考查椭圆方程、直线与圆的位置关系,考查运算求解能力、推理论证能力,考查转化化归思想、数形结合思想、特殊与一般等数学思想，是一道精心打磨的好题．     

例谈复习课中分类讨论思想的有效渗透——以“圆”的复习课为例

<正>1 在“点与圆”的位置关系中渗透分类讨论思想例1 若圆O所在的平面内有一点P与圆O上的点的最大距离是m,最小距离是n(m>n),那么圆O的半径是___.师：在同一平面内，点P与一个圆可能存在哪些位置关系?问题中的点P与圆O可能存在哪些位置关系?为什么?生：点与圆的位置关系可能有三种——点在圆内，点在圆上，点在圆外.因为题中并没有指明点P在圆的哪个位置，只是点P与圆O同处一个平面，所以点P与圆O也可能存在点P在圆O内、     

两个几何图形中两条线段的四种平均

本文拟以圆和梯形为背景 ,给出关于两条线段的算术平均、几何平均、调和平均及二次幂平均 (均方根 )的两个模型 ,趣味无穷 .从中可以领略数学的和谐、统一和奇妙 .　　 1.如图 1,P为○.O外一点 ,PT1 、PT2 是○. O的两条切线 ,T1 、T2为切点 ,PAB是○.O的任一条割线 ,设 PA =a,     

圆的一个性质的探求

一、问题的提出在高级中学课本《平面解析几何》(必修 )第 68页上有这样一道例题 :已知一曲线是与两个定点Ｏ(0 ,0 )、Ａ(3 ,0 )距离的比为12 的点的轨迹 ,求这个曲线的方程 ,并画出曲线 .课本中给出本题的答案是 :所求的轨迹方程为 (ｘ+ 1) 2 +ｙ2 =4,它是以Ｃ(-1,0 )为圆心 ,ｒ =2为半径的圆 (如图 ) .一般地 ,我们还可以证明 :与两个定点Ｍ1 、Ｍ2 距离的比是一个常数ｍ(ｍ >0 ,ｍ≠ 1)的动点轨迹是一个圆 (证明从略 ) .现在我们要思考的问题是 ,这两个定点及定比与所得的圆是什么关系 ?对于一个圆 ,是否一定存在一对点 (唯一还是无穷多…     

初三几何第二学期自测题

A组 一、填空题(每小题3分,共计30分) (1)如果两圆的公切线只有两条,那么这两个圆的位置关系是_. (2)如果一个多边形的内角和等于720°,那么这个多边形的边数是_. (3)已知正六边形的边长为a,则其内切圆与外接圆组成的圆环的面积为_. (4)两等圆⊙O1和⊙O2相交于A,B两点,且⊙O1经过圆心O2,则∠OAB=_. (5)若半径分别为1和2的两圆相切,则这两圆的     

一道习题的推广与应用

题目:平面直角坐标系xOy中,直线x-y+1=0截以原点O为圆心的圆所得的弦长为6(1/2).(1)求圆O的方程;(2)若直线l与圆O切于第一象限,且与坐标轴交于D、E,当DE长最小时,求直线l的方程;(3)设M、P是圆O上任意两点,点M关于x轴的对称点为N,若直线MP、NP分别交x轴于点(m,0)和(n,0),则nm是否为定值?若是,请求出该定值;若不是,请说明理由.这是来自课堂中的一道例题,却不料在讲完后,竟有学生提出了出乎意料的问题,不由得使我改变了原来的教学设想,顺着学生的意愿探究下去,得到了意外的收获.     

对一道课本例题的多角度剖析与推广

人教版普通高中数学课程标准实验教科书选修4-5(不等式选讲,以下简称文[1])第23页“综合法和分析法”单元中有如下一道例题:已知a1,a2,…,an∈R+,且a1a2…an=1,求证:(1+a1)(1+a2)…(1+an)≥2n.这道例题条件简约,结论优美,意蕴深长,不失为一道值得认真研读的经典例题.     

圆和圆位置关系的理解及其应用

初中几何中的圆和圆的位置关系是一种重要的位置关系 .它提示了圆和圆的图形位置关系可用数量关系来表示的规律 .学习这一关系可以培养数形结合思想、形象思维和空间想象能力 .同时掌握圆与圆的关系这一知识 ,也为今后学习其他知识奠定了基础 .一、位置关系数量化探究两圆的位置关系可通过操作实物模型来感知 .如下图 :当⊙Ｏ1不动时 ,⊙Ｏ2 向⊙Ｏ1靠近 ,整个运动过程两圆由没有公共点→只有一个公共点→有两个公共点→只有一个公共点→没有公共点 .如果继续作相对运动 ,便重复出现以上情况 .于是 ,可把圆和圆的位置关系归纳为三大类 :没有…     

凹面镜“圆”理

下面是老师在课堂上让我们讨论的一道题目： 已知 O：x^2＋y^2=r^2,P（x0,y0）,判断直线l：x0x＋y0y=r^2与圆 O：x^2＋y^1=r^2,的位置关系．     

一个由两圆位置关系确定的轨迹问题

已知圆O1的半径为r1,圆O2的半径为r2,不妨令r1>r2,当两圆的位置关系不同,动圆M(半径为R)与这两圆相切时,圆心M的轨迹是不同类型的曲线．(1)如图1所示,当已知两圆同心时,若圆M与这两个圆均相切,     

一道试题的另证

试题如图,在三角ABC中,∠A为最大角,外接圆上两点D、E分别为A︵BC与A︵CB的中点.记过点A、B且与AC相切的圆为⊙O1;过点A、E且与AD相切的圆为⊙O2,⊙O1与⊙O2交于点A和P;证明:AP平分∠BAC.这是一道2012年中国数学奥林匹克试题,下面我们利用同一法给出一种新证明.